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title: 'The 4 Maxwell\'s equations'
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### Les 4 équations de Maxwell

<!----
$`\left \{
   \begin{array}{r c l}
      AB  & = & 192 \\
      C   & = & 5\,896 \\
      DEF & = & 0,5
   \end{array}
   \right.`$
   
   

$`\left \{
   \begin{array}{r c l}
      \text{ÉlectroStatique}  & \; & \text{Maxwell's equations} \\
      \text{cause :}\; \rho \longrightarrow \text{effet :}\overrightarrow{E} & \; & \\
      \text{cond. validité :}\; \rho=0& \; & \\
      div \overrightarrow{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}  & \; & div \overrightarrow{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} \\
      \overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E} =0 & \; & \overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}
   \end{array}
   \right.`$--->

Les équations de Maxwell locales précises les propriétés du champ électromagnétique
en tout point de l'espace.


$`div \overrightarrow{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}`$

$`\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}`$

$`div \overrightarrow{B} = 0`$

$`\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} +
\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}`$

$`\rho`$ est la densité volumique de charge totale. 
$`\overrightarrow{j}`$ est la densité volumique de courant totale. 

### Équations de Maxwell et conservation de la charge


### Équations de Maxwell et propagation du champ électromagnétique


### Équations de Maxwell et énergie électromagnétique


### Complément à l'électromagnétisme de Maxwell


### Le spectre électromagnétique


### Rappel de l'équation d'onde d'un champ vectoriel

#### équation d'onde simple

$`\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v_{\phi}} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=0`$

de solution

#### équation d'onde amortie

$`\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v_{\phi}} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=
\beta \; \dfrac{\partial \overrightarrow{X}}{\partial t}`$

où $`\beta`$ est le terme d'amortissement

de solution

L'expression de l'opérateur Laplacien vectoriel $`\Delta`$ en fonction des opérateurs $`grad`$, $`div`$ et $`rot`$ est :

$`\Delta =\overrightarrow{grad} \left(div\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\right)`$


### Equation d'onde pour le champ électromagnétique 
(Ou "Etude du Laplacien du champ électromagnétique")

Pour établir l'expression $`\;\;\Delta \overrightarrow{E}\;\;`$, je calcule 
$`\;\;\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)\;\;`$ puis 
$`\;\;\overrightarrow{grad} \left(div \overrightarrow{E}\right)\;\;`$ à partir des équations
de Maxwell :


*  $`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
\overrightarrow{rot} \,\left( -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)`$
<br><br>
En physique classique non relativiste, espace et temps sont découplés. Les coordonnées spatiales
et la coordonnée temporelle sont indépendantes. L'ordre de dérivation ou intégration entre 
des coordonnées spatiales et la coordonnés temporelle ne change pas le résultat, donc
je peux écrire :
<br><br>
$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
-\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\overrightarrow{rot}\overrightarrow{B}\right)`$
<br><br>
$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
-\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\mu_0\;\overrightarrow{j} +
\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)`$
<br><br>
$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)
=-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$
<br><br>

* $`\overrightarrow{grad} \left( div \; \overrightarrow{E} \right) = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right)`$

La reconstruction de 
$`\Delta \;\overrightarrow{E} =\overrightarrow{grad} \left(div\;\overrightarrow{E}\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)`$
donne :

$`\Delta \;\overrightarrow{E} = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right) + \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$

ce qui donne par identification au premier terme de l'équation d'onde :

$`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \;
\overrightarrow{grad}\left(\rho \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} `$