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---title : Collection d'éléments de cours : vocabulaire et équationspublished : truevisible : no---
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## Collection d'éléments de cours : Concepts, vocabulaire et équations
### Analyse vectorielle
#### Vecteur
Objects mathématiques avec **3 caractéristiques** : *norme*, *direction* et *sens*.
En mécanique, **représentation graphique** dans l'espace tridimensionnel :<br>- des **sègments de droites** indiquant leur *direction*.<br>- sègments de droite de **longueur** proportionnelle à leur *norme*.<br>- par une **flèche** indiquant leur *sens*.
#### Signification des vecteurs en mécanique.
* Les *vecteurs* peuvent représenter des **grandeurs physiques différentes**.<br>_exemple : vecteur vitesse du point M, et la force qui s’applique sur le point M._
* Les *normes* de vecteurs correspondant à des grandeurs physiques différentes _(exemple : vitesse et force)_ s’expriment dans des **unités différentes** _(respectivement : $`m.s^{-1}`$ et $`N`$)_. Elles *ne peuvent pas être comparées*.
#### Vecteurs colinéaires et non colinéaires
* Deux **vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** sont **colinéaires** s’ils ont la *même direction* :<br>Il existe alors un nombre réel $`\alpha`$ tel que l’on peut écrire $`\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$<br>" $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont colinéaires" $`\Longleftrightarrow \exists \alpha\in\mathbb{R}\quad\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
* Deux **vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** sont **non colinéaires** s’ils ont des *directions différentes*. Pour tout nombre réel $`\alpha`$ on peut écrire $`\overrightarrow{A}\ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$.
* "$`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont non colinéaires" $`\Longleftrightarrow \forall\; \alpha\in\mathbb{R}`$$`\quad\overrightarrow{A}\ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
#### Base vectorielle
##### Dans un plan $`\mathcal{P}`$
* Définition :<br>**2 vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ appartenant à un plan $`\mathcal{P}`$, non nuls, non colinéaires et ordonnés** dans une suite $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forment une *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de ce plan.
* Propriété :<br>Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ est une base d'un plan $`\mathcal{P}`$, alors tout *vecteur $`\vec{V}`$* de $`\mathcal{P}`$ se décompose de *façon unique* en une **combinaison linéaire** *des vecteurs de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.
* Écriture mathématique :<br>"$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})`$ est une base de $`\mathcal{P}`$"$`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2`$$`\quad\overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}`$
##### Dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$
* **n vecteurs ordonnés** dans un *n-upplet $`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$* forment une **base** d'un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$, si *tout vecteur $`\vec{V}`$* de cet espace $`\mathcal{E}`$ se décompose de *façon unique* en une *combinaison linéaire* des vecteurs $`\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n}`$. * "$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base de $`\mathcal{E}`$"$`\quad\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{E}`$$`\quad\exists ! (\alpha_1,\alpha_1,...;\alpha_1)\in\mathbb{R}^n`$$`\quad\overrightarrow{V}=\alpha_1\cdot\overrightarrow{e_1}+\alpha_2\cdot\overrightarrow{e_2}+...+\alpha_n\cdot\overrightarrow{e_n}`$
#### Systèmes de coordonnées / Repère de l’espace
* En mécanique classique, **temps et espace** ne sont *pas couplés*.
* *Dans l’espace*, la *position d’un point M* est repérée à partir d’un **point O origine** de l’espace par le **vecteur $`\vec{OM}`$** .
* L’*espace classique de Newton* a **3 dimensions**. Cela signifie que, à partir de l’origine O de l’espace, la position de tout point M peut-être définie de façon unique par **3 nombres réels**, appelés ** coordonnées** (ou coordonnées spatiales) du point M.
* Il y a *plusieurs façons possible de définir les coordonnées spatiales* : On parle de **systèmes de coordonnées**.
<br>_Exemples de systèmes de coordonnées._<!--si on garde ces figures ici, faire gif, avec exactement même vecteur OM et indiquer sur chaque figure M(ses 3 coordonnées)-->
#### Caractéristiques d’une base / d’un repère
##### Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ / repère normé $`(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$
* Les vecteurs de la base ou du repère sont de **norme unité**.
* $`||\overrightarrow{a}||=1\; ; \;||\overrightarrow{b}||=1\; ; \;||\overrightarrow{c}||=1`$ .
##### Base orthogonale $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ / repère orthogonal $`(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$
* Les vecteurs de la base ou du repère sont **orthogonaux 2 à 2**.
* $`\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\; ; \;\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}\; ; \;\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}`$.
##### Base orthonormée $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / repère orthonormé $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$
* orthonormé = **ortho**+*normé* :<br>\- ortho : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \vec{e_i}\perp\vec{e_j}`$.<br>\- normé : $`\forall \vec{e_i} \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\} \quad ||\vec{e_i}||=1`$.
* orthonormé : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \overrightarrow{e_i}\cdot\overrightarrow{e_j}=\delta_{i\,j}`$<br>avec le **symbole e Kronecker $`\delta_{i\,j}`$** défini par :<br>$`\delta_{i\,j}=1`$ si $`i=j\quad`$ et $`\quad\delta_{i\,j}=0`$ si $`i \ne j`$
#### Règle d'orientation de l'espace.
* Deux vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ unitaires et non colinéaires forment une base normée $`(\vec{a},\vec{b})`$ d'un plan dans l'espace.
* Cette base $`(\vec{a},\vec{b})`$ peut être complétée par un troisième vecteur $`\vec{c}`$, unitaire et perpendiculaire à $`\vec{a}`$ et à $`\vec{b}`$, pour former une base orthonormée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ de l'espace.
* * d'un repère orthonormé $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ de l'espace définissent un plan $`\mathcal{P}`$. Le troisdème vecteur $`\vec{c}`$, perpendiculaire à la fois aux vecteurs $`(\vec{a}`$ et $`(\vec{b}`$, possède **une direction** donnée par la *droite normale (perpendiculaire) au plan $`\mathcal{P}`$*.
mais il y a **deux sens possibles** pour ce vecteur $`(\vec{c}`$.
* Un vecteur $`(\vec{c}`$ perpendiculaire à la fois aux vecteurs $`(\vec{a}`$ et $`(\vec{b}`$ possède **une direction** la *droite normale (perpendiculaire) au plan $`\mathcal{P}`$*, mais il y a **deux sens possibles** pour ce vecteur $`(\vec{c}`$.
* Ces deux sens possibles sont distingués par une *règle d’orientation de l’espace* : la **règle des 3 doigts de la main droite** :
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#### Repère orthonormé direct / indirect
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#### Produit scalaire de 2 vecteurs / Norme d’un vecteur
##### Définition générale, valable dans une base quelconque
##### Norme d’un vecteur unitaire
##### Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires
##### Produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux
##### Caractéristiques des vecteurs de base d’une base orthonormée
* Les vecteurs sont unitaires (de norme unité), donc :
* Les vecteurs sont orthogonaux 2 à 2, donc :
##### Produit scalaire de 2 vecteurs dans une base orthonormée
##### Norme d’un vecteur dans une base orthonormée
##### Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée
#### Produit vectoriel de 2 vecteurs
##### Produit vectoriel de 2 vecteurs dans une base quelconque
##### Produit vectoriel de 2 vecteurs dans une base orthonormée
#### Produit mixte de 3 vecteurs
##### Produit mixte de 2 vecteurs dans une base quelconque
##### Produit mixte de 2 vecteurs dans une base orthonormée
#### Dérivée d’un vecteur par rapport au temps
FR - Localiser un point dans l’espace tridimensionnel : une origine $`O`$, et trois axes $`Ox`$, $`Oy`$ et $`Oz`$ se coupant en O.<br>L’ensemble constitue le repère, notation $`(O,x,y,z)`$
Repère orthogonal : les axes sont deux à deux orthogonaux : $`Ox\perp Oy`$, $`Ox\perp Oz`$ et $`Oy\perp Oz`$.
#### base, repère de l'espace
* base de l'espace
* base orthonormée
* repère cartésien de l'espace
#### vector / vecteur / vector
(http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04)
FR - vecteur, représentation graphique
#### addition et soustraction de vecteurs
(vers la statique, que nous ne faisons pas)
#### produit scalaire de 2 vecteurs
#### produit vectoriel de deux vecteurs
#### produit mixte
#### Différentielle d'un vecteur
* rappel sur la différentielle d'une fonction
* différentielle d'un vecteur
#### dérivée d'un vecteur par rapport au temps
#### Différentielle et dérivée d'un vecteur unitaire
#### Homegénéïté des relations vectorielles
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### Différentielle d'un vecteur
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