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title: Coordonnées sphériques (main) |
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published: false |
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visible: false |
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_Coordonnées sphériques N3_ |
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!!!! Cours en construction ! |
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!!!! Imparfiat, incomplet |
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!!!! Ne pas publier, ne pas mettre visible |
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#### Coordonnées sphériques |
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##### Définition des coordonnées et domaines de définition |
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* *205* : |
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Les coordonnées sphériques s'écrivent $`(r, \theta, \varphi)`$, |
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avec : |
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$`r\in [0;\infty[`$ , $`\theta\in[0,\pi]`$ et $`\varphi\in [0;2\pi[`$. |
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**$`\mathbf{ r\in [0;\infty[}`$ , $`\mathbf{\theta\in[0,\pi]}`$ , $`\mathbf{\varphi\in [0;2\pi[ }`$** |
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Coordonnées sphériques d'un point $`M`$ : |
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$`(r_M, \theta_M, \varphi_M)`$ : |
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on écrit : |
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$`M(r_M, \theta_M, \varphi_M)`$ |
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Si le point est un point quelconque, on simplifie |
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$`M(r, \theta, \varphi)`$ , **$`\mathbf{M=M(\rho, \theta, \varphi)}`$** |
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##### Variation d'une coordonnée et longueur du parcours associée |
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* *210* : |
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[FR] élément scalaire de longueur : |
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$`dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}`$ , |
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**$`\mathbf{dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}}`$** |
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* *215* : |
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Vecteur position d'un point $`M(r,\theta,\varphi)`$ en coordonnées sphériques : |
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<br>$`\overrightarrow{OM}=r\;\overrightarrow{e_r}`$ , **$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=r\;\overrightarrow{e_r}}`$** |
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* *220* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** |
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Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées sphériques : |
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$`d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathbf{d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi}`$**. |
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* *225* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** |
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Lorsque seule la coordonnées $`r`$ d'un point $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon |
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continue entre les valeurs $`r`$ et $`r+\Delta r`$, le point $`M`$ parcourt un sègment |
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de droite de longueur $`\Delta l_r=\Delta r`$. Lorsque $`\Delta r`$ tend vers $`0`$, |
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la longueur infinitésimale $`dl_r`$ parcourue pour le point $`M`$ est : |
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$`\displaystyle dr=\lim_{\Delta r\rightarrow 0 \\ \Delta r>0} \Delta r`$ |
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$`\quad\Longrightarrow\quad dl_r=dr`$ , **$`\mathbf{dl_r=dr}`$** |
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Lorsque seule la coordonnées $`\theta`$ d'un point $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon |
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||||
continue entre les valeurs $`\theta`$ et $`\theta +\Delta \theta`$, le point $`M`$ parcourt un |
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||||
arc de cercle de longueur $`\Delta l_{\theta}=r\;\Delta \theta`$. Lorsque $`\Delta \theta`$ tend vers $`0`$, |
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||||
la longueur infinitésimale $`dl_{\theta}`$ parcourue pour le point $`M`$ est : |
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||||
$`\displaystyle d\theta=\lim_{\Delta \theta\rightarrow 0 \\ \Delta \theta>0} \Delta\theta`$ |
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||||
$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\theta}=r\,d\theta`$ , **$`\mathbf{dl_{\theta}=r\,d\theta}`$** |
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||||
Lorsque seule la coordonnées $`\varphi`$ d'un point $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon |
|
||||
continue entre les valeurs $`\varphi`$ et $`\varphi +\Delta \varphi`$, le point $`M`$ parcourt un |
|
||||
arc de cercle de longueur $`\Delta l_{\varphi}=r \;sin\,\theta\;\Delta \varphi`$. Lorsque $`\Delta \varphi`$ tend vers $`0`$, |
|
||||
la longueur infinitésimale $`dl_{\varphi}`$ parcourue pour le point $`M`$ est : |
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||||
$`\displaystyle d\varphi=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0 \\ \Delta \varphi>0} \Delta\varphi`$ |
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||||
$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathbf{dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi}`$** |
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||||
* *230* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** |
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||||
Les vecteurs $`\overrightarrow{e_r}`$, $`\overrightarrow{e_{\theta}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ |
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forment une **base orthonormée** de l'espace. La base $`(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ |
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est la base associée aux coordonnées sphériques. |
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||||
En coordonnées sphériques, les vecteurs de base associés |
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changent de direction lorsque le point $`M`$ se déplace. |
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$`||\overrightarrow{e_r}||=||\overrightarrow{e_{\theta}}||=||\overrightarrow{e_{\varphi}}||=1`$ |
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$`\overrightarrow{e_r}\perp\overrightarrow{e_{\theta}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\theta}}\perp\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}\perp\overrightarrow{e_r}`$ |
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||||
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartesiana *directa* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ base esférica asociada *directa*. |
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||||
<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartésienne *directe* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ base sphérique associée *directe*. |
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||||
<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* Cartesian base $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ *direct* associated spherical base. |
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||||
$`\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;sin\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$<br> |
|
||||
<br>$`\overrightarrow{e_{\theta}}=cos\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;-\;sin\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$<br> |
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||||
<br>$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$<br> |
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* *235* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br> |
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Méthode 1 pour le calcul de $`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ |
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||||
$`(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ |
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||||
base ortogonal dependiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale dépendante |
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||||
de la position de $`M`$ / orthogonal basis dependent of the position of $`M`$.<br> |
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||||
<br>$`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}(t)\quad\Longrightarrow\quad\left\{ \begin{array}{l} |
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||||
\overrightarrow{e_r} = \overrightarrow{e_r}(t) \\ |
|
||||
\overrightarrow{e_{\theta}} = \overrightarrow{e_{\theta}}(t) \\ |
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||||
\overrightarrow{e_{\varphi}} = \overrightarrow{e_{\varphi}}(t) \\ |
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||||
\end{array} \right.`$ |
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||||
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||||
$`\overrightarrow{e_r}(t)=sin\,\theta(t)\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;sin\,\theta(t)\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta(t)\;\overrightarrow{e_z}`$<br> |
|
||||
<br>$`\overrightarrow{e_{\theta}}(t)=cos\,\theta(t)\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\theta(t)\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;-\;sin\,\theta(t)\;\overrightarrow{e_z}`$<br> |
|
||||
<br>$`\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=- sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$ |
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||||
dans la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ : |
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$`\overrightarrow{e_r}(t)= |
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||||
\left| \begin{array}{l} |
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||||
sin\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\ |
|
||||
sin\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\ |
|
||||
cos\,\theta(t) \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ , |
|
||||
$`\quad\overrightarrow{e_{\theta}}(t)= |
|
||||
\left|\begin{array}{l} |
|
||||
cos\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\ |
|
||||
cos\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\ |
|
||||
-\,sin\,\theta(t) \\ |
|
||||
\end{array}\right.\quad`$ , |
|
||||
$`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)= |
|
||||
\left|\begin{array}{l} |
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||||
-\,sin\,\varphi(t) \\ |
|
||||
cos\,\varphi(t) \\ |
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||||
0 \\ |
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||||
\end{array}\right.`$ |
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||||
Dans le référentiel $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ de l'observateur, c'est à dire dans le référentiel où le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ est fixe, donc tel que l'origine $`O`$ est fixe et les trois vecteurs de base vérifient |
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||||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_x}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_y}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=0`$ : |
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||||
en se rappelant : $`(fg)'=f'g+fg'`$ |
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||||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}= |
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||||
\left| \begin{array}{l} |
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||||
\dfrac{d}{dt} [\,sin\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \,]\\ |
|
||||
\\ |
|
||||
\dfrac{d}{dt} [\, sin\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t)\, ] \\ |
|
||||
\\ |
|
||||
\dfrac{d}{dt} [\, cos\,\theta(t)\, ] \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
$`\quad = |
|
||||
\left| \begin{array}{l} |
|
||||
\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;+\;sin\,\theta\cdot \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\ |
|
||||
\\ |
|
||||
\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\;sin\,\theta\cdot \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\ |
|
||||
\\ |
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||||
\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt} \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
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et en se rappelant : $`(f \circ g)'=(f' \circ g)\,g'`$ , |
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||||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}= |
|
||||
\left| \begin{array}{l} |
|
||||
cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;-\; sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\ |
|
||||
\\ |
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||||
cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\; sin\,\theta \cdot cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\ |
|
||||
\\ |
|
||||
-\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt} \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}= |
|
||||
\dfrac{d\theta}{dt}\cdot |
|
||||
\left| \begin{array}{l} |
|
||||
cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ |
|
||||
cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ |
|
||||
-\,sin\,\theta \\ |
|
||||
\end{array} \right.`$ |
|
||||
$`\;+\; |
|
||||
sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot |
|
||||
\left| \begin{array}{l} |
|
||||
-\,sin\,\varphi \\ |
|
||||
cos\,\varphi \\ |
|
||||
0 \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}+sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$ |
|
||||
|
|
||||
**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}+sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$** |
|
||||
|
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||||
de même : |
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||||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_\theta}}{dt}= |
|
||||
\left| \begin{array}{l} |
|
||||
\dfrac{d}{dt} [\,cos\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \,]\\ |
|
||||
\\ |
|
||||
\dfrac{d}{dt} [\, cos\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t)\, ] \\ |
|
||||
\\ |
|
||||
\dfrac{d}{dt} [-\, sin\,\theta(t)\, ] \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
$`\quad = |
|
||||
\left| \begin{array}{l} |
|
||||
\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;+\;cos\,\theta\cdot \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\ |
|
||||
\\ |
|
||||
\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\;cos\,\theta\cdot \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\ |
|
||||
\\ |
|
||||
-\,\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt} \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}= |
|
||||
\left| \begin{array}{l} |
|
||||
-\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;-\; cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\ |
|
||||
\\ |
|
||||
-\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\; cos\,\theta \cdot cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\ |
|
||||
\\ |
|
||||
-\,cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt} \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$<br> |
|
||||
<br> |
|
||||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}= |
|
||||
\dfrac{d\theta}{dt}\cdot |
|
||||
\left| \begin{array}{l} |
|
||||
-\,sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ |
|
||||
-\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ |
|
||||
-\,cos\,\theta \\ |
|
||||
\end{array} \right.`$ |
|
||||
$`\;+\; |
|
||||
cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot |
|
||||
\left| \begin{array}{l} |
|
||||
-\,sin\,\varphi \\ |
|
||||
cos\,\varphi \\ |
|
||||
0 \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$<br> |
|
||||
<br> |
|
||||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}+cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$<br> |
|
||||
<br> |
|
||||
**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}+cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**<br> |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}= |
|
||||
\left| \begin{array}{l} |
|
||||
\dfrac{d\,[-\,sin\,\varphi(t)]}{dt} \\ |
|
||||
\dfrac{d\cos\,\varphi(t)}{dt} \\ |
|
||||
0 \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
$`\quad= |
|
||||
\left| \begin{array}{l} |
|
||||
-\,cos\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\ |
|
||||
-\,sin\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\ |
|
||||
0 \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\quad\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$ |
|
||||
|
|
||||
**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$**<br> |
|
||||
|
|
||||
avec $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ vecteur de la base cylindrique : |
|
||||
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||||
$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\phi}}, \overrightarrow{e_z})`$. |
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||||
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||||
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|
||||
* *240* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br> |
|
||||
Méthode 2 pour le calcul de |
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||||
$`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$ |
|
||||
$`\;+\;sin\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$ |
|
||||
$`=\overrightarrow{e_r}(\theta, \varphi)`$<br> |
|
||||
$`\overrightarrow{e_{\theta}}=cos\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$ |
|
||||
$`\;+\;cos\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$ |
|
||||
$`\;-\;sin\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$ |
|
||||
$`=\overrightarrow{e_{\theta}}(\theta, \varphi)`$<br> |
|
||||
$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$ |
|
||||
$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$ |
|
||||
$`=\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\theta, \varphi)`$ |
|
||||
|
|
||||
$`d\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$ <br> |
|
||||
$`d\overrightarrow{e_{\theta}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$ <br> |
|
||||
$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\theta=\theta(t)`$ , $`\varphi=\varphi(t)\quad\Longrightarrow\quad`$ pour un même $`dt`$ infinitésimal, $`\theta`$ et $`\varphi`$ varient de : |
|
||||
|
|
||||
$`d\theta=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt`$ et $`d\varphi=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\Longrightarrow\quad`$ pour un même $`dt`$ infinitésimal : |
|
||||
|
|
||||
$`d\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ <br> |
|
||||
$`d\overrightarrow{e_{\theta}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ <br> |
|
||||
$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ <br> |
|
||||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ <br> |
|
||||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}= |
|
||||
\left|\begin{array}{l} |
|
||||
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(sin\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ |
|
||||
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(sin\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\ |
|
||||
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta) \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
$`=\left|\begin{array}{l} |
|
||||
cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ |
|
||||
cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ |
|
||||
-\,sin\,\theta \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
$`=\overrightarrow{e_{\theta}}`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}= |
|
||||
\left|\begin{array}{l} |
|
||||
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(sin\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ |
|
||||
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(sin\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\ |
|
||||
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta) \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
$`=\left|\begin{array}{l} |
|
||||
-\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ |
|
||||
sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ |
|
||||
0 \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
$`=sin\,\theta\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}= |
|
||||
\left|\begin{array}{l} |
|
||||
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ |
|
||||
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\ |
|
||||
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(-\,sin\,\theta) \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
$`=\left|\begin{array}{l} |
|
||||
-\,sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ |
|
||||
-\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ |
|
||||
-\,cos\,\theta \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
$`=-\,\overrightarrow{e_r}`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}= |
|
||||
\left|\begin{array}{l} |
|
||||
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ |
|
||||
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta\cdot sin\,\varphi)] \\ |
|
||||
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(-\,sin\,\theta) \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
$`=\left|\begin{array}{l} |
|
||||
-\,cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ |
|
||||
cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ |
|
||||
0 \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
$`=cos\,\theta\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}= |
|
||||
\left|\begin{array}{l} |
|
||||
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(-\,sin\,\varphi) \\ |
|
||||
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\varphi) \\ |
|
||||
0 \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
$`= |
|
||||
\left|\begin{array}{l} |
|
||||
0 \\ |
|
||||
0 \\ |
|
||||
0 \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
$`=\overrightarrow{0}`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}= |
|
||||
\left|\begin{array}{l} |
|
||||
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(-\,sin\,\varphi) \\ |
|
||||
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\varphi) \\ |
|
||||
0 \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
$`= |
|
||||
\left|\begin{array}{l} |
|
||||
-\,cos\,\varphi \\ |
|
||||
-\,sin\,\varphi \\ |
|
||||
0 \\ |
|
||||
\end{array} \right.\quad`$ |
|
||||
$`=-\,\overrightarrow{e_{\rho}}`$ |
|
||||
|
|
||||
avec $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ vecteur de la base cylindrique : |
|
||||
$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\phi}}, \overrightarrow{e_z})`$. |
|
||||
|
|
||||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\quad`$ |
|
||||
$`=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\sin\,\theta\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ |
|
||||
$`=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\cos\,\theta\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ |
|
||||
$`=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{0}\,-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$ |
|
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* *245* : |
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$`\overrightarrow{v}(t)=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left[\,r(t)\cdot\overrightarrow{e_r}(t)\,\right]`$$`=\dfrac{dr(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r(t)}\;+\;r(t)\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}(t)}{dt}`$ |
|
||||
$`=\dfrac{dr}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\;+\;r\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}`$ |
|
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