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@ -420,7 +420,7 @@ $`=\pm\; dy\;dz\;\overrightarrow{e_x}`$ |
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##### Volume élémentaire |
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* *CS270* |
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* *CS280* |
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Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées cartésiennes : |
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@ -429,7 +429,7 @@ $`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$ , **$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$* |
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#### Vecteur position |
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* *CS280* |
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* *CS285* |
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Vecteur position d'un point $`M(x,y,z)`$ en coordonnées cartésiennes :<br> |
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[EN] Position vector of a point $`M(x,y,z)`$ in Cartesian coordinates:<br> |
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@ -676,6 +676,7 @@ $`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi} |
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$`d\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$, |
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$`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$ |
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* *CS390* |
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@ -711,6 +712,7 @@ $`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varph |
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=\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ , |
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**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\varphi}}=\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$** |
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* *CS400* |
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@ -758,6 +760,7 @@ $`\left.+(2\,dl_y\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_z})\right] |
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$`=\sqrt{(dl_x)^2+(dl_y)^2+(dl_z)^2}`$ |
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$`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$ |
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* *CS410* |
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@ -1127,7 +1130,7 @@ $`\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=-\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\, |
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#### Définition des coordonnées et domaines de définition |
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* *205* : |
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* *CS550* |
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Les coordonnées sphériques s'écrivent $`(r, \theta, \varphi)`$, |
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@ -1152,7 +1155,7 @@ $`M(r, \theta, \varphi)`$ , **$`\mathbf{M=M(\rho, \theta, \varphi)}`$** |
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#### Variation d'une coordonnée et longueur du parcours associée |
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* *210* : |
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* *CS560* |
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[FR] élément scalaire de longueur : |
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@ -1161,7 +1164,7 @@ $`dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}`$ , |
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* *215* : |
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* *CS570* |
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Vecteur position d'un point $`M(r,\theta,\varphi)`$ en coordonnées sphériques : |
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@ -1169,7 +1172,7 @@ Vecteur position d'un point $`M(r,\theta,\varphi)`$ en coordonnées sphériques |
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* *220* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** |
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* *CS580* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** |
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Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées sphériques : |
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@ -1177,7 +1180,7 @@ $`d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathbf{d{\l |
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* *225* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** |
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* *CS590* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** |
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Lorsque seule la coordonnées $`r`$ d'un point $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon |
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continue entre les valeurs $`r`$ et $`r+\Delta r`$, le point $`M`$ parcourt un sègment |
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@ -1205,7 +1208,7 @@ $`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathb |
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* *230* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** |
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* *CS600* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** |
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Les vecteurs $`\overrightarrow{e_r}`$, $`\overrightarrow{e_{\theta}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ |
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forment une **base orthonormée** de l'espace. La base $`(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ |
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@ -1227,7 +1230,7 @@ $`\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;s |
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* *235* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br> |
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* *CS610* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br> |
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Méthode 1 pour le calcul de $`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ |
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@ -1390,7 +1393,7 @@ $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\phi}}, \overrightarrow{e_z})`$ |
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* *240* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br> |
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* *CS620* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br> |
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Méthode 2 pour le calcul de |
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$`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ |
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@ -1517,7 +1520,7 @@ $`=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{0}\,-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\over |
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* *245* : |
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* *CS630* : |
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$`\overrightarrow{v}(t)=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left[\,r(t)\cdot\overrightarrow{e_r}(t)\,\right]`$$`=\dfrac{dr(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r(t)}\;+\;r(t)\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}(t)}{dt}`$ |
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$`=\dfrac{dr}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\;+\;r\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}`$ |
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