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@@ -158,16 +158,16 @@ con / avec / with<br>
 * **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>
 [ES] Cuando solo la coordenada $`x`$ de un punto $`M(x,y,z)`$ varía
 continuamente entre los valores $`x`$ y $`x+\Delta x`$, el punto M recorre un segmento
-de longitud $`\Delta l_x=\Delta x`$. Cuando $`x + \Delta x`$ 
+de longitud $`\Delta l_x=\Delta x`$. Cuando $`\Delta x`$ 
 tiende a $`0`$, la longitud infinitesimal $`dl_x`$ recorrida para el punto $`M`$ 
 es :<br>
 [FR] Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ varie de façon 
 continue entre les valeurs $`x`$ et $`x+\Delta x`$, le point M parcourt un sègment
-de droite de longueur $`\Delta l_x = \Delta x`$. Lorsque $`x+\Delta x`$ tend vers $`0`$,
+de droite de longueur $`\Delta l_x = \Delta x`$. Lorsque $`\Delta x`$ tend vers $`0`$,
 la longueur infinitésimale $`dl_x`$ parcourt pour le point $`M`$ est :<br>
 [EN] When only the $`x`$ coordinate of a point $`M(x, y, z)`$ varies
 continuously between the values $`x`$ and $`x + \Delta x`$, the point M covers
-a line segment of length $`\Delta l_x = \Delta x`$. When $`x + \Delta x`$ tends
+a line segment of length $`\Delta l_x = \Delta x`$. When $`\Delta x`$ tends
 towards $`0`$, the infinitesimal length $`dl_x`$ covered by the point $`M`$ is :<br>
 <br>$`\displaystyle dx=\lim_{\Delta x\rightarrow 0 \\ \Delta x>0} \Delta x`$
 $`\quad\Longrightarrow\quad dl_x=dx`$.<br>       <!--\text{élément scalaire d'arc : }-->
@@ -372,8 +372,110 @@ $`M(\rho, \varphi, z)`$.
 [ES] elemento escalar de línea :<br>
 [FR] élément de longueur :<br>
 [EN] scalar line element :<br>
+<br>$`dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}`$
+
+
+* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>
+[ES] Cuando solo la coordenada $`\rho`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ varía
+continuamente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+\Delta \rho`$, el punto $`M`$ recorre un segmento
+de longitud $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. Cuando $`\Delta \rho`$ 
+tiende a $`0`$, la longitud infinitesimal $`dl_{\rho}`$ recorrida para el punto $`M`$ 
+es :<br>
+[FR] Lorsque seule la coordonnées $`\rho`$ d'un point $`M(\rho, \varphi, z)`$ varie de façon 
+continue entre les valeurs $`\rho`$ et $`\rho+\Delta \rho`$, le point $`M`$ parcourt un sègment
+de droite de longueur $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. Lorsque $`\Delta \rho`$ tend vers $`0`$,
+la longueur infinitésimale $`dl_{\rho}`$ parcourt pour le point $`M`$ est :<br>
+[EN] When only the $`x`$ coordinate of a point $`M(\rho, \varphi, z)`$ varies
+continuously between the values $`\rho`$ and $`\rho+\Delta \rho`$, the point $`M`$ covers
+a line segment of length $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. When $`\Delta \rho`$ tends
+towards $`0`$, the infinitesimal length $`dl_{\rho}`$ covered by the point $`M`$ is :<br>
+<br>$`\displaystyle d\rho=\lim_{\Delta \rho\rightarrow 0 \\ \Delta \rho>0} \Delta \rho`$
+$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\rho}=d\rho`$.<br>       <!--\text{élément scalaire d'arc : }-->
+
+
+
+
+<br>tambien / de même / similarly : $`dl_y=dy`$ et $`dl_z=dz`$.
+
+* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>
+[ES] Cuando solo la coordenada $`x`$ de un punto $`M(x,y,z)`$ aumenta
+infinitesimalmente entre los valores $`x`$ y $`x+dx`$ ($`dx>0`$), el vector de desplazamiento
+$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x`$ del punto $`M`$ el vector 
+tangente a la trayectoria en el punto $`M`$ que se escribe :<br>
+[FR] Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ s'accroît de façon 
+infinitésimale entre les valeurs $`x`$ et $`x+dx`$ ($`dx>0`$), le vecteur déplacement 
+$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x`$ du point $`M`$ est le vecteur
+tangent à la trajectoire au point $`M`$ qui sc'écrit :<br>
+When only the $`x`$ coordinate of a point $`M(x,y,z)`$ increases infinitesimally between
+the values $`x`$ and $`x+dx`$ ($`dx>0`$), the displacement vector
+$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x`$ of the point $`M`$ is the 
+tangent vector to the trajectory at point $`M`$. It writes :<br>
+<br>$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}\cdot dx`$<br>
+<br>[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria  $`\overrightarrow{e_x}`$ (que indica la dirección y el sentido
+de desplazamiento del punto M cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada x se escribe:<br>
+[FR] Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_x}`$ (qui indique la direction et le sens 
+de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît de façon infinitésimale) s'écrit :<br>
+[EN] The unit vector tangent to the trajectory  $`\overrightarrow{e_x}`$  (which indicates the direction of displacement 
+of the point M when only the coordinate x increases in an infinitesimal way) writes :<br>
+<br>$`\overrightarrow{e_x}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_x}{||\partial\overrightarrow{OM}_x||}`$<br>
+<br>tambien / de même / similarly :<br>
+$`\partial\overrightarrow{OM}_y=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}\cdot dy`$,
+$`\quad\overrightarrow{e_y}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_y}{||\partial\overrightarrow{OM}_y||}`$<br>
+$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$,
+$`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$
+
+* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br> 
+[ES] Los vectores $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
+forman una **base ortonormal** del espacio. La base $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x})`$ 
+es la **base asociada a las coordenadas cartesianas**. En coordenadas cartesianas, los vectores
+de base asociadas a las coordenadas cartesianas mantienen la 
+**misma dirección y el mismo sentido sea cual sea la posición del punto $`M`$**.<br>
+[FR] Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
+forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la **base associée aux coordonnées cartésiennes**.
+En coordonnées cartésiennes, les vecteurs de base gardent la 
+**même direction et le même sens quelque-soit la position du point $`M`$**.<br>
+[EN] The vectors $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
+form an **orthonormal basis** of space. It is the **base associated with Cartesian coordinates**.
+In Cartesian coordinates, the base vectors keep the 
+**same direction whatever the position of the point $`M`$**.<br>
+<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x})`$ 
+base ortogonal independiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale indépendante
+de la position de $`M`$ / orthogonal basis independent of the position of $`M`$.
+
+* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>
+[ES] La norma del vector $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ 
+es el elemento escalar de linea $`dl_x`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_x}`$ 
+se escribe :<br>
+[FR] La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ 
+est l'élément de longueur $`dl_x`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$ s'écrit :<br>
+[EN] the norm (or length) of the vector $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ 
+is the scalar line element $`dl_x`$, so the vector $`\overrightarrow{e_x}`$ writes :<br>
+<br>$`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$<br>
+<br>tambien / de même / similarly :<br>
+$`\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}`$<br>
+$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$
+
+* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>
+[ES] Los 3 vectores $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$,
+$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ y
+$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ son 2 a 2 ortogonales.<br>
+[FR] Les 3 vecteurs $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$,
+$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ et
+$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2.<br>
+[EN] The 3 vectors $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$,
+$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ and
+$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ are 2 to 2 orthogonal.<br>
+$`\Longrightarrow`$ :<br>
+[ES] El área de un elemento de superficie construido por 2 de estos vectores 
+se expresará simplemente como el producto de sus normas.Y el volumen definido 
+por estos 3 vectores será simplemente el producto de sus estándares.<br>
+[FR] L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs s'exprimera 
+simplement comme le produit de leurs normes. Et le volume définit par ces 3 vecteurs 
+sera simplement le produits de leurs normes.<br>
+[EN] The area of a surface element constructed by 2 of these vectors will be expressed 
+simply as the product of their norms. The volume defined by these 3 vectors will simply
+be the product of their norms.
 
-$`dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}`$