Delete cheatsheet.fr.md : démonstration et énoncé

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 title: Théorème d'Ampère
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 <!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->
 $`\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}`$
 !!!! *COURS EN CONSTRUCTION :* <br>
 !!!! *Non publié, non visible, NON VALIDÉ*<br>
 !!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
 !  *Thème* :<br>
 ! *N3 : Magnétostatique / Démonstration du théorème d'Ampère, forme intégrale et forme locale*<br>
 ! Guide pour établir les 3 parties : main, overview, beyond<br>
 !
 !  (_précède le thème : Magnétostatique : Application du théorème d'Ampère, forme intégrale et forme locale._)
 ÉNONCÉS   DU   THÉORÈME   D' AMPÈRE<br>  ( appliqué à la MAGNÉTOSTATIQUE )
 : ---
  *Domaine de validité* :
  Ne s'applique qu'en magnétostatique ($`\overrightarrow{B}`$ créé par des courants constants).<br>
  Son expression sera complétée en électromagnétisme ($`\overrightarrow{B}`$ créé par des courants variables) pour donner le théorème de Maxwell-Ampère.
   _Attention : Les expressions ci-dessous ne sont valables que dans le système international d'unité $`SI`$, anciennement $`MKS`$._
   ---
  *FORME  INTÉGRALE*
    La circulation du vecteur champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$ le long d'un contour orienté $`\mathcal{C}`$ est égal à la somme algébrique des courants $`\overline{ \,I }`$ traversant toute surface ouverte $`S`$ associée à ce contour, multiplié par la constante magnétique $`\mu_0`$ :
    <br>$`\displaystyle\mathbf{\oint_{S\leftrightarrow\mathcal{C}} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}=\mu_0\;\sum_{enlacés} \overline{I }}`$
    *autre formulation* : La circulation du vecteur champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$ le long d'un contour orienté $`\mathcal{C}`$ est égal au flux du vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j}`$ à travers toute surface ouverte $`S`$ associée à ce contour, multiplié par la constante magnétique $`\mu_0`$ :
    <br>$`\displaystyle\mathbf{\oint_{\mathcal{C}\leftrightarrow S} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}=\mu_0\; \iint_{S\leftrightarrow\mathcal{C}} \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS}}`$
  <br>
  *FORME  LOCALE*
  En tout point de l'espace, le rotationnel du champ magnétique $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}`$ est égal au vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j}`$ multiplié par la constante magnétique $`\mu_0`$ :
    <br>$`\mathbf{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}=\mu_0\;\overrightarrow{j}}`$
    ---
    *avec les unités $`SI`$* :<br>
   \- champ d'induction magnétique $`\overrightarrow{B}`$ : $`T`$<br>
   \- courant électrique $`\overline{I}`$ : $` A`$<br>
   \- vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j}`$ : $` A\;m^{-3}`$<br>
   \- constante magnétique = perméabilité du vide : $`\mu_0=1,25663706\cdot 10^{-6}\;SI`$
 ####  Quel est l'intérêt du théorème d'Ampère intégral ?
 * Le théorème d'Ampère est un théorème très général.
 * Dans la limite où un contour d'Ampère tend vers 0, il *permet de définir la notion de rotationnel* qui quantifie une propriété locale de tout champ vectoriel :<br>
 $`\Longrightarrow`$ le théorème d'Ampère aura une expression locale.
 * Cette notion de rotationnel est l'*une des trois notions essentielles* (avec le gradient et la divergence) *pour décrire les lois de la physique* au niveau universitaire.
 * Il *permet de calculer le champ magnétique $`B`$* lorsque les distributions de courants présentent des invariances et symétries, en remplaçant des calculs qui seraient extrêmement complexes.
 ####  Quels sont les concepts nécessaire à sa compréhension ? 
 * **Théorème** *= peut être démontré*
 * Outre les concepts déjà vus de :<br>
 \- circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour.<br>
 \- règle d'orientation de l'espace.<br>
 la démonstration nécessite les concepts de :<br>
 \- *ligne ouverte, et ligne fermée (contour)*.<br>
 \- *surface ouverte associée à un contour*.<br>
 \- *contours disjoints et contours enlacés*.<br>
 \- *rotationnel* d'un champ vectoriel.<br>
 #### Qu'est-ce qu'une ligne ouverte ou fermée ?
 * **ligne ouverte = chemin** : ligne $`\mathcal{C}`$ délimitée par *2 extrémités $`M_1`$ et $`M_2`$*.<br>
 $`\Longrightarrow`$ :<br>
 \-  l'*orientation = sens* de parcours *défini comme positif* d'un chemin doit être choisie parmi les **deux sens possibles** : *de $`M_1`$ vers $`M_2`$*, ou *de $`M_2`$ vers  $`M_1`$*.<br>
 \-  l'*intégration* sur un chemin utilise le symbole **$`\displaystyle\int_{\mathcal{C}}`$** :
 *$`\quad\displaystyle\int_{M_1}^{M_2} ... `$* ou *$`\quad\displaystyle\int_{M_2}^{M_1} ... `$*
 * **ligne fermée = contour = circuit** si parcouru par un courant électrique : *ligne se refermant sur elle-même*.<br>
 $`\Longrightarrow`$ :<br>
 \- le **sens positif** de parcours doit être choisi et il est *indiqué par l'orientation des éléments vectoriels de chemin $`\overrightarrow{dl}`$*.<br>
 \-  l'*intégration* sur un contour utilise le **symbole $`\oint_{\mathcal{C}}...`$**
 #### Qu'est-ce qu'une surface ouverte associée à un contour ?
 * Une surface ouverte **s'appuie sur un contour** si le contour est le *bord de la surface*.
 * Il existe une **infinité de surfaces ouvertes** qui s'appuient sur *un même contour* quelconque.
 ![](contour_surface_enlacee_L1200.gif)
 ---
 * Une **surface associée à un contour** respectent les deux conditions suivantes :<br>
 <br>\- la surface **s'appuie sur ce contour**.<br>
 <br>\- les **deux orientations choisis**, l'une sur le *contour* et l'autre sur la *surface*, sont liés par la **règle de la main droite**.
 ![](contour_surface_associated_oriented_4_L1200.gif)
 ---
 #### Comment savoir si un chemin traverse une surface ouverte associée à un contour ?
 ##### Le contour et la surface associée sont contenus dans un plan
 * Soient un **contour orienté $`\mathcal{C}`$** contenu **dans un plan $`\mathcal{P}`$**, et la **surface plane associé $`S`$**.
 * L'**angle solide** sous lequel $`S`$ est vue depuis un point $`M`$ tend vers $`\pm 2\pi\;sr`$ lorsque la *distance du point $`M`$ à la surface $`S`$ tend vers 0* :<br>
 <br>**$`\mathbf{\displaystyle\lim_{M\rightarrow{S\subset\mathcal{P}}}=\pm 2\pi}`$**,<br>
 le signe $`+`$ ou $`-`$ dépendant du sens d'orientation choisi pour $`S`$ et de quel côté de la surface se situe $`M`$.
 * Si un chemin $`M_1M_2`$ traverse une surface plane $`S`$, Il y a une **discontinuité de $`\pm 4\pi`$ dans la valeur de l'angle solide** sous lequel est vue $`S`$ *à la traversée de la surface plane*,<br>
 le signe $`+`$ ou $`-`$ dépendant du sens d'orientation choisi pour $`S`$, et du sens de parcours du chemin $`M_1M_2`$.
 * Ainsi, si $`\Omega_1`$ (respectivement $`\Omega_2)`$ est l'angle solide sous lequel est vue la surface plane $`S`$ depuis l'extrémité $`M_1`$ (resp. $`M_2`$), alors l'intégration de l'angle solide le long du chemin $`M_1M_2`$ est :<br>
 <br> **$`\mathbf{\displaystyle\int_{M_1}^{M_2} d\Omega = \Omega_2 - \Omega_1 \pm 4\pi}`$**,<br>
 le signe $`+`$ ou $`-`$ dépendant du sens d'orientation choisi pour $`S`$, et du sens de parcours du chemin $`M_1M_2`$.
 ![](traversee_contour_L1200.gif)
 -------
 * Si le chemin **$`M_1M_2`$ traverse 2 fois et en sens inverses la surface plane $`S`$**, alors l'*intégration de l'angle solide* entre les deux extrémités $`M_1`$ et $`M_2`$ devient :<br>
 **$`\mathbf{\displaystyle\int_{M_1}^{M_2} d\Omega = \Omega_2 - \Omega_1}`$**
 ![](contours_enlaces_1_L1200_v2.gif)
 * Il existe alors **d' autres surfaces ouvertes s'appuyant sur le même contour** que le chemin  **$`M_1M_2`$ ne traverse pas**.
 ![](contours_enlaces_surface_no_plane_L1200.jpg)
 ---
 ##### Le contour et la surface associée sont quelconques
 * Depuis un point $`M`$, l'**angle solide élémentaire $`d\Omega_{\Delta}`$** sous lequel est vu une *surface macroscopique traversée p fois* dans une direction $`\Delta`$  est donné par :<br>
 **$`d\Omega_{\Delta}=\sum_{i=1}^p d\Omega_{\Delta, i}`$**, <br>
 l'indice i indique l'ordre de traversée de la surface depuis le point d'observation $`M`$.<br>
 (les différents $`d\Omega_{\Delta, i}`$ ont même valeur absolue $`|d\Omega_0|\ne 0`$)
 * Si vue d'un point $`M`$ une surface est non torsadée, donc <br>
 **si $`\forall i `$ les signes de $`d\Omega_{\Delta i}`$  et $`d\Omega_{\Delta i+1}`$ sont opposés, alors** :<br>
 <br>\- **p pair** *$`\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{d\Omega_{\Delta}= 0}`$*.<br>
 <br>\- **p impair** *$`\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{d\Omega_{\Delta}=\pm\,|\,d\Omega_0\,|}`$*.
 * Si cette surface non torsadée est observée depuis *deux points $`M`$ et $`M'`$ situés sur l'axe d'observation $`\Delta`$ de par et d'autre au voisinage de la surface*, alors la **traversée entre $`M`$ et $`M'`$** implique :<br>
 <br>\- **$`\mathbf{d\Omega_{\Delta}(M)=\pm\,|\,d\Omega_0\,|}`$**
 *$`\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{ d\Omega_{\Delta}(M')=0 }`$*<br>
 <br>\- **$`\mathbf{d\Omega_{\Delta}(M)= 0}`$**
 $`\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{ d\Omega_{\Delta}(M')=\pm\,|\,d\Omega_0\,| }`$
 ![](solid-angle_traversee_L1200.gif)<br>
 ---
 * Soit une **surface ouverte non plane et non torsadée $`S`$**, qui est *orientée.*<br>
 Cette surface est *traversée en un point $`M_0`$* par une chemin ou un contour $`\mathcal{C}`$.
 ![](solid_angle_cross_surface_no_plane_3ter_L1200.gif)
 * L'**angle solide limite $`\Omega_0`$** sous lesquel cette surface est observée lorsqu'*un point du chemin $`\mathcal{C}`$ tend par un côté vers $`M_0`$* n'est en général pas égale à $`2\pi`$. Mais cette  limite angle solide limite exprimé en stéradian peut s'écrire sous la forme :<br>
 <br>**$`\mathbf{\Omega_0=\pm\,2\pi+\Omega '}`$** ,<br>
 avec $`\Omega '`$ angle solide complémentaire qui peut être positif ou négatif.
 * **Contribuent à $`\Omega_0`$ limite** tous les *angles solides élémentaires $`d\Omega_{\Delta}`$* correspondant à une direction $`\Delta`$ pour laquelle, depuis le point limite considéré, la *surface est traversée un nombre impair de fois*.
 * **Ne contribuent pas à $`\Omega_0`$ limite** tous les angles solides élémentaires correspondants à une direction $`\Delta`$ qui *ne traverse pas* la surface, ou lorsque la *surface est traversée un nombre pair de fois*.
 ![](solid_angle_cross_surface_no_plane_2ter_L1200.gif)<br>
 _Pour l'orientation de la surface_ $`S`$ _et la position du point_ $`M_0^+`$ _représentées sur la figure, l'angle solide limite sous lequel_ $`S`$ _est vue vaut_ $`\Omega_0^+=+2\pi+\Omega' `$_, avec_ $`\Omega' >0`$.
 ---
 * L'**angle solide limite $`\Omega_0 '`$**  est l'angle solide d'observation de $`S`$ depuis *un point de $`\mathcal{C}`$ tend vers $`M_0`$* **depuis l'autre face**.<br>
 $`\Longrightarrow`$ :<br>
 \- toute direction $`\Delta`$ qui ne rencontrait pas la surface, la traverse désormais 1 fois.<br>
 \- toute direction $`\Delta`$ qui traversait un nombre pair de fois la surface, la traverse un nombre impair de fois, et réciproquement.
 * $`\Longrightarrow`$ toute direction qui apportaient une contribution à l'angle solide $`\Omega_0`$, ne contribue pas à l'angle solide $`\Omega_0 '`$.<br>
 $`\Longrightarrow`$  inversement, toute direction ne contribuait pas à $`\Omega_0`$, contribue à $`\Omega_0 '`$.
 * $`\Longrightarrow`$ Les **angles solides limites $`\Omega_0`$ et $`\Omega_0 '`$ vérifient** :<br>
 <br>\- *algébriquement* :  **$`\mathbf{\Omega_0 ' - \Omega_0=\pm 4\pi}`$**<br>
 <br>\- *en valeur absolue* : **$`\mathbf{|\,\Omega_0\,| + |\,\Omega_0 '\,|= 4\pi}`$**.
 ![](solid_angle_cross_surface_no_plane_1ter_L1200.gif)<br>
 _Pour l'orientation de la surface_ $`S`$ _et la position du point_ $`M_0^-`$ _représentées sur la figure, l'angle solide limite sous lequel_ $`S`$ _est vue vaut_ $`\Omega_0^-=-2\pi+\Omega' `$_, en comptant_ $`\Omega' >0`$ comme dans la figure précédente.
 ---
 * *A la traversée d'une surface quelconque*, l'**angle solide** sous lequel est observée une surface quelconque présente une **discontinuité de $`\pm\,4\pi`$**,<br>
 le signe + ou - dépend de l'orientation de la surface, et du sens de traversée de la surface. 
 ![](angle_solide_variation_cross_any_surface_L1200.jpg)
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 #### Qu'est-ce que deux contours enlacés ?
 * Deux contours sont **non enlacés** si et seulement si *il est possible de les séparer en les déformant*.<!--wikipedia : Si on peut séparer les deux courbes en les déformant sans les couper, alors l'enlacement des deux courbes vaut zéro. La réciproque est fausse.-->
 * Considère le même cas que précédemment, mais avec les deux extrémités $`M_1`$ et $`M_2`$ d'un chemin confondues en un même point *$`M`$* $`\,=M_1=M_2`$ pour former un **contour $`\mathcal{C_2}`$** .
 * Les *contours* sont **disjoints** :<br>
 $`\Longleftrightarrow`$ un contour traverse **0 fois, 2 fois, ... 2n fois (avec n$`\in\mathbb{N}`$)** toute surface ouverte associée à l'autre contour.
 * $`\Longrightarrow`$ lors d'un **tour complet** sur l'un des contours (exemple $`\mathcal{C_2}`$, la *variation de l'angle solide* sous lequel est vu l'autre contour (ou toute surface ouverte associée à ce contour) est *nulle* :<br>
 **$`\mathbf{\oint_{\mathcal{C_2}} d\Omega = 0}`$**
 ![](contours_disjoints_L1200.jpg)
 ![](contours_enlaces_3_L1200.gif)
 ---
 * Les *contours* sont **enlacés** :<br>
 $`\Longleftrightarrow`$ un contour traverse **1 fois, 3 fois, ... (2n+1) fois (avec n$`\in\mathbb{N}`$)** toute surface ouverte associée à l'autre contour.
 * $`\Longrightarrow`$ lors d'un **tour complet** sur l'un des contours (exemple $`\mathcal{C_2}`$, la *variation de l'angle solide* sous lequel est vue toute surface ouverte s'appuyant sur l'autre contour égale **$`\pm 4\pi`$ stéradians** :<br>
 **$`\mathbf{\oint_{\mathcal{C_2}} d\Omega = \pm 4\pi}`$**
 * Le **signe $`+`$ ou $`-`$** dépend des *sens de circulation définis comme positifs* sur chacun des contours.
 ![](contours_enlacees_1b_L1200.gif)
 ---
 #### Démonstration du théorème d'Ampère : les différentes étapes
 * Nous devrons reconstruire des angles solides $`d\Omega`$ et des surfaces $`dS`$ élémentaires à partir d'éléments de longueurs $`dl`$.<br>
 $`\Longrightarrow`$ La **notation** suivante sera utilisée pour la clareté de la démonstration:<br>
 \- *$`\mathbf{dl}`$* pour les éléments de longueur.<br>
 \- *$`\mathbf{d^2S\;,\; d^2\Omega}`$* pour les éléments de surface et d'angles solides de base définis par le produit de deux éléments de longueur.<br>
 \- *$`\mathbf{dS \;,\; d\Omega}`$*, puis *$`\mathbf{S \;,\; \Omega}`$* lors des intégrations successives.
 <!--COMMENTAIRE------------------------------------
 ou alors on parle d'infinitésimaux d'ordres 1, 2, ...?
 ---------------------------------------------------------->
 ##### Quel est le déplacement apparent d'un point $`P`$ de l'espace si l'observateur se déplace d'un point $`M`$ à un point $`M'`$ voisin ?
 * L'**observateur** fait un *déplacement infinitésimal $`\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}`$*.
 * Lorsque l'observateur est au point $`M`$, tout point $`P`$ est repéré par son vecteur position $`\overrightarrow{MP}`$.
 * Lors du déplacement de $`M`$ en $`M'`$, le vecteur position de tout point $`P`$ devient :<br>
 $`\overrightarrow{M'P}=\overrightarrow{M'M}+\overrightarrow{MP}
 =-\,\overrightarrow{MM'}+\overrightarrow{MP}=-\,\overrightarrow{dl'}+\overrightarrow{MP}`$<br>
 * $`\Longrightarrow`$ le **déplacement apparent de tout point $`P`$** est de **$`\mathbf{-\,\overrightarrow{dl'}}`$**.
 <!--figure associée--->
 ##### Quelle est la surface apparente balayée par un élément de longueur $`\overrightarrow{dl}`$ si l'observateur se déplace de $`\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}`$ ?
 * La **surface élémentaire $`d^2S`$ balayée** par l'élément de circuit $`\overrightarrow{dl}`$ est donnée :<br>
 \- en valeur absolue par le produit $`dl\cdot dl' \cdot |\,sin \theta\,|`$,<br>
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;avec $`\theta`$ angle formé par les vecteurs $`\overrightarrow{dl}`$ et $`\overrightarrow{dl'}`$, soit encore :<br>
 $`\quad d^2S=|| \overrightarrow{dl}\wedge(-\overrightarrow{dl'})||`$<br>
 \- l'orientation de cette surface peut-être donnée par le produit vectoriel :<br>
 **$`\mathbf{\quad \overrightarrow{d^2S}}`$**$`\;=\overrightarrow{dl}\wedge(-\overrightarrow{dl'})`$**$`\mathbf{\;=-\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{dl'}}`$**
 ##### Sous quel angle solide la surface balayée par $`\overrightarrow{dl}`$ est-elle observée depuis le point $`M`$ ?
 * Cette surface élémentaire  $`d^2S`$ est *observée depuis le point $`M`$* sous l'**angle solide $`d^2\Omega`$** : <br>
 $`d^2\Omega=\dfrac{d^2\Sigma}{r^2}=\dfrac{\overrightarrow{d^2S}\cdot\overrightarrow{MP}}{MP^3}`$
 $`=\dfrac{\overrightarrow{d^2S}}{MP^2}\cdot\dfrac{\overrightarrow{MP}}{MP}`$
 $`= \dfrac{\overrightarrow{d^2S}}{r^2}\cdot (-\overrightarrow{u}) `$
 $`= \dfrac{\left(-\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{dl'}\right)\cdot (-\overrightarrow{u})}{r^2} `$
 $`= \dfrac{\left(\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{dl'}\right)\cdot\overrightarrow{u}}{r^2} `$
 * Or $`\left(\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{dl'}\right)\cdot\overrightarrow{u}`$ est le produit mixte
 $`\left(\overrightarrow{dl},\overrightarrow{dl'},\overrightarrow{u}\right)`$, donc :<br>
 $`\left(\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{dl'}\right)\cdot\overrightarrow{u}`$
 $`=\left(\overrightarrow{dl}, \overrightarrow{dl'},\overrightarrow{u}\right)`$ 
 $`=-\left(\overrightarrow{dl}, \overrightarrow{u},\overrightarrow{dl'}\right)`$ 
 $`=-\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{dl'}`$
 * L'angle solide $`d^2\Omega`$ se réécrit :<br>
 **$`\mathbf{\quad d^2\Omega=-\,\dfrac{\left(\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{dl'}}{r^2}}`$**
 * Selon l'orientation de chaque $`\overrightarrow{dl}`$, l'angle solide correspondant *$`d^2\Omega`$ est positif ou négatif*.
 ![](ampere_theorem_demonstration_variation_solid_angle_displacement_1_L1200.gif)
 ##### Sous quel angle solide la surface balayée par un contour $`\mathcal{C_1}`$ est-elle observée depuis le point $`M`$ ?
 * Il faut *intégrer* sur tous les $`\overrightarrow{dl}`$ appartenant au contour $`\mathcal{C_1}`$ :<br>
 **$`\mathbf{\quad d\Omega}`$**
 $`\;=-\;\oint_{\mathcal{C_1}} \quad d^2\Omega`$
 **$`\mathbf{\;=-\oint_{\overrightarrow{dl}\,\in\,\mathcal{C}_1} \dfrac{\left(\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{dl'}}{r^2}}`$**
 * Le calcul de l'angle solide $`d\Omega`$ fait apparaître une *contribution positive $` d\Omega^+`$* et une* contribution négative $` d\Omega^-`$*. 
 * Un *contour* étant une ligne fermée, pour un déplacement infinitésimal de l'observateur, les contributions *$` d\Omega^+`$ et $` d\Omega^-`$ s'annulent presque*.
 * $`\Longrightarrow\quad d\Omega`$ n'est pas l'angle solide $`\Omega_{\mathcal{C_1}}`$ sous lequel l'observateur voit le contour $`\mathcal{C_1}`$ ou toute surface ouverte associée à ce contour. Il est bien plus faible : $`d\Omega<<\Omega_{\mathcal{C_1}}`$
 ![](ampere_theorem_demonstration_variation_solid_angle_displacement_2.jpg)
 ##### Comment s'exprime la variation d'angle solide sous lequel est vu un contour $`\mathcal{C_1}`$ si l'observateur se déplace de $`\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}`$ ?
 * Dans l'hypothèse ou le **contour $`\mathcal{C_1}`$** apparaît **inchangé pour l'observateur** se déplaçant de  (par exemple $`\mathcal{C_1}`$ est une grande structure située à très grande distance de l'observateur), alors les contributions $` d\Omega^+`$ et $` d\Omega^-`$ s'annulent :<br>
 $`\Longrightarrow`$**$`\mathbf{\quad d\Omega=0}`$**.
 * Ainsi **$`\mathbf{\quad d\Omega\ne 0}`$** correspond à une **variation de perception de $`\mathcal{C_1}`$** lors du déplacement de l'observateur, due à la *parallaxe*.
 * La **variation d'angle solide** sous lequel est vu un *contour* (ou *toute surface ouverte associée* à ce contour) est égale à **$`\mathbf{d\Omega}`$**.
 ##### Que vaut $`\overrightarrow{B}`$ créé en un point $`M`$ par un contour $`\mathcal{C_1}`$ parcouru par un courant constant $`I`$ ?
 * L'**orientation de $`\mathcal{C_1}`$** est défini par le sens des *$`\mathbf{\overrightarrow{dl}}`$*.
 * Le **sens du courant** est donnée par la *valeur algébrique de *$`\overline{\,I}*`$.
 * Le champ magnétique créé en un point $`M`$ par un élément de courant $`\overline{\,I}\;\overrightarrow{dl_P}`$ en un point $`P`$ de l'espace est donné par la loi de Biot et Savart :
 $`\overrightarrow{dB_M}_{\leftarrow P}=\dfrac{\mu_0\;\overline{ I}}{4\pi}
 \cdot \dfrac{\overrightarrow{dl_M}\land\overrightarrow{PM}}{PM^3}`$
 * Le  **champ magnétique $`\overrightarrow{B_M}`$** créé en un point $`M`$ par les éléments de longueur $`dl`$ en tous les points $`P`$ d'un *circuit fermé orienté* $`\mathcal{C_1}`$ parcouru par un *courant $`I`$ constant* s'écrit :<br>
 $`\displaystyle\overrightarrow{B_M}=\dfrac{\mu_0\;\overline{ I}}{4\pi}
 \cdot\oint_{\overrightarrow{dl}\,\in\,\mathcal{C}_1}  \dfrac{\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{PM}}{PM^3}`$<br>
 soit <br>
 **$`\displaystyle\mathbf{\overrightarrow{B_M}=\dfrac{\mu_0\;\overline{I}}{4\pi}
 \cdot\oint_{\overrightarrow{dl}\,\in\,\mathcal{C}_1}  \dfrac{\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{u}}{r^2}}`$**<br>
 avec en chaque point $`P`$ :<br>
 $`\quad PM=||\overrightarrow{PM}||=r\quad`$ et $`\quad\overrightarrow{PM}=r\;\overrightarrow{u}`$.
 ##### Comment s'exprime la circulation du champ magnétique lors du déplacement de $`M`$ en $`M'`$ ?
 * Si le point $`M`$ se déplace en $`M' `$, la circulation de $`\overrightarrow{B_M}`$ lors de ce déplacement $`\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}`$ s'écrit :<br>
 $`\overrightarrow{B_M}\cdot\overrightarrow{dl'}=\dfrac{\mu_0\;\overline{I}}{4\pi}
 \cdot \oint_{\overrightarrow{dl}\,\in\,\mathcal{C}_1} \dfrac{\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{dl'}}{r^2}`$
 * $`\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{dl'}`$ est le produit mixte
 $`\left(\overrightarrow{dl},\overrightarrow{u},\overrightarrow{dl'}\right)`$, et :<br>
 $`\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{dl'}\right)`$
 $`=\left(\overrightarrow{dl}, \overrightarrow{u},\overrightarrow{dl'}\right)`$ 
 $`=-\,\left(\overrightarrow{dl}, \overrightarrow{dl'},\overrightarrow{u}\right)`$ 
 $`=-\,\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{dl'}\right)\cdot\overrightarrow{u}`$
 * $`\displaystyle\Longrightarrow\quad 
 \overrightarrow{B_M}\cdot\overrightarrow{dl'}=-\,\dfrac{\mu_0\;\overline{\,I}}{4\pi}
 \cdot \oint_{\overrightarrow{dl}\,\in\,\mathcal{C}_1} \dfrac{\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{dl'}\right)\cdot\overrightarrow{u}}{r^2}`$
 * $`\Longrightarrow\quad`$
 **$`\mathbf{\overrightarrow{B_M}\cdot\overrightarrow{dl'}=\dfrac{\mu_0\;\overline{\,I}}{4\pi}\cdot d\Omega}`$**
 ##### Que vaut la circulation du champ magnétique créé par le contour $`\mathcal{C_1}`$ sur un contour $`\mathcal{C}_2`$?
 * Le déplacement élémentaire précédent $`\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}`$ appartient à un contour $`\mathcal{C}_2`$.
 * Le sens du vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl'}`$ définit le sens positif de circulation de $`\mathcal{C}_2`$.
 * La circulation du champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$ créé par le contour $`\mathcal{C_1}`$ sur le contour $`\mathcal{C}_2`$ s'obtient en intégrant l'expression précédente sur tous les $`\overrightarrow{dl'}`$ constituant $`\mathcal{C}_2`$ :<br>
 <br>**$`\displaystyle\mathbf{\oint_{\overrightarrow{dl'}\,\in\,\mathcal{C}_2} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl'}=\dfrac{\mu_0\;\overline{\,I}}{4\pi}\cdot \oint_{\mathcal{C}_2} d\Omega}`$**<br>
 <br>où $`\oint_{\mathcal{C}_2} d\Omega`$ est la variation de l'angle solide sous lequel est vu le contour $`\mathcal{C_2}`$ lorsqu'un tout complet est effectué sur le contour $`\mathcal{C_1}`$.
 ---
 * Si les **contours** $`\mathcal{C_1}`$  et $`\mathcal{C_2}`$ sont **enlacés** :<br>
 $`\Longrightarrow\quad\oint_{\mathcal{C}_2} d\Omega=\pm\,4\pi`$<br>
 **$`\displaystyle\Longrightarrow\quad\mathbf{\oint_{\overrightarrow{dl'}\,\in\,\mathcal{C}_2} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl'}=\pm\,\mu_0\;\overline{\,I}}`$**.
 (revoir... à quel moment l'indétermination sur le signe est-elle levée, et comment l'expliquer si besoin?)
 ---
 * Si les **contours** $`\mathcal{C_1}`$  et $`\mathcal{C_2}`$  sont **disjoints** :<br>
 $`\Longrightarrow\quad\oint_{\mathcal{C}_2} d\Omega=0`$<br>
 **$`\displaystyle\Longrightarrow\quad\mathbf{
 \oint_{\overrightarrow{dl'}\,\in\,\mathcal{C}_2} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl'}=0}`$**.
 ---
 #### Que dit le théorème d'Ampère intégral ?
 <!-- l'équivalent partie "main" sera ""Théorème d'Ampère (intégral)"-->
 * Soit une **distribution quelconque de courant** dans l'espace, qui créé *un champ 
 magnétique* $`\overrightarrow{B}`$ en tout point de l'espace,<br><br>
 et soit un **ligne fermée C quelconque** dans un plan de l'espace.
 ![](Ampere-theorem-1-L1200.jpg)
 * Soit une **surface ouverte S quelconque qui s'appuie sur le contour C**.
 ![](Ampere-theorem-2-L1200.jpg)
 * Choisis une **orientation quelconque du contour C**, et **oriente en conséquence
 chaque surface élémentaire dS** constituant la surface S selon la **règle d'orientation 
 de l'espace dite "de la main droite"**.
 ![](Ampere-theorem-3-L1200.jpg)
 Partant de la loi de Biot et Savart, le théorème d'Ampère montre que :
 * La **circulation du champ d'induction magnétique $`B`$ le long du contour C**
 est égale à la *somme algébrique des courants électriques traversant la surface S*, <br><br>
 **$`\oint_C \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \mu_0 \cdot \sum_n \overline{I_n}`$** <br>  
 ou, ce qui revient au même, au *flux du vecteur densité volumique de courant à travers la surface S*<br><br>
 **$`\oint_C \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \mu_0 \cdot \iint_S \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{dS}`$** 
 <!--![](Ampere-theorem-4-L1200.jpg)-->
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 ![](Ampere-theorem-4-portrait-L620.jpg)
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 #### Quelle est l'utilité du théorème d'Ampère intégral ?
 #### Comment dois-tu l'utiliser ?
 #### Pourquoi le théorème d'Ampère intégral est-il insuffisant ?
 ![](ampere-integral-insuffisant-L1200.gif)<br>
 _Champ magnétique créé par 3 courants électriques rectilignes, infinis et stationnaires,
 se propageant dans une direction perpendiculaire au plan de représentation du champ
 magnétique._
 * Dans les *cas simples*, **l'oeil humain repère immédiatement** les points centre de rotation
 des lignes de champ magnétique, qui localisent *les causes
 du champ magnétique* dans le plan d'observation. 
 * Le **théorème d'Ampère intégral** précise, lors d'une circulation non nulle du champ magnétique
 le long d'un chemin fermé, la somme totale des courants à l'origine de cette circulation, 
 mais *ne permet pas la localisation précise des sources* du champ magnétique.
 * Il **doit exister une propriété locale** (à l'échelle mésoscopique, donc apparaissant ponctuelle
 à la résolution de l'observation) qui en tout point de l'espace *relie le champ magnétique
 à sa cause élémentaire locale*.
 #### Une idée pour relier une propriété locale du champ magnétique locale à sa cause ?
 * Dans la **démonstration du théorème dAmpère** (partie principale), *aucune échelle de taille n'est précisée* 
 pour les choix du contour d'Ampère et d'une surface s'appuyant sur ce contour.
 * $`\Longrightarrow`$ idée 1 : faire tendre le contour d'Ampère vers un 
 **contour mésoscopique plan autour de chaque point** de résolution de l'espace, 
 la *circulation* ainsi calculée sera une *propriété locale du champ*.
 * $`\Longrightarrow`$ idée 2 : choisir pour *surface associée* la 
 **portion de plan mésoscopique délimité par le contour précédent**,  le *flux du courant* 
 à travers cette surface mésoscopique déduit du théorème d'Ampère 
 sera ainsi un *courant local*.
 * Cette idée est à la **base de la notion de champ rotationnel** d'un champ vectoriel.
 #### Qu'est-ce que le champ rotationnel de B ?
 Le champ rotationnel de B est un **champ vectoriel**.
 En *tout point M de l'espace*, le vecteur **$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{B_M}`$ indique** :
 * en mots :<br>
 \- le **plan local** dans lequel s'effectue la **rotation de $`\overrightarrow{B_M}`$** par sa *direction*.<br>
 $`\Longrightarrow`$ la *direction de $`\overrightarrow{j}`$*, vecteur densité volumique de courant.<br><br>
 \- le **sens de la rotation** de $`\overrightarrow{B_M}`$ par le *sens de $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{B_M}`$
 et la *règle d'orientation* de l'espace.<br>
 $`\Longrightarrow`$ le *sens de $`\overrightarrow{j}`$*, vecteur densité volumique de courant.<br><br>
 \- l'**intensité du champ magnétique créé** par *norme de $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{B_M}`$*<br>
 $`\Longrightarrow`$ la *norme de $`\overrightarrow{j}`$*, vecteur densité volumique de courant.
 * mathématiquement et plus précis : **$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{B}=\mu_0 \cdot \overrightarrow{j}`$**
 #### Comment se détermine son expression en coordonnées cartésiennes ?
 ![](Rotationnel-B-cartesian-web-L1200-ok.jpg)
 ![](Rotationnel-B-cartesian-2-web-L1200-ok.jpg)
 ![](Rotationnel-B-cartesian-3-web-L1200-ok.jpg)
 #### Comment visualiser et mémoriser le théorème de Stokes ?
 <!-- l'équivalent partie "main" sera ""Le théorème de Stokes"-->
 *Guide de démonstration et Aide à la mémorisation*
 * Soit un **champ vectoriel $`\overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})`$**, et un
 **contour fermé C** dans l'espace.<br>
 $`\Longrightarrow \overrightarrow{X}`$ est défini en chaque point de C.
 ![](Th-Stokes-1-L1200.jpg)
 * Soit le **choix d'un sens de parcours positif** sur le contour C, qui oriente 
 les déplacements élémentaires $`\overrightarrow{X}`$ de ce contour.<br>
 $`\Longrightarrow`$ la circulation $`\mathcal{C}`$ de $`\overrightarrow{X}`$ le long de C peut
 être calculée.
 ![](Th-Stokes-2-L1200.jpg)
 * Soit une **surface quelconque ouverte S s'appuyant sur C**.
 ![](Th-Stokes-3-L1200.jpg)
 <!-- cette figure ci-dessous n'est peut-être pas nécessaire. On verra s'il y a des questions étudiantes.
 * Sur chaque branche de l'ensemble des surfaces élémentaires constituant le surface S, 
 la circulation de \overrightarrow{X}`$ est défini
 ![](Th-Stokes-4-L1200.jpg) -->
 * Le **sens positif d'orientation sur C** *impose le sens positif d'orientation
 des contours élémentaires** fermés qui délimitent les surfaces élémentaires de S.
 ![](Th-Stokes-5-L1200.jpg)
 * La **règle d'orientation de lespace de la main droite** permet alors l'*orientation
 de chacune des surfaces élémentaires* de S.
 ![](Th-Stokes-6-L1200.jpg)
 ![](Th-Stokes-7-L1200.jpg)
 ![](Th-Stokes-8-L1200.jpg)
 ![](Th-Stokes-9-L1200.jpg)
 ![](Th-Stokes-10-L1200.jpg)
 * Ou **1 figure GIF** ?
 <!--
 ![](Th-Stokes-gif-1-L600.gif)
 ![](Th-Stokes-gif-2-L600.gif)
 ![](Th-Stokes-gif-3-L600.gif)
 ![](Th-Stokes-gif-4-L600.gif)
 ![](Th-Stokes-gif-5-L600.gif)
 ![](Th-Stokes-gif-6-L600.gif)
 ![](Th-Stokes-gif-7-L600.gif)
 ![](Th-Stokes-gif-8-L600.gif)
 ![](Th-Stokes-gif-9-L600.gif)
 ![](Th-Stokes-gif-10-L600.gif)
 -->
 #### Que dit le théorème d'Ampère local ?
 <!-- l'équivalent partie "main" sera ""Théorème d'Ampère (intégral)"-->