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@@ -14,6 +14,36 @@ des fonctions trigonométriques.<br>
 Newton's intuitive framework of space and time, of the Pythagorean theorem and with
 the mastery of the trigonometric functions.
 
+### sistema de coordenadas / système de coordonnées / 
+
+sistema de coordenadas :  4 nombres réels qui précisent la position dans l'espace et le temps de tout point $`M`$, tels que deux point différents $`M`$ et $`M'`$ sont
+système de coordonnées : 
+
+#### En mecánica clásica / En mécanique classique / In classical mechanics
+
+y en mecánica cuántica no relativista / et en mécanique quantique non relativiste /
+and in non-relativistic quantum mechanics :
+
+[ES] El espacio y el tiempo son independientes, por lo que hay dos sistemas de coordenadas independientes :<br>
+[FR] L'espace et le temps sont indépendants,  donc il y a deux systèmes de coordonnées indépendants :<br>
+[EN] Space and time are independent, so there are two independent coordinate systems :<br>
+
+* Sistema de coordenadas espaciales / système de coordonnées spatiales / spatial coordinate system :<br>
+<br>[ES] El espacio euclidiano de la mecánica de Newton tiene tres dimensiones 
+$`\Longrightarrow`$ 3 números reales son necesarios y suficientes para ubicar una posición en el espacio.<br>
+[FR] L'espace euclidien de la mécanique de Newton a trois dimensions $`\Longrightarrow`$ 3 nombres réels 
+sont nécessaires et suffisants pour repérer une position dans l'espace.
+[EN] The Euclidean space of Newton's mechanics has three dimensions $`\Longrightarrow`$ 3 real
+numbers are necessary and sufficient to locate a position in space.
+
+* Sistema de coordenadas espaciales / système de coordonnées spatiales / spatial coordinate system :<br>
+<br>[ES] El espacio euclidiano de la mecánica de Newton tiene tres dimensiones 
+$`\Longrightarrow`$ 3 números reales son necesarios y suficientes para ubicar una posición en el espacio.<br>
+[FR] L'espace euclidien de la mécanique de Newton a trois dimensions $`\Longrightarrow`$ 3 nombres réels 
+sont nécessaires et suffisants pour repérer une position dans l'espace.
+[EN] The Euclidean space of Newton's mechanics has three dimensions $`\Longrightarrow`$ 3 real
+numbers are necessary and sufficient to locate a position in space.
+
 
 ### Coordonnées cartésiennes (N2-N3-N4)
 
@@ -22,7 +52,16 @@ the mastery of the trigonometric functions.
 [EN] framework of Newton's space and time, and Euclidean geometry.<br>
 
 
-Domaines de variation des coordonnées 
+* Las coordenadas cartesianas se escriben / les coordonnées cartésiennes s'écrivent / The artesian coordinates write :<br>
+$`(x,y,z)`$,<br>
+con / avec /with :
+$`x\in\mathbb{R}`$,  $`y\in\mathbb{R}`$ et $`z\in\mathbb{R}`$.<br>
+Coordenadas cartesianas de un punto $`M`$ /coordonnées cartésiennes d'un point $`M`$ / Cartesian coordinates of a point $`M`$ :<br>
+$`(x_M,y_M,z_M)`$.<br>
+Escribimos / on écrit / we write :<br>
+$`M(x_M,y_M,z_M)`$
+Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify ;<br>
+$`M(x,y,z)`$. 
 
 ##### Característica de los sistemas de coordenadas "cartesianos" / Caractéristique des systèmes de coordonnées "cartésiennes" / Characteristic of "Cartesian" coordinate systems
 
@@ -47,7 +86,18 @@ $`dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$
 
 ### Coordonnées cylindriques (N3-N4)
 
-$`M=M(\rho, \phi, z)`$
+
+
+* Las coordenadas cartesianas se escriben / les coordonnées cartésiennes s'écrivent / The artesian coordinates write :<br>
+$`(\rho, \phi, z)`$,<br>
+con / avec /with :
+$`\rho\in [0;\infty[`$,  $`\phi\in [0;2\pi[`$ et $`z \in [-\infty;\infty[`$.<br>
+Coordenadas cartesianas de un punto $`M`$ /coordonnées cartésiennes d'un point $`M`$ / Cartesian coordinates of a point $`M`$ :<br>
+$`(\rho_M, \phi_M, z_M)`$,<br>.<br>
+Escribimos / on écrit / we write :<br>
+$`M(\rho_M, \phi_M, z_M)`$
+Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify ;<br>
+$`M(\rho, \phi, z)`$.
 
 [ES] elemento escalar de línea :<br>
 [FR] élément de longueur :<br>