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@@ -427,6 +427,392 @@ ce qui correspond à une *onde stationnaire atténuée*, encore appelée **onde
 
 * **Si $`k^2`$ complexe**
 
+Dans ce cas général, *$`\underline{k}`$ sera un complexe* tel que
+$`\underline{k}=\pm (k^{'} + i k^{''})`$, 
+avec $`k^{'}(\omega)`$ et $`k^{''}(\omega) \in \Re^+`$ ; le signe de $`\underline{k}`$ 
+sera fonction du sens de propagation et, en physique, devra nécessairement conduire 
+à une atténuation de l'amplitude des champs au fur et à mesure que l'onde s'y enfonce 
+(s'il n'y a aucune source extérieure apportant de l'énergie à l'onde). En optant ici 
+pour le signe positif, le champ $`\underline{\vec{E}}`$ s'écrit alors :
+
+$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{i(\vec{\underline{k}}.\vec{r}-\omega t)}`$
+
+soit 
+
+**$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{(-\vec{k}^{''}.\vec{r})} \exp{i(\vec{k}^{'}.\vec{r}-\omega t)}`$**
+
+On obtient ainsi une *expression réelle du champ* sous la forme :
+
+*$`\vec{E} = \vec{E}_0 e^{-\vec{k}^{''}.\vec{r}} \cos{(\vec{k}^{'}.\vec{r}-\omega t)} \, \text{,}`$*
+
+![](electromagnetic-wave-media-attenuation.jpg)
+
+Lorsque $`\underline{k}`$ est complexe, \emph{i.e.} lorsque **l'amplitude de l'onde 
+est atténuée**, ce qui caractérise un **milieu dissipatif**.
+
+
+##### Vitesse de phase, vitesse de groupe, indice
+
+La **vitesse de phase** *d'une OPPM se propageant dans un M.L.H.I.* est définie par :
+
+**$`\quad v_\varphi = \dfrac{\omega}{k\,'(\omega)}.`$**
+
+Si *$`v_\varphi`$ est fonction de $`\omega`$* alors cela caractérise un **milieu 
+dispersif** . Ceci revient à dire que la fonction $`k\,'(\omega)`$ n'évolue pas 
+linéairement avec $`\omega`$.
+
+Dans le cas d'un milieu dispersif, un paquet d'OPPMs de pulsations différentes 
+centrées autour d'une valeur de référence $`\omega_0`$ s'étalera au fur et à mesure
+qu'il progresse dans le milieu, la vitesse de propagation $`v_\varphi`$ de chaque OPPM 
+étant différente. Si on souhaite caractériser la vitesse de propagation du paquet d'OPPMs,
+il faut utiliser la notion de vitesse de groupe au "point" $`\omega_0`$, définie par :
+
+\begin{equation}
+v_g = \dfrac{d \omega}{dk\,'}.
+\end{equation}
+
+Si $`v_\varphi`$ est fonction de $`\omega`$, alors $`v_g`$ l'est aussi nécessairement.
+
+On peut enfin définir l'**indice complexe du milieu** par :
+
+**\begin{equation}
+\underline{n}(\omega) = n\,' (\omega) + i~n\,''(\omega) = \dfrac{c \underline{k}}{\omega}
+\end{equation}**
+
+La *partie réelle $`n\,'`$* correspond à l'**indice de réfraction** ou indice optique
+$`n_{opt}`$, et la *partie imaginaire $`n\,''`$* à l' **indice d'extinction** du milieu.
+D'après ce qu'on vient de voir, on peut aussi définir l'indice de réfraction de la 
+façon suivante :
+
+**$`\quad n\,' (\omega) = n_{opt}(\omega) = \dfrac{c}{v_{\phi}(\omega)}`$**
+
+##### Courbe de dispersion
+
+Pour faciliter l'analyse rapide du comportement d'un milieu vis-à-vis de la propagation 
+d'une OPPM, on trace la **courbe de dispersion du milieu $`\omega (k\,')`$**. Celle-ci
+n'est bien sûr définie que lorsqu'il peut y avoir propagation, c'est-à-dire lorsque 
+$`k\,'`$ est non nul. Cette courbe *permet de distinguer* très rapidement les 
+**bandes passantes** (gammes des pulsations pour lesquelles $`k^2`$ est réel positif 
+ou complexe), des **bandes non-passantes** (gammes des pulsations pour lesquelles 
+$`k^2`$ est réel négatif). La courbe de dispersion d'un milieu est de plus toujours 
+comparée à celle du vide pour laquelle on a $`\omega = c\,k$. Il s'agit dans ce cas 
+d'une droite de pente $`c`$.
+
+![](electromagnetic-waves-media-dispersion2.jpg)
+
+Par définition, la **vitesse de phase $`v_\varphi (\omega_1)`$** est donnée par la
+*pente du segment reliant l'origine au point $`M_1(k_{1}^{'},\omega_1)`$ de la courbe 
+de dispersion*. En effet, celle-ci vaut bien :
+
+**$`\quad v_\varphi = \dfrac{\omega_1}{k_{1}^{'}} \, \text{.}`$**
+
+Il est donc très facile d'estimer l'évolution de $`v_\varphi`$ en fonction de 
+$`\omega`$, en suivant l'évolution de cette pente.
+
+De même, la **vitesse de groupe $`v_{g}(\omega_2)`$** est par définition donnée
+par la *pente de la tangente à la courbe de dispersion au point $`M_2(k_{2}',\omega_2)`$.* 
+En effet :
+
+**$`\quad v_{g}(\omega_2) = \left(\dfrac{d \omega}{d k\,'}\right)_{M_2} = \omega\,'(k\,'_2)`$**
+
+Sachant cela, il est alors aisé de déterminer si le milieu est dispersif (i.e si 
+$`v_\varphi`$ varie en fonction de $`\omega`$), et de comparer $`v_\varphi`$ et $`v_g`$
+en fonction $`c`$, la vitesse de phase et de groupe de toute OPPM dans le vide.
+
+
+#### Cas d'un M.L.H.I. diélectrique
+
+##### Equation de dispersion
+
+On se place maintenant dans le cas d'un **milieu L.H.I. diélectrique** tel que
+**$`\sigma = 0`$, $`\mu = \mu_0`$** et 
+**$`\underline{\epsilon}(\omega) =  \epsilon\,'(\omega) + i\epsilon\,''(\omega)`$**. 
+L'équation de dispersion se réduit alors à :
+
+**\begin{equation}
+\quad\underline{k}^2=\mu_0 \underline{\epsilon} \omega^2 \, \text{,}
+\end{equation}**
+
+ou encore :
+
+**\begin{equation}
+\quad\underline{k}^2=\dfrac{\omega^2}{c^2} \underline{\epsilon}_r  \, \text{,}
+\end{equation}**
+
+avec **$`\underline{\epsilon}_r (\omega) =  \epsilon^{'}_r(\omega) + i\epsilon^{''}_r(\omega) = \dfrac{\underline{\epsilon}}{\epsilon_0}`$.**
+
+L'étude de la propagation d'une OPPM dans ce diélectrique revient à étudier les 
+variations de $`\underline{\epsilon}(\omega)$.
+
+##### Diélectrique non-absorbant, et indice optique
+
+Lorsque le **diélectrique est non-absorbant**, cela se traduit par une *constante 
+diélectrique réelle* pour toutes valeurs de $`\omega`$  (soit $`\epsilon\,''(\omega)=0`$, 
+$`\forall \omega`$).<br>
+On en déduit que la **propagation** a bien lieu **sans atténuation**, caractérisée par :
+
+<!--=========ce tableau ne passe pas===========
+\begin{eqnarray}
+\quad k \, = \, \sqrt{\epsilon_r}~\dfrac{\omega}{c} \text{,} \\
+\quadv_\varphi \, = \,  \dfrac{c}{\sqrt{\epsilon_r}} \text{,} \\
+\quadv_g \, = \,  \dfrac{c}{\sqrt{\epsilon_r}} \text{.}
+\end{eqnarray}
+=======================================-->
+
+**$`\quad k \, = \, \sqrt{\epsilon_r}~\dfrac{\omega}{c}`$**,
+
+**$`\quad v_\varphi \, = \,  \dfrac{c}{\sqrt{\epsilon_r}(\omega)}`$**,
+
+**$`\quad v_g \, = \,  \dfrac{ 2c\,\sqrt{\epsilon_r}(\omega)}{\omega\cdot \epsilon_r'(\omega)+2\;\epsilon_r(\omega)}`$**
+
+L'**indice optique** s'écrit alors **$`n_{opt}(\omega) = \sqrt{\epsilon_r (\omega)}`$**.
+
+La **longueur d'onde** de l'OPPM dans ce milieu vaut 
+**$`\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n_{\textrm{opt}}}`$**, où $`\lambda_0 = c/\nu`$ est 
+la longueur d'onde dans le vide.
+
+Si on note $`\vec{u}`$ le vecteur unitaire indiquant la direction et le sens de 
+propagation, le champ magnétique $`\vec{B}`$ s'écrit :
+
+\begin{equation}
+\quad\underline{\vec{B}}=\dfrac{n_{opt}}{c} (\vec{u} \wedge \vec{E}).
+\end{equation}
+
+On en déduit, en notation réelle, que :
+
+<!--======ne passe pas ===================
+\begin{eqnarray}
+\quadu & = & \epsilon E^2 \\
+\quad\vec{\Pi} & = & c n_{\textrm{opt}} \epsilon_0 E^2 \, \vec{u} \\
+\quad\text{soit } \vec{\Pi} & = & v_\varphi u \, \vec{u}\, \\
+\quad\text{et } \langle \vec{\Pi}\rangle_T & = & \dfrac{1}{2} v_\varphi \, \epsilon E^{2}_0 \, \vec{u}\, \text{.}
+\end{eqnarray}
+===================================-->
+
+$`\quad u \, = \, \epsilon E^2`$
+
+$`\quad \vec{\Pi} \, = \, c n_{\textrm{opt}} \epsilon_0 E^2 \, \vec{u}`$
+
+soit
+
+$`\quad \vec{\Pi} \, = \, v_\varphi u \, \vec{u}`$
+
+$`\quad  \langle \vec{\Pi}\rangle_T \, = \, \dfrac{1}{2} v_\varphi \, \epsilon E^{2}_0 \, \vec{u}`$
+
+
+##### Diélectrique absorbant
+
+Un **diélectrique absorbant** est un diélectrique dans lequel  le *vecteur polarisation
+$`\vec{P}(t)`$* *suit les variations de $`\vec{E}(t)`$ avec un certain retard $`\varphi_p`$*
+, de sorte que :
+
+<!--======================================
+**\begin{equation}
+\quad\underline{\vec{P}}(t)= \epsilon_0 \,\underline{\chi}_e \,\underline{\vec{E}}(t)
+\end{equation}**
+======================================-->
+**$`\quad \underline{\vec{P}}(t)= \epsilon_0 \,\underline{\chi}_e \,\underline{\vec{E}}(t)`$**
+
+avec
+
+**$`\quad \underline{\chi}_e = \chi_e' + i\,\chi_e'' = \chi_e^{0}\cdot e^{i\,\phi_p}`$**
+
+<!--======================================
+**\begin{equation}
+\quad \underline{\chi}_e = \chi_e' + i\,\chi_e'' = \chi_e^{0}\cdot e^{i\,\phi_p}
+\end{equation}**
+======================================-->
+
+En notation réelle, on obtient finalement pour l'induction électrique :
+
+$`\displaystyle \overrightarrow{D}(\overrightarrow{r},t) = \epsilon_0 \cdot e^{-\overrightarrow{k''}.\overrightarrow{r}}`$$`\times \left( \epsilon_r' \; cos (\overrightarrow{k'}.\overrightarrow{r} - \omega t) - \epsilon_r'' \; sin (\overrightarrow{k'} \,\overrightarrow{r}-\omega t) \right) \overrightarrow{E}_0`$
+
+avec
+
+$`\quad\epsilon_r' (\omega) = 1 + \chi_e' (\omega) \; \text{ et } \; \epsilon_r''(\omega) = \chi_e'' (\omega)`$
+
+On peut aussi écrire l'induction électrique sous la forme :
+
+$`\displaystyle \quad \overrightarrow{D}(\overrightarrow{r},t) = \epsilon_0\;\sqrt{\epsilon_r'^2+epsilon_r''^2}\cdot e^{-\overrightarrow{k''}.\overrightarrow{r}}`$$`\times \;cos\,\left(\overrightarrow{k'} .\overrightarrow{r}-\omega. t+\phi_D) \right) \overrightarrow{E}_0`$,
+
+avec
+
+$`\quad\tan{\varphi_D}=\dfrac{\epsilon^{''}_r}{\epsilon^{'}_r}`$
+
+
+Comme $`\vec{D}`$ est nécessairement en retard sur $`\vec{E}`$, $`\epsilon_r'' (\omega)`$
+est positive. Pour les très faibles fréquences cependant ($\omega \rightarrow 0$), 
+le retard à la polarisation tend vers $`0`$ donc $`\epsilon_r''`$ tend vers $`0`$
+et $`\epsilon_r'`$ tend vers $`(1+\chi'_{e}(\omega))`$.
+
+##### Indice complexe
+
+L'équation de dispersion s'écrit à nouveau :
+
+\begin{equation}
+\quad \underline{k}^2=\mu_0 \underline{\epsilon} \omega^2 \, \text{,}
+\end{equation}
+
+ce qui se décompose en un système de 2 équations à 2 inconnues lorsqu'on identifie
+les parties réelles et imaginaires :
+
+$`\left\{ \begin{array}{ccc}
+k'^{2} - k''^{2} \, = \, \mu_0\, \epsilon' \omega^2 \\
+2\, k' k'' \, = \, \mu_0\, \epsilon'' \omega^2
+\end{array}
+\right.`$
+
+L'indice complexe $`\underline{n}`$ du milieu est défini par :
+
+$`\quad \underline{n}^{2} \, = \, \underline{\epsilon}_{r}\quad`$ , ou encore
+$`\quad \underline{n}^{2} \, = \, \dfrac{c^2 \underline{k}^2}{\omega ^2}`$
+
+Dans ces conditions, le système d'équations à résoudre devient :
+
+$`\left\{ \begin{array}{ccc}
+n'^{2} - n''^{2} \, = \, \epsilon_r' \\
+2 \,n' n'' \, = \, \epsilon_r'
+\end{array}
+\right.`$
+
+La vitesse de phase $`v_\varphi`$ se définit comme :
+$`v_\varphi = \dfrac{\omega}{k'} = \dfrac{c}{n'}`$
+
+**Définition :**
+
+La **partie réelle $`n'`$** est appelée *indice de réfraction* du milieu alors que 
+la **partie imaginaire** correspond à l' *indice d'extinction*.
+
+
+##### Propagation de l'énergie
+
+Le vecteur de Poynting associé à une OPPM qui se propage selon $`(Ox)`$ vers les 
+$`x`$ croissants, dans ce diélectrique absorbant est le suivant :
+
+$\vec{\Pi}=\dfrac{\vec{E}\wedge \vec{B}}{\mu_0}=c \,\epsilon_0\,{E_0}^2 \,e^{-2k''x}`$
+$`\times \left[ n^{'} \cos^2 (k'x-\omega t) -   n'' \sin (k'x-\omega t)\right.`$
+$`\left.\,cos (k'x-\omega t)\right]~\vec{e}_x `$,
+
+et sa valeur moyenne associée :
+
+$`\displaystyle\langle \vec{\Pi} \rangle_T =c n' \frac{\epsilon_0 {E_0}^2}{2} \;e^{\left(-2n'' \dfrac{\omega}{c}x\right)}~\vec{e}_x `$
+
+La décroissance de la puissance propagée par l'onde est caractérisée par le coefficient
+d'extinction $`\beta`$ (ou coefficient d'atténuation) du milieu : 
+$`\beta = 2 k'' = 2 n'' \dfrac{\omega}{c}`$.
+
+#### Cas d'un M.L.H.I. très bon conducteur
+
+##### Temps de relaxation d'un bon conducteur
+
+D'après l'équation de conservation de la charge et la loi d'Ohm locale dans un 
+conducteur, la densité volumique de charge libre $`\rho_{\textrm{libre}}`$ vérifie
+l'équation différentielle suivante :
+
+$`\dfrac{\partial \rho_{libre}}{\partial t} \,+ \,div\, \vec{j}_{libre} = 0`$
+
+avec $`\quad\vec{j}_{libre}=\sigma \vec{E}\quad`$ et
+$`\quad div\, \vec{E}=\dfrac{\rho_{libre}}{\epsilon_0}`$
+
+d'où :
+
+$`\dfrac{\partial \rho_{libre}}{\partial t} + \dfrac{\sigma}{\epsilon_0}\rho_{libre} = 0`$
+
+Si on suppose une accumulation de charge de densité non-nulle $`\rho_0`$ à l'instant 
+$`t = 0`$ dans le métal, celle-ci disparaîtra exponentiellement selon la loi :
+
+$`\rho_{libre} = \rho_0\;e^{-\frac{t}{\tau}}\quad`$ avec $`\quad \tau = \dfrac{\epsilon_0}{\sigma}`$
+
+Dans le cas du cuivre par exemple où $`\sigma = 0,57.10^{8}~\Omega^{-1}\,m^{-1}`$,
+$`\tau = 1,5.10^{-19}\,s`$. Pour des temps si courts, la loi d'ohm locale n'est plus 
+valable car la conductivité est définie par l'intermédiaire du temps de libre parcours 
+moyen des porteurs de charge entre 2 chocs qui est de l'ordre de $`10^{-14}\,s `$. 
+A l'échelle mésoscopique, nous travaillons cependant avec des OPPMs de période temporelle
+$`T`$ supérieure à $`10^{-14}\,s`$. Ainsi, comme $`\tau \gg T`$, nous pourrons considérer
+que $`\rho_{libre} = 0`$ à tout instant dans le bon conducteur.
+
+De plus, la comparaison des amplitudes des densités volumiques de courant de charges
+libres et de courant de déplacement conduit à :
+
+\begin{equation}
+\dfrac{\left| \underline{\overrightarrow{j}} \right|}{\left| \epsilon_0 \dfrac{\partial \underline{\overrightarrow{E}}}{\partial t} \right|} = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0 \omega} = 2 \pi \dfrac{T}{\tau} \ll 1
+\end{equation}
+
+Ceci montre que nous pouvons négliger dans ce cas la densité volumique de courant 
+de déplacement.
+
+##### Equation de dispersion et profondeur de pénétration
+
+Les 4 équations de Maxwell s'écrivent alors :
+
+
+$`\quad div\, \vec{B} \, = \, 0 `$
+
+$`\quad rot\, \vec{E} \, = \, -\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}`$
+
+$`\quad div\, \vec{E} \, = \, 0 `$
+
+$`\quad rot\, \vec{B} \, = \, \mu_0 \,\vec{j}_{libre} = \mu_0 \,\sigma\, \vec{E} = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0 c^2}\, \vec{E}`$
+
+
+Ceci conduit à l'équation de propagation pour le champ électrique suivante (en notation complexe) :
+
+\begin{equation}
+\Delta \underline{\vec{E}} + i\dfrac{\sigma \omega}{\epsilon_0 c^2} \underline{\vec{E}} = \vec{0}.
+\end{equation}
+
+D'où l'équation de dispersion du milieu :
+
+\begin{equation}
+\underline{k}^2 = i\dfrac{\sigma \omega}{\epsilon_0 c^2}.
+\end{equation}
+
+Ainsi $`\underline{k}`$ s'écrit pour une onde se propageant dans le sens "positif" :
+
+\begin{equation}
+\underline{k} = \dfrac{1+i}{\delta} \, \text{ avec } \delta = \sqrt{\dfrac{2 \epsilon_0 c^2}{\sigma \omega}}.
+\end{equation}
+
+$\delta`$ est appelé la profondeur de pénétration de l'onde dans le métal, exprimée 
+en m. On est donc dans le cas d'une propagation avec atténuation de l'OPPM avec comme 
+vitesse de phase $`v_\varphi = \omega \delta`$. L'indice de réfraction du milieu 
+est donc défini par $`n' = \dfrac{c}{\omega \delta}`$. Ces 2 dernières grandeurs 
+dépendent de la pulsation de l'OPPM donc le milieu est dispersif.
+
+##### Modèle du métal parfait
+
+Pour un bon conducteur, la profondeur de pénétration $`\delta`$ n'excède généralement 
+pas quelques mm aux fréquences les plus basses comme on peut le voir dans le tableau 
+donné ci-dessous pour le cuivre.\\
+
+-----------------
+ |  |  |  |  |
+| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
+| Fréquence | $`\lambda`$ | $`\delta`$ | $`v_\varphi`$ | $`n'`$ |
+| 100 Hz | 3000 km | 6,5 mm | 4,1 m.s$`^{-1}`$ | 7,4 10$`^7`$ |
+| 10 GHz | 3 cm | 0,65 $`\mu`$m | 4,1 10$`^4`$ m.s$`^{-1}`$ | 7,4 10$`^3`$ |
+--------------
+
+_Valeurs à deux fréquences typiques de la profondeur de pénétration et des grandeurs
+associées pour le cuivre massif._
+
+
+Ceci nous permet de justifier l'utilisation du modèle du métal parfait, c'est-à-dire 
+un métal de conductivité infinie. Dans ce cas, $`\tau`$ tend vers $`0$, ainsi que $`\delta$. 
+L'OPPM est donc instantanément, et totalement atténuée dès son entrée dans le métal 
+parfait. On considère alors qu'en tout point du métal parfait le champ électrique $`\vec{E}`$ 
+est nul (et par conséquent le champ magnétique $`\vec{B}`$ aussi), et qu'il ne peut 
+exister d'onde é.m. L'utilisation de ce modèle rend bien compte, -comme nous allons
+le voir au chapitre suivant-, de la très bonne réflectivité des métaux (utilisés 
+comme miroir de ce fait).
+
+A l'interface de 2 matériaux dont un modélisé par un métal parfait, la réflexion 
+d'une OPPM génère une densité surfacique de courant non nulle sur la surface. 
+Ce qui reste en accord avec une loi d'Ohm locale pour laquelle $`\sigma`$ est
+infinie et $`\vec{E}`$ est égal à $`\vec{0}$.
+
+
+