##### Définition des coordonnées et domaines de définition
<!--**C50*: -->
### Coordonnées cartésiennes
#### Définition des coordonnées et domaines de définition
* *COOSYS-100*
Système de coordonnées cartésiennes :<br>
\- **1 punto $`\mathbf{O}`$** de l'espace, choisi comme **origine** des coordonnées cartésiennes.<br>
\- **3 axes** appelés **$`\mathbf{Ox , Oy , Oz}`$**, se coupant en $`O`$ et **orthogonaux deux à deux**.<br>
\- **1 unité de longueur**.
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* *COOSYS-110*
Coordonnées cartésiennes : $`( x, y, z)`$
Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $`xOy`$ conduisant au point $`m_{xy}`$,
@ -28,6 +35,11 @@ et sur l'axe $`Oz`$ conduisant au point $`m_z`$. Le point $`m_{xy}`$ est projet
ou, pour un équivalent d'écriture plus simple, mais moins visuel :<br>
Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur chacun des axes $`Ox , Oy , Oz`$ conduisant respectivement aux points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$.
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* *COOSYS-120*
Les **coordonnées cartésiennes $`\mathbf{x_M , y_M , z_M}`$** du point $`M`$ sont les
distances algébriques $`\overline{Om_x}`$, $`\overline{Om_y}`$ et $`\overline{Om_z}`$ mesurées depuis le point origine $`O`$ jusqu'à chacun des points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$.
@ -37,22 +49,32 @@ Les coordonnées $`x , y , z`$ sont des **longueurs** algébriques, dont l'**uni
**Unidades S.I. / Unités S.I. / S.I. units : $`\mathbf{x(m)\;,\;y(m)\;,\;z(m)}`$**
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* *COOSYS-130*
Chaque point $`M`$ de l'espace est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cartésiennes. On écrit : $`M=M(x_M,y_M,z_M)`$.
Si le point est un point quelconque, on simplifie :
$`M(x,y,z)`$, **$`\mathbf{M(x,y,z)}`$**
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* *COOSYS-140*
**Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cartésiennes lorsque chacune varie de façon indépendante des autres dans son propre domaine de variation. Leurs domaines de variation sont :
!!!! Attention : Cette propriété que les longueurs élémentaires $`dl_{\alpha}`$ s'identifie à la variation infinitésimale de la coordonnée $`d\alpha`$ correspondante est une propriété des systèmes de coordonnées cartésiennes :
!!!! Il est donc important de *distinguer la distance infinitésimal $`dl_{\alpha}`$* parcourue par un $`M`$ lors d'une variation infinitésimale d'une seule de ses coordonnées $`\alpha`$, *de la variation $`d\alpha`$* de cette même coordonnée.
<!--
* *C60* :
* *COOSYS-60* :
[ES] Característica de los sistemas de coordenadas "cartesianos" : si un punto $`M(x,y,z)`$
hace un desplazamiento infinitesimal hasta el punto $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br>
@ -96,16 +122,16 @@ the scalar line element $`dl`$ writes simply :
Les vecteurs déplacement élémentaire $`\partial\overrightarrow{OM}_x , \partial\overrightarrow{OM}_y , \partial\overrightarrow{OM}_z`$ associés aux trois coordonnées $`x , y, z`$ et définis en un même point $`M`$ de l'espace sont orthogonaux deux à deux <'--, et forment un trièdre direct-->. Il en est donc ainsi de même pour les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$.
* *COOSYS-180*
Les vecteurs déplacement élémentaire $`d\overrightarrow{OM}_x , d\overrightarrow{OM}_y , d\overrightarrow{OM}_z`$ associés aux trois coordonnées $`x , y, z`$ et définis en un même point $`M`$ de l'espace sont orthogonaux deux à deux <'--, et forment un trièdre direct-->. Il en est donc ainsi de même pour les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$.
Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$
forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cartésiennes.
base orthogonale indépendante de la position de $`M`$
<!--**C82*: -->
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* *COOSYS-190*
[FR] Un repère cartésien, noté $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$,
est l'ensemble formé par un point $`O`$ origine des coordonnées et une base vectorielle cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.
@ -144,13 +173,12 @@ est l'ensemble formé par un point $`O`$ origine des coordonnées et une base v
En coordonnées cartésiennes, tout point $`M`$ de l'espace peut se repérer :<br>
\- soit par ses coordonnées cartésiennes $`(x, y, z)`$ dans le système d'axes cartésien $`(Ox, Oy, Oz)`$.<br>
\- soit par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ d'expression
dans le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.<br>
$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$ dans le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.<br>
Les composantes d'un vecteur position sont appelées coordonnées, $`x, y, z`$ sont les coordonnées cartésiennes du point $`M`$.
! *Remarque :*
! En coordonnées cartésiennes, et *uniquement en coordonnées cartésiennes*, les composantes du vecteur
position $`\overrightarrow{OM}`$ de tout point $`M`$ sont ses coordonnées cartésiennes.<br>
! Cela n'est pas vraie dans les autre systèmes de coordonnées.
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* *COOSYS-200*
Des grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associées à un point $`M`$ autres que sa position $`\overrightarrow{OM}`$ peuvent s'exprimer avec les vecteurs de la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$: <br>
