### Équilibre électrostatique dans les diélectriques
#### Code des couleurs et des symboles
* Code des couleurs pour les **signes des charges + et -**, pour les *charges libres* et de *charges de polarisation*.
_Figure 1._
#### Qu'est ce qu'un diélectrique?
* **Milieu diélectrique** = milieu ne possédant *pas de charges libres*.<br>
<br>
$`\Longrightarrow\:`$ *charges* **liées entre elles**, au sein de leur groupement neutre (atomique, moléculaire ou cristallin) d'appartenance.<br>
<br>
$`\Longrightarrow\:`$ **pas de courant de conduction** : pas de déplacement de charge possible sur des distances mésoscopiques ou macroscopiques sous l'action d'un champ extérieur $`\overrightarrow{E_{ext}}`$<br>
* Comme tout milieu matériel, un *milieu diélectrique* **possède des charges liées**.<br>
au sein des groupements neutres constituant le milieu.<br>
<br>
$`\Longrightarrow\:`$ **courant de polarisation possible** : par déplacement de charge sur une infime distance intra-atomique sous l'action d'un champ extérieur.<br>
<br>
$`\Longrightarrow\:`$ à l'*équilibre statique*, présence possible de* **dipôles électriques** = *séparation des centres des charges négatives et positives* au sein de chaque groupement neutre.
#### Rappel : qu'est-ce qu'un moment dipolaire électrique $`\overrightarrow{p}`$?
* un **vecteur $`\overrightarrow{p}`$** qui *caractérise un dipôle électrique*.
* **moment dipolaire électrique $`\overrightarrow{p}=+q\cdot \overrightarrow{NP}`$** : vecteur $`N`$ est le centre de charge de la charge négative $`-q`$ du dipôle, $`P`$ le centre de sa charge positive $`+q`$.
*unité usuelle* : le **Debye, de symbole D**, avec $`1D \simeq 3,336\times 10^{-30}\,C\;m`$,<br>
élément de comparaison : **$`1D \simeq 0,39\;e\;a_0`$**, avec *$`- e`$ charge de l'électron* ($`e=1,602\times 10^{-19}\,C)`$ et *$`a_0`$ rayon de Bohr* de l'atome d'hydrogène (distance moyenne entrte l'électron et le proton : $`a_0 =5,3\times 10^{-11}\,m`$).
* *Intérêt de $`\overrightarrow{p}`$* : le **champ électrique créé***à grande distance* (devant sa taille) par un dipôle électrique *s'exprime simplement* en fonction de $`\overrightarrow{p}`$ :<br>
#### Quels sont les phénomènes à l'origine de moments dipolaires ?
**2 types de moments dipolaires** :
<!--, conduisant à*3 types de polarisation électriques*de la matière.-->
* **moment dipolaire électronique** : infime *décalage du centre de charge ( - ) du nuage électronique par rapport au centre de charge ( + ) des protons* au sein de chaque groupement (atomique, moléculaire, cristallin).<br>
<!--=====repris après définition du vecteur polarisation========
▪ Ce type de moment dipolaire est *induit par un champ extérieur*, le type de polarisation associée est appelée **polarisation électronique**.
* **moment dipolaire atomique** : le *centre de charge des ions négatifs ne coïncide pas avec le centre de charge des ions positifs* au sein d'un groupement moléculaire ou cristallin dépourvus de centre de symétrie.<br><br>
*ordre de grandeur* : de** 0 à 10 D**, (pour la *molécule d'eau : $`p_{H2O}=1,84\,D= 6,14\times 10^{-30}\,C\,m`$*$`\;,\; d_{O-H}=9,6\times 10^{-11}\;m`$
<!--=====repris après définition du vecteur polarisation========
▪ Si ce type de moment dipolaire est *généré ou amplifié par un champ extérieur*, le type de polarisation associée est appelée **polarisation atomique**.<br>
▪ Si les orientations initialement aléatoires de moments dipolaires atomiques deviennent partiellement *alignés autour d'une direction particulière sous l'action d'un champ extérieur*, la polarisation induite est appelée **polarisation d'orientation**.
#### Qu'est-ce que le vecteur polarisation $`\overrightarrow{P}`$?
* Au sein de la matière les **dipoles** sont contenu dans un *volume de dimension atomique*.
* Un **volume mésoscopique** est un volume :<br>
▪ de *taille grande devant l'échelle atomique* caractéristique des entités élémentaires ou des variations des champs induits, afin de définir des *moyennes spatiales pertinentes*.<br><br>
▪ de *taille quasi-ponctuelle devant l'échelle de description macroscopique* de la matière, de façon que les *moyennes spatiales définies* et mesurées *varient continuement*<br>
▪ **$`\overrightarrow{P}`$ varie** continument $`\Longrightarrow`$ *polarisation non uniforme*.
<!--===Note==============================
Le chapitre suivant
"Y a-t-il différents types de dipôles ?"
ne prend tout son sens que lorsqu'on étudie la polarisation de la matière en régime dynamique. Eventuellement à enlever, ou alors à laisser et faire un développement "Au-delà" pour expliquer que l'importance sera plus tard, et ce que cela apportera.
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#### Y a-t-il différents types de polarisations ?
* *Au sein de la matière* : **3 types de polarisations**:
* **Polarisation électronique** :<br>
Infime décalage du centre de charge ( - ) du nuage électronique par rapport au centre de charge ( + ) des protons au sein de chaque groupement (atomique, moléculaire, cristallin). $`\Longrightarrow\:`$ moment dipolaire électrique.
* **Polarisation d'orientation** :<br>
* L'orientation des molécules polaires n'est pas isotropes $`\Longrightarrow`$ alignement des dipoles ± parfait autour d'une direction moyenne.
* **Polarisation atomique** :<br>
* Le centre de charge des ions négatifs ne coïncident pas au centre de charge des ions positifs au sein de chaque groupement cristallin.
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#### En absence d'un champ électrique extérieur, un diélectrique contient-il des dipôles?
* Les groupements atomiques, moléculaires ou cristallins possèdent **souvent des moments dipolaires électriques permanents $`\overrightarrow{p_i}`$**.
#### En absence d'un champ électrique extérieur, un diélectrique est t-il polarisé électriquement ?
* En général, les **dipôles élémentaires** ont **chacun** une **orientation aléatoire**<br>**$`\Longrightarrow\;\overrightarrow{P}`$**$`\;=\dfrac{1}{\Delta\tau}\sum_{i\in\Delta\tau}\overrightarrow{p_i}`$**$`\;=\overrightarrow{0}`$**
#### Comment un champ électrique extérieur $`\overrightarrow{E}`$ polarise un diélectrique?
* Un **champ électrique uniforme** à l'échelle d'un dipôle électrique <br>
$`\Longrightarrow\;`$ *couple non nul* qui **tend à orienter le dipôle en direction du champ**.<br>
$`\Longrightarrow\;`$ *force résultante nulle* sur le dipôle.
* L'application d'un **champ électrique extérieur** $`\overrightarrow{E_{ext}}`$ dans un **volume mésoscopique** $`\Delta\tau`$<br>
$`\Longrightarrow\;`$ création de dipôles d'orientation moyenne en direction de $`\overrightarrow{E_{ext}}`$<br>
ou $`\Longrightarrow\;`$ réorientation des dipôles préexistants vers une direction moyenne selon $`\overrightarrow{E_{ext}}`$<br>
<br>
* L'application d'un **champ électrique extérieur stationnaire**<br>
$`\Longrightarrow\;`$ un *transitoire non mesurable*.
$`\Longrightarrow\;`$ établissement d'un **équilibre** où le diélectrique a une **polarisation non nulle**
_Figure 7._
#### Comment un champ électrique $`\overrightarrow{E}`$ dans un diélectrique créé des moments dipolaires électriques $`\overrightarrow{p}`$ ?
*3 processus fondamentaux de polarisation :*
* **Polarisation électronique** :<br>
Le champ électrique induit des moments dipolaires électroniques.
* **Polarisation atomique** :<br>
Le champ électrique induit des moments dipolaires atomiques.
* **Polarisation d'orientation** :<br>
Si le matériau contient des moments dipolaires permanents, mais dont les orientations aléatoires ne présentent aucune direction privilégiée, le matériau est alors non polarisé électriquement $`\vec{P}=0`$. En exerçant un couple sur chaque moment dipolaires permanent, un champ extérieur peut amener les dipôles à s'orienter préférentiellement en direction du champ. Le matériau se polarise ainsi électriquement sous l'effet du champ électrique extérieur.
#### Quel est la relation entre le champ électrique $`\overrightarrow{E}`$ et la polarisation induite $`\overrightarrow{P} ?`$
* La polarisation induite $`\overrightarrow{P}`$ est une fonction de $`\overrightarrow{E}`$ **$`\overrightarrow{P} = \overrightarrow{P}(\overrightarrow{E})`$**
* Si le **milieu** est **linéaire (L)**<br>
**$`\Longrightarrow\; ||\overrightarrow{P}|| \propto ||\overrightarrow{E}||`$** : les normes des vecteurs $`\overrightarrow{P}`$ et $`\overrightarrow{E}`$ varient proportionnellement. $
* Si le **milieu** est **homogène et isotrope (HI)**<br>
**$`\Longrightarrow\; \overrightarrow{P} // \overrightarrow{E}`$** : les vecteurs $`\overrightarrow{P}`$ et $`\overrightarrow{E}`$ ont même direction.
* Si le **milieu** est **linéaire, homogène et isotrope (LHI)**<br>
**$`\Longrightarrow\; \overrightarrow{P} \propto \overrightarrow{E}`$** : les vecteurs $`\overrightarrow{P}`$ et $`\overrightarrow{E}`$ sont proportionnels.
#### Qu'est-ce que la susceptibilité électrique d'un milieu ?
* Pour un **milieu***homogène, isotrope et linéaire* **(LHI)**, la **susceptibilité électrique** notée **$`\chi`$** est le rapport de proportionnalité entre $`\overrightarrow{P}`$ et $`\epsilon_0\,\overrightarrow{E}`$ <br>
$`\Longrightarrow`$ pas de variation de $`\overrightarrow{P}`$ d'un volume mésoscopique $`\Delta\tau`$ à un autre.<br>
$`\Longrightarrow`$ pas de variation de $`\overrightarrow{P}`$ si le volume mésoscopique $`\Delta\tau`$ considéré se déplace d'une fraction de sa longueur.
* Pour simplifier, considère le **dipôle électrique moyen** de moment dipolaire **$`\overrightarrow{p} = q^+\;\overrightarrow{d}`$** dans le diélectrique. Ce dipôle électrique est électriquement **neutre**.
* Dans tout *volume mésoscopique $`\Delta\tau`$*, les **dipôles internes**, situés entièrement à l'intérieur de $`\Delta\tau`$, ont une *charge total nulle*. Les **dipôles frontières**, situés de par et d'autre de la surface frontière de $`\Delta\tau`$, ont l'une de leur charge à l'intérieur de $`\Delta\tau`$ et l'autre à l'extérieur, et sont donc *susceptibles de rompre la neutralité* $`\rho=0`$ caractérisant $`\Delta\tau`$.
* *Pour chaque face* de $`\Delta\tau`$, les *dipôles frontières* ont leurs centres **localisés dans un volume $`dS\cdot d\cdot\cos\,\theta`$** où $`\theta`$ est l'angle que fait l'axe du dipôle avec la normale à la surface.
* Pour *deux faces opposées*, une polarisation uniforme implique que statistiquement **autant de charges positives que de charges négatives***des dipôles frontières* **sont maintenues dans $`\Delta\tau`$**. Ce résultats se généralise sur les 6 faces, le volume **$`\Delta\tau`$ est neutre**.
* **Polarisation uniforme $`\Longrightarrow`$ diélectrique neutre en volume**<br>
* *Polarisation non uniforme* **$`\Longrightarrow\overrightarrow{P}`$ est fonction de la position $`\overrightarrow{r}$**<br>
$`\Longrightarrow`$ variation de $`\overrightarrow{P}`$ d'un volume mésoscopique $`\Delta\tau`$ à un autre.<br>
$`\Longrightarrow`$ variation de $`\overrightarrow{P}`$ si le volume mésoscopique $`\Delta\tau`$ considéré se déplace d'une fraction de sa longueur.
* Pour *deux faces opposées* d'un volume cubique mésoscopique :<br>
\- le **nombre de dipôles frontières** dans le volume $`dS\cdot d\cdot\cos\,\theta`$ *peut différer*.<br>
\- à densités de dipôles équivalentes, les **caractéristiques moyennes des dipôles frontières***peuvent varier* d'une face à l'autre.<br>
$`\Longrightarrow`$ les charges d'un type donné (+ ou -) maintenues dans $`\Delta\tau`$ sur une face ne compensent pas les charges de type opposé maintenues dans $`\Delta\tau`$ sur la face opposée.
_Figures 10 : La répartition des charges, à l'intérieur ou à l'extérieur du volume mésoscopique, des dipôles frontières sur deux faces opposées ne permet pas de garder la neutralité initiale._<br>
_Figure 11 : Les volumes qui contiennent les dipôles frontières ne sont pas égaux, le nombre de dipôles frontières, le dipôles friontière moyen varient d'une face à l'autre._
* **Polarisation non uniforme $`\Longrightarrow`$ une densité volumique de charge non nulle apparait**<br>
** $`\overrightarrow{P}`$ non uniforme $`\quad\Longrightarrow\quad\rho\ne0`$**.
* Etudions le flux des charges créé par les dipôles sur $`\Delta S_1`$, l'une des 6 faces de $`\Delta\tau`$. Prenons la surface noté 1 sur les figures suivantes. Le dipôle frontière moyen à cette face s'écrit $`\vec{p_1}=d_1\cdot\vec{d_1}`$ et est présent en densité $`N_1`$. Ces dipôles frontières sont contenus dans le volume $`\delta\tau_1=\Delta S\;d_1\;cos\,\theta_1`$.
* Les dipôles dans la moitié droite de $`\delta\tau_1`$ (voir figure 12) maintiennent leur charge négative $`\Delta Q_{out}^1`$ hors de $`\Delta\tau`$, et l'on a :<br>
* Les dipôles dans la moitié gauche de $`\delta\tau_1`$ (voir figure 13) maintiennent leur charge positive $`\Delta Q_{out}^1`$ dans $`\Delta\tau`$, et l'on a :<br>
Cela apparaît égal au produit scalaire $`\vec{P_1}\cdot \vec{dS_1}`$.<br>
(les 6 faces $`dS_i`$ qui forment la frontière du volume $`\Delta\tau`$ ont leurs vacteurs représentatifs $`\vec{dS_i}`$ orientés conventionnellement de l'intérieur vers l'extérieur).
Ce bilan somme la charge total de tous les dipôles forntières de $`\Delta\tau`$ maintenue à l'extérieur. La loi de conservation de la charge impose que le volume $`\Delta\tau`$ initialement neutre se charge de la quantité opposée. $`\Delta\tau`$ est donc caractérisé par une densité volumique de charge $`\rho`$ égale à l'opposé de la divergence du vecteur polarisation :<br>
* Pour revenir au cas précédent, la divergence d'une polarisation uniforme est nulle. Nous en déduisons un fait et une relation très importante :
**En tout point d'un matériau diélectrique, la densité volumique de charges liées ( de charge de polarisation) $`\rho_{pol}`$ est égale à la divergence du vecteur polarisation en ce point.**
### Y-at-il une densité surfacique de charge $`\sigma`$ en surface d'un diélectrique de polarisation $`\overrightarrow{P}`$ uniforme ?
* Pour cherche réponse à cette question, modélisons un volume cubique mésoscopique $`\Delta\tau`$ situé dans un matériau polarisé électriquement uniformément, mais à l'interface avec un milieu non polarisable. Nous faisons de plus l'hypothèse que le vecteur polarisation s'annule abruptement à cette interface. les charges liées dans le volume diélectrique $`\Delta\tau`$ ne peuvent sortir du diélectrique.
* Á la *surface d'un diélectrique de polarisation $`\vec{P}`$* apparaît une densité surfacique de charges liées, dites **densité surfacique de charge de polarisation $`\sigma_{pol}`$** telle que :<br>
où $`\overrightarrow{u}_{surf}`$ est le vecteur unitaire perpendiculaire à la surface et orienté de l'intérieur vers l'extérieur du diélectrique.
#### Que se passe-t-il à l'interface entre un diélectrique et un conducteur?
C'est la cas lorsqu'un **matériau diélectrique** est inséré *entre les plaques d'un condensateur*.
Soit la **surface plane d'un diélectrique en contact avec la surface d'un conducteur***portant à sa surface une **densité surfacique de charges libres $`\sigma_{lib}`$** (C'est le cas présenté sur la figure 30, pour une densité surfacique de charges libres positives dans le conducteur $`\sigma_{lib}>0`$.
Bien que l'étude des propriétés physiques anistropes soit du niveau supérieur à cause du concept mathématique de tenseur qu'il faut acquériri et maîtriser, nous commencerons par ce cas pour mieux comprendre intuitivement ce qui se passe.
##### Diélectrique anisotrope
* **Diélectrique anisotrope**<br>
$`\Longrightarrow`$ il existe des *directions de plus facile polarisation*.
$`\Longrightarrow`$ Les **dipôles électriques** induits sont orientés autour d'une **direction voisine, mais non parallèle au champ électrique $`\vec{E}`$** créé par la surface chargée du conducteur.
* Le vecteur polarisation $`\vec{P}`$ suit la direction moyenne des moments dipolaires électriques.<br>
**$`\vec{P}`$** n'est **pas parallèle à $`\vec{E}`$**
* Une **densité surfacique de charges de polarisation, $`\sigma_{pol}`$, apparaît à l'interface** côté diélectrique telle que :<br>
Le signe - sur la figure vient du fait que le vecteur unitaire $`\overrightarrow{u}`$ perpendiculaire à la surface est orienté vers l'intérieur du diélectrique. (Attention ! le signe - doit être rajouté sur les figures 29 à 32).
* La **densité surfacique totale de charges $`\sigma`$** à l'interface s"écrit maintenant :<br>
##### Le théorème de Gauss en fonction de $`\overrightarrow{D}`$ :
Identifiant $`\epsilon_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}`$ au vecteur induction électrique $`\overrightarrow{D}`$, le **théorème de Gauss exprimé avec l'induction électrique** s'écrit :
**$`div\;\overrightarrow{D}=\rho_{lib}`$**
L'avantage de cette expression est que n'apparait seulement que la densité de charges libres, qui ont été amenées par un courant de conduction mesurable.
#### Exercice d'électrostatique dans la matière :
Comment varie la capacité d'un condensateur plan, si à charge égale, on remplit tout l'espace entre ses armatures avec un matériau diélectrique de permittivité relative $`\epsilon_r = 11`$ ?
