@ -19,28 +19,22 @@ $`\def\PSopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$
$`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
!!!! *CURSO EN CONSTRUCCIÓN :* < br >
!!!! *Non publié, non visible, NON VALIDÉ* <br>
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
! *Thème* :< br >
! *Electrostatique / Démonstration du théorème de Gauss, forme intégrale et forme locale* <br>
! Guide pour établir les 3 parties : main, overview, beyond< br >
!
! (_précède le thème : Electrostatique : Application du théorème de Gauss, forme intégrale et forme locale._)
!!!! *No publicado, no visible, aún no aprobado* <br>
!!!! Documento de trabajo destinado únicamente al equipo pedagógico.
<!-- MétaDonnée : INSAT - 1°année_ -->
#### Que sont les coordonnées cylindriques ?
#### Que son
* 3 coordonnées *spatiales* : **$`\mathbf{\rho\;,\;\varphi\;,\;z}`$**
* 3 coordonn
* définies à partir du **système de référence** des *coordonnées cartésiennes associées* .
*
* **$`\mathbf{\rho}`$** et **$`\mathbf{z}`$** sont des *longueurs* , de coordonnées SI : le mètre *($`\mathbf{m}`$)* .
* **$`\mathbf{\rho}`$** y **$`\mathbf{z}`$** son
* **$`\mathbf{\varphi}`$** est un *angle* exprimés en radian *($`\mathbf{rad}`$)* .
* **$`\mathbf{\varphi}`$** es un *angulo* expr... *($`\mathbf{rad}`$)* .
----
@ -48,7 +42,7 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
-----
#### Quels sont les domaines de variation des coordonnées ?
#### Que son ... ?
-----
@ -56,10 +50,10 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
-----
#### Comment passer des cylindriques aux cartésienne s ?
#### Commo ... s ?
* Méthode : *projeter* le vecteurs $`\overrightarrow{OM}`$ sur l'axe $`Oz`$, sur le plan $`xOy`$ au point $`M_{xOy}`$
* puis sur chacun des axes $`Ox`$ et $`Oy`$, *en utilisant les fonctions* trigonométriques *sinus* et *cosinus * .
* Métoda : ... $`\overrightarrow{OM}`$ ... $`Oz`$, ... $`xOy`$ ... $`M_{xOy}`$
* ... $`Ox`$ et $`Oy`$, *...* ... *sine* y *cosine * .
----
@ -70,11 +64,11 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
* $`\Longrightarrow`$
**$`\quad\mathbf{}\left\{\begin{array}{l} \mathbf{ x=\rho\cdot\cos\varphi} \\\mathbf{ y=\rho\cdot\sin\varphi} \\\mathbf{ z=z} \\ \end{array}\right. `$**
#### Comment définir le vecteur unitaire associé à chaque coordonnée ?
#### Como ... ?
* Le vecteur unitaire $`\overrightarrow{e_{\alpha}}`$ indique la **direction et le sens de déplacement** d'un point $`M`$ si *seule la coordonnée $`\alpha`$* du point $`M`$ *varie d'une quantité positive infinitésimale $`d\alpha^+`$* .
* ... $`\overrightarrow{e_{\alpha}}`$ ... **...** ... $`M`$ ... *s... $`\alpha`$* ... $`M`$ *... $`d\alpha^+`$* .
##### Vecteur unitaire $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
##### Vector ... $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
---------
@ -82,23 +76,23 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
--------
* Déplacement **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M"(\rho,\varphi+\Delta\varphi^+,z)}`$** < br >
(ave c $`\Delta\varphi^+=\Delta\varphi>0`$)< br >
< br > **$`\Longrightarrow`$ direction et sens** de **$`\mathbf{\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$** < br >
$`\Longrightarrow\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ : vecteur unitaire tangent en $`M`$ au cercle de rayon $`\rho_M`$ dans le plan $`z_M=const`$, orienté dans le sens des $`\varphi`$ croissants .
* D... **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M"(\rho,\varphi+\Delta\varphi^+,z)}`$** < br >
(con $`\Delta\varphi^+=\Delta\varphi>0`$)< br >
< br > **$`\Longrightarrow`$ ...** ... **$`\mathbf{\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$** < br >
$`\Longrightarrow\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ : ... $`M`$ ... $`\rho_M`$ ... $`z_M=const`$, ... $`\varphi`$ ... .
* Longueur parcourue : $`l_{\Delta\varphi}`$< br >
Vecteur déplacement : $`\overrightarrow{MM''}`$
* ... : $`l_{\Delta\varphi}`$< br >
... : $`\overrightarrow{MM''}`$
* Déplacement *macroscopique : $`\mathbf{l_ {\Delta\varphi} \ne\, ||\overrightarrow{MM''}||}`$*.
* Déplacement **infinitésimal : $`\mathbf{dl_{\varphi}=\,||\overrightarrow{MM''}||}`$** .
* ... *... : $`\mathbf{l_ {\Delta\varphi} \ne\, ||\overrightarrow{MM''}||}`$*.
* ... **infinitésimal : $`\mathbf{dl_{\varphi}=\,||\overrightarrow{MM''}||}`$** .
* Cas général ($`d\varphi=d\varphi^+>0`$ ou $`d\varphi^-< 0 `$) : < br >
* ... ($`d\varphi=d\varphi^+>0`$ o $`d\varphi^-< 0 `$) : < br >
< br > **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\varphi}}}`$** *$`\displaystyle=\lim_ {\Delta\varphi\rightarrow 0} \overrightarrow{MM''}`$* **$`\mathbf{=\rho_M\cdot d\varphi\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$** < br >
##### Vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ et $`\overrightarrow{e_z}`$
##### Vectores unitarios $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$
---------
@ -108,22 +102,22 @@ $`\Longrightarrow\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ : vecteur unitaire tangent en $`
* **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'(\rho+\Delta\rho^+,\varphi,z)}`$** < br >
**$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'''(\rho,\varphi,z+\Delta z^+)}`$** < br >
(avec $`\Delta\rho^+=\Delta\rho>0`$ et $`\Delta z^+=\Delta z>0`$)< br >
< br > **$`\Longrightarrow`$ directions et sens ** de < br >
**$`\quad\overrightarrow{e_{\rho}}`$** : selon l'axe $`Om_{xOy}`$.< br >
**$`\quad\overrightarrow{e_z}`$** : selon l'axe $`Oz`$.
(con $`\Delta\rho^+=\Delta\rho>0`$ y $`\Delta z^+=\Delta z>0`$)< br >
< br > **$`\Longrightarrow`$ ... ** de < br >
**$`\quad\overrightarrow{e_{\rho}}`$** : ... $`Om_{xOy}`$.< br >
**$`\quad\overrightarrow{e_z}`$** : ... $`Oz`$.
* Dans les deux cas, la trajectoire suivie par $`M`$ : sègment de droite < br >
$`\Longrightarrow`$ longueur parcourue = norme du vecteur déplacement .< br >
* ... $`M`$ : ... < br >
$`\Longrightarrow`$ ... = ... .< br >
$`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad l_{\Delta z}=||\overrightarrow{MM'''}||`$
* Cas général ($`d\rho\;, dz >0\;\text{ou}< 0 `$) : < br >
* ... ($`d\rho\;, dz >0\;\text{ou}< 0 `$) : < br >
**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\rho}}}`$** $`\displaystyle=\lim_{\Delta\rho\rightarrow 0} \overrightarrow{MM'}`$ **$`\mathbf{ = d\rho \cdot \overrightarrow{e_{\rho}}}`$** .< br >
**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_z}}`$** $`\displaystyle=\lim_{\Delta z \rightarrow 0} \overrightarrow{MM'''}`$
**$`\mathbf{=dz \cdot \overrightarrow{e_z}}`$** .
#### La base $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ est orthonormée .
#### La base $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ esta ortonormada .
----
@ -131,17 +125,17 @@ $`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad
---
* $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ est la *base associée à un point $`M(\rho_M,\varphi_M,z_M)`$*.
* $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ ... *... $`M(\rho_M,\varphi_M,z_M)`$*.
* **$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$** est orthonormée **directe si $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$** est orthonormée **directe** , et *inverse dans le cas contraire * .
* **$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$** ... **directa si $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$** ... **direc...** , y *... * .
* **$`\left\{ \begin{array}{l}\mathbf{\overrightarrow{e_{\rho}}=\cos\varphi\cdot\overrightarrow{e_x}+\sin\varphi\cdot\overrightarrow{e_y}} \\\mathbf{\overrightarrow{e_{\varphi}}=-\sin\varphi\cdot\overrightarrow{e_x}+\cos\varphi\cdot\overrightarrow{e_y}} \end{array}\right.`$**
* Dans le référentiel $`(O,\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z},t)`$, la *base $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$* :< br >
\- n'est **pas fixe ** .< br >
\- **change d'orientation** *quand $`\varphi_M`$ varie *.
* ... $`(O,\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z},t)`$, .. *... $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$* :< br >
\- ... **... ** .< br >
\- **...** *cuando $`\varphi_M`$ ... *.
#### Comment s'exprime le vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ ?
#### Como ... $`\overrightarrow{OM}`$ ?
----
@ -151,33 +145,33 @@ $`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad
* **$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=\rho_M\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+z_M\cdot\overrightarrow{e_z}}`$**
#### Que sont l'élément de longueur $`dl`$ et vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$ ?
#### Que son ... $`dl`$ y ... $`\overrightarrow{dl}`$ ?
* Un point **$`M(\rho,\varphi,z)`$** fait un **déplacement infinitésimal** jusqu'au point $`M'(\rho+d\rho,\varphi+d\varphi,z+dz)`$, avec *$`d\rho`$, $`d\varphi`$ et $`dz`$ variations infinitésimales, positives ou négatives* , des coordonnées $`\rho\;,\;\varphi\;,\;z`$.
* Un punto **$`M(\rho,\varphi,z)`$** ... **...** ... $`M'(\rho+d\rho,\varphi+d\varphi,z+dz)`$, con *$`d\rho`$, $`d\varphi`$ y $`dz`$ ..., ...* , ... $`\rho\;,\;\varphi\;,\;z`$.
##### Vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$
##### Vector ... $`\overrightarrow{dl}`$
* vecteur déplacement élémentaire = *élément vectoriel d'ar c* [Norme IEC ](http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-02 )
* vector ... = *... c* [Norme IEC ](http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-02 )
* Le **vecteur déplacement élémentaire** est le vecteur
* El **vector ...** ...
**$`\overrightarrow{dl}`$** $`\;=dl_{\rho}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\cdot\overrightarrow{e_z}`$
**$`\quad=dl_{\rho}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+\rho\,d\varphi\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\cdot\overrightarrow{e_z}`$**
* permet de calculer les vecteurs vitesse $`\overrightarrow{v}(t)`$ et accélération $`\overrightarrow{a}(t)`$ d'un point M à tout instant t :< br >
* permite de calcular los vectores ... $`\overrightarrow{v}(t)`$ y ... $`\overrightarrow{a}(t)`$ de un punto M a cada instante t :< br >
**$`\overrightarrow{v}(t)`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{dOM}}{dt}`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{dl}}{dt}`$**< br >
**$`\overrightarrow{a}(t)`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{d^2 OM}}{dt^2}`$**$`\;=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\overrightarrow{dl}}{dt}\right)`$**
##### Élément de longueur $`dl`$
##### Elemento de longitud $`dl`$
* élément de longueur = *élément scalaire d'arc * [Norme IEC ](http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-01 )
* elemento de longitud = *... * [Norme IEC ](http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-01 )
* L'**élément de longueur $`dl`$** est la *longueur parcourue* sur la trajectoire entre $`M`$ et $`M'`$ :< br >
* El **elemento de longitud $`dl`$** ... *...* ... $`M`$ y $`M'`$ :< br >
**$`dl`$**$`\;=\sqrt{dl_{\rho}^2+dl_{\varphi}^2+dl_z^2}`$**$`\;=\sqrt{d\rho^2+\rho^2\,d\varphi^2+dz^2}`$**
* Permet de calculer la longueur $`\mathscr{l}`$ d'une trajectoire $`L`$, lorsque les coordonnées $`\rho(t)`$, $`\varphi(t)`$ et $`z(t)`$ varient en fonction du temps de façon indépendantes les une des autre s :< br >
* Permite de calcular la longitud $`\mathscr{l}`$ de una trayectoria $`L`$ ... $`\rho(t)`$, $`\varphi(t)`$ y $`z(t)`$ ... s :< br >
**$`\displaystyle\mathbf{\mathscr{l}=\int_L dl}`$**
#### Qu'est-ce que la surface élémentaire associée à chaque coordonnée ?
#### Que es la superficia... ?
---
@ -189,7 +183,7 @@ $`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad
---
#### Qu'est-ce que le volume élémentaire ?
#### Que es ... ?
---
