Update textbook.fr.md

00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/05.classical-mechanics/vector-analysis/textbook.fr.md

@@ -586,19 +586,35 @@ Figure à créer.
 
 #### Différentielle d'un vecteur
 
-en relación a esta figura / en relation avec cette figure / in relation to this figure
+Por INSA / pour l'INSA / for INSA :
 
 ![](vector-differential_PolyINSA.png)
 
+Consédérons le vecteur $`\vec{OM}`$ susceptible d'évoluer dans le temps, à la fois
+en direction et en norme. Entre un instant $`t`$ et $`t+dt`$ (avec $`dt`$ une variation
+infinitésimale du temps) le vecteur a varié d'une quantité $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$
+que l'on appelle la différentielle du vecteur $`\vec{OM}`$. Ainsi on peut écrire :<br>
+
 $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t)`$
 
+La figure ci-contre représente les vecteurs $`\vec{OM}(t+dt)`$, $`\vec{OM}(t)`$
+et $`$`d\left(\vec{OM}(t)\right)`$. 
+
+Plutôt que d'utiliser les vecteurs de base "conventionnels" $`\vec{e_x}`$ et $`\vec{e_y}`$, 
+nous allons exprimer l'ensemble des vecteurs dans la base $`\vec{e_{||}}`$ et $`\vec{e_{\perp}}`$.
+
+
+
+
 $`d\overrightarrow{OM}=||\overrightarrow{OM}|| \cdot\overrightarrow{e_{||}}`$
 
 $`\Psi=\Psi(t+dt)-\Psi(t)`$
 
-$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}+d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}`$
-
+$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}
++d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}`$
 
+Dans la limite $`\Psi\longrightarrow 0`$, $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$ 
+va s’aligner avec $`\overrightarrow{e_{||}}`$. Dans cette situation, ‖d((OM) ⃗(t))_∥ ‖ correspond simplement à l’allongement du vecteur (OM) ⃗. Ainsi ‖d((OM) ⃗(t))_∥ ‖=d‖(OM) ⃗(t)‖. Par construction, le vecteur d((OM) ⃗(t))_⊥ va s’aligner avec le vecteur unitaire (e_⊥ ) ⃗   (toujours dans la limite où dψ tend vers 0). En utilisant le triangle rectangle, nous déduisons que sa norme vaut ‖d((OM) ⃗(t))_⊥ ‖=‖(OM) ⃗(t)‖tan⁡(dψ)≈‖(OM) ⃗(t)‖dψ. Ainsi, la différentielle du vecteur d((OM) ⃗(t)) s'écrit de la manière suivante :