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@@ -214,7 +214,7 @@ En coordonnées cartésiennes, les vecteurs de base gardent la
 form an **orthonormal basis** of space. It is the **base associated with Cartesian coordinates**.
 In Cartesian coordinates, the base vectors keep the 
 **same direction whatever the position of the point $`M`$**.<br>
-<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x})`$ 
+<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ 
 base ortogonal independiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale indépendante
 de la position de $`M`$ / orthogonal basis independent of the position of $`M`$.
 
@@ -412,48 +412,51 @@ $`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\phi}=\rho\,d÷phi`$.<br>
 
 * **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>
 [ES] Cuando solo la coordenada $`\rho`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ aumenta
-infinitesimalmente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$), el vector de desplazamiento
+infinitesimalmente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$)
+para llegar al punto $`M'(\rho+\delta\rho, \varphi, z)`$, el vector de desplazamiento
 $`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ del punto $`M`$ el vector 
 tangente a la trayectoria en el punto $`M`$ que se escribe :<br>
 [FR] Lorsque seule la coordonnées $`\rho`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ s'accroît de façon 
-infinitésimale entre les valeurs $`\rho`$ et $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$), le vecteur déplacement 
+infinitésimale entre les valeurs $`\rho`$ et $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$)
+pour atteindre le point $`M'(\rho+\delta\rho, \varphi, z)`$, le vecteur déplacement 
 $`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ du point $`M`$ est le vecteur
 tangent à la trajectoire au point $`M`$ qui sc'écrit :<br>
 When only the $`\rho`$ coordinate of a point $`M(x,y,z)`$ increases infinitesimally between
-the values $`\rho`$ and $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$), the displacement vector
+the values $`\rho`$ and $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$) to reach the point
+$`M'(\rho+\delta\rho, \varphi, z)`$, the displacement vector
 $`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ of the point $`M`$ is the 
 tangent vector to the trajectory at point $`M`$. It writes :<br>
-<br>$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \rho}\cdot \rho`$<br>
+<br>$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \rho}\cdot d\rho`$<br>
 <br>[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria  $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (que indica la dirección y el sentido
-de desplazamiento del punto M cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada x se escribe:<br>
+de desplazamiento del punto $`M`$ cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada $`\rho`$ se escribe:<br>
 [FR] Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (qui indique la direction et le sens 
-de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît de façon infinitésimale) s'écrit :<br>
+de déplacement du point $`M`$ lorsque seule la coordonnée $`\rho`$ croît de façon infinitésimale) s'écrit :<br>
 [EN] The unit vector tangent to the trajectory  $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$  (which indicates the direction of displacement 
-of the point M when only the coordinate x increases in an infinitesimal way) writes :<br>
+of the point $`M`$ when only the coordinate $`\rho`$ increases in an infinitesimal way) writes :<br>
 <br>$`\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}||}`$<br>
 <br>tambien / de même / similarly :<br>
-$`\partial\overrightarrow{OM}_y=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}\cdot dy`$,
-$`\quad\overrightarrow{e_y}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_y}{||\partial\overrightarrow{OM}_y||}`$<br>
+$`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial {\varphi}}\cdot d{\varphi}`$,
+$`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}||}`$<br>
 $`\partial\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$,
 $`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$
 
 * **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br> 
-[ES] Los vectores $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
-forman una **base ortonormal** del espacio. La base $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x})`$ 
+[ES] Los vectores $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
+forman una **base ortonormal** del espacio. La base $`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x})`$ 
 es la **base asociada a las coordenadas cartesianas**. En coordenadas cartesianas, los vectores
 de base asociadas a las coordenadas cartesianas mantienen la 
 **misma dirección y el mismo sentido sea cual sea la posición del punto $`M`$**.<br>
-[FR] Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
+[FR] Les vecteurs $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
 forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la **base associée aux coordonnées cartésiennes**.
 En coordonnées cartésiennes, les vecteurs de base gardent la 
 **même direction et le même sens quelque-soit la position du point $`M`$**.<br>
-[EN] The vectors $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
+[EN] The vectors $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
 form an **orthonormal basis** of space. It is the **base associated with Cartesian coordinates**.
-In Cartesian coordinates, the base vectors keep the 
-**same direction whatever the position of the point $`M`$**.<br>
-<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x})`$ 
-base ortogonal independiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale indépendante
-de la position de $`M`$ / orthogonal basis independent of the position of $`M`$.
+In Cartesian coordinates, the base vectors  
+**change of direction when the position of the point $`M`$ changes**.<br>
+<br>$`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_x})`$ 
+base ortogonal dependiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale dépendante
+de la position de $`M`$ / orthogonal basis dependent of the position of $`M`$.
 
 * **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>
 [ES] La norma del vector $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$