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@ -450,7 +450,7 @@ $`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overri

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-* *COOSYS-290*
+* *COOSYS-290* para completar / à compléter / to complete 

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@ -458,7 +458,7 @@ $`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overri

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-* *COOSYS-295*
+* *COOSYS-295* para completar / à compléter / to complete 

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@ -468,7 +468,7 @@ $`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overri

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-* *C0OSYS-300* :  
+* *COOSYS-300* :  

 Cadre de référence : système cartésien de coordonnées  $`(O, x, y, z)`$
 \- **1 point $`O`$ origine** de l'espace.<br>
@ -477,7 +477,7 @@ Cadre de référence : système cartésien de coordonnées  $`(O, x, y, z)`$

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-* *C0OSYS-310* :  
+* *COOSYS-310* :  

 Coordonnées cylindriques $`(\rho , \varphi , z)`$ :

@ -493,7 +493,7 @@ le sens de rotation étant tel que le trièdre *$`(Ox , Om_{xy}, Oz)`$* est un *

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-* *C0OSYS-320*
+* *COOSYS-320*

 *Remarque :* Les deux premières coordonnées cylindriques d'un point $`M`$ sont les coordonnées polaires du point $`m_{xy}`$ dans le plan $`xOy`$ (plan $`z=0`$). Ce sont aussi les coordonnées polaires du point $`M`$ dans le plan $`z=z_M`$.

@ -517,7 +517,7 @@ $`M(\rho , \varphi , z)`$, **$`\mathbf{M(\rho , \varphi , z)}`$**

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-* *C0OSYS-340*
+* *COOSYS-340*

 \- **Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cylindriques variant indépendamment 
 dans les domaines $`\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[ `$  ,  
@ -528,7 +528,7 @@ $`\varphi\in[0,2\pi[`$ et $`z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty\,[`$.

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-* *C0OSYS-350*
+* *COOSYS-350*

 ! <details markdown=1>
 ! <summary>
@ -596,7 +596,7 @@ $`M(\rho, \varphi, z)`$ , **$`\mathbf{M(\rho, \varphi, z)}`$** -->

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-* *C0OSYS-360* 
+* *COOSYS-360* 

 [ES] Cuando solo la coordenada $`\rho`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ varía
 continuamente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+\Delta \rho`$, el punto $`M`$ recorre un segmento
@ -641,7 +641,7 @@ $`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\phi}=\rho\,d\varphi`$ , , **$`\mathbf{dl_{\varp

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-* *C0OSYS-370* : 
+* *COOSYS-370* : 

 [ES] elemento escalar de línea :<br>
 [FR] élément scalaire de longueur :<br>
@ -655,7 +655,7 @@ $`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\phi}=\rho\,d\varphi`$ , , **$`\mathbf{dl_{\varp

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-* *C0OSYS-380*
+* *COOSYS-380*

 [ES] Cuando solo la coordenada $`\rho`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ aumenta
 infinitesimalmente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$)
@ -698,7 +698,7 @@ $`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\ove

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-* *C0OSYS-390*
+* *COOSYS-390*

 [ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
 es el elemento escalar de linea $`dl_{\rho}`$, entonces el vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
@ -734,7 +734,7 @@ $`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varph

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-* *C0OSYS-400*
+* *COOSYS-400*

 [ES] El **elemento vectorial de línea** o ?? $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en coordenadas cilíndricas es
 el vector de desplazamiento del punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ al punto $`M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)`$ cuando 
@ -782,7 +782,7 @@ $`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$

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-* *C0OSYS-410*
+* *COOSYS-410*
 
 [ES] Los vectores $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
 forman una **base ortonormal** del espacio. La base
@ -816,7 +816,7 @@ de la position de $`M`$ / orthogonal basis dependent of the position of $`M`$.

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-* *C0OSYS-420*
+* *COOSYS-420*

 $`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}(t)\quad\Longrightarrow\quad\left\{ \begin{array}{l}
 \overrightarrow{e_{\rho}} = \overrightarrow{e_{\rho}}(t) \\
@ -826,7 +826,7 @@ $`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}(t)\quad\Longrightarrow\quad\left\{ \be

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-* *C0OSYS-430*
+* *COOSYS-430*

 Método 1 para el cálculo de / Méthode 1 pour le calcul de / Method 1 for the calculation of :<br>
 $`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$. 
@ -914,7 +914,7 @@ $`\quad\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\ov

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-* *C0OSYS-440*
+* *COOSYS-440*

 Método 2 para el cálculo de / Méthode 2 pour le calcul de / Method 2 for the calculation of :<br>
 $`\dfrac{d e_{\rho}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ 
@ -988,7 +988,7 @@ $`\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=\overrightarrow{0}`$

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-* *C0OSYS-450* 
+* *COOSYS-450* 

 [ES] En la mecánica clásica, las interacciones entre cuerpos materiales se traducen en términos de fuerza $`\vec{F}`$ y conducen a una aceleración $`\vec{a}`$ de cada cuerpo en interacción proporcional a la inversa de su masa de inercia $`m_I`$ : $`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (o $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , ver capítulo mecánico). Como el vector de aceleración es la segunda derivada temporal del vector de posición, es posible que necesitemos conocer la segunda derivada  temporal de los vectores base para el estudio del movimiento.

@ -1030,7 +1030,7 @@ $`\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_z}}{dt^2} \quad = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\

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-* *C0OSYS-460*
+* *COOSYS-460*

 [ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
 es el elemento escalar de linea $`dl_{\rho}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ 
@ -1064,7 +1064,7 @@ $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\ov

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-* *C0OSYS-470*
+* *COOSYS-470*

 [ES] Los 3 vectores $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$,
 $`\quad d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ y
@ -1094,7 +1094,7 @@ of their norms.

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-* *C0OSYS-480*
+* *COOSYS-480*

 http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-06.

@ -1147,13 +1147,45 @@ $`\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=-\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,

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+#### Derivadas temporales de los vectores de base / Dérivées temporelles des vecteurs de la base / Time derivative of the base vectors 
+
+--------------------------------------------------------------------------------
+
+para completar / à compléter / to complete 
+
+--------------------------------------------------------------------------------
+
+#### Vector de posición / Vecteur position / Position vector
+
+--------------------------------------------------------------------------------
+
+para completar / à compléter / to complete 
+
+--------------------------------------------------------------------------------
+
+#### Vector de velocidad / Vecteur vitesse / Velocity vector
+
+--------------------------------------------------------------------------------
+
+para completar / à compléter / to complete 
+
+--------------------------------------------------------------------------------
+
+#### Vector de aceleración  / Vecteur accélération / Acceleration vector 
+
+--------------------------------------------------------------------------------
+
+para completar / à compléter / to complete 
+
+--------------------------------------------------------------------------------
+
 ### 3 - Coordenadas esféricas / Coordonnées sphériques / Spherical coordinates

 #### Definiciones / Définitions

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-* *C0OSYS-550* 
+* *COOSYS-550* 

 Les coordonnées sphériques s'écrivent $`(r, \theta, \varphi)`$,

@ -1181,7 +1213,7 @@ $`M(r, \theta, \varphi)`$ , **$`\mathbf{M=M(\rho, \theta, \varphi)}`$**

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-* *C0OSYS-560* 
+* *COOSYS-560* 

 [FR] élément scalaire de longueur :

@ -1190,7 +1222,7 @@ $`dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}`$ ,

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-* *C0OSYS-570*
+* *COOSYS-570*

 Vecteur position d'un point $`M(r,\theta,\varphi)`$ en coordonnées sphériques :

@ -1198,7 +1230,7 @@ Vecteur position d'un point $`M(r,\theta,\varphi)`$ en coordonnées sphériques

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-* *C0OSYS-580* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
+* *COOSYS-580* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**

 Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées sphériques :

@ -1206,7 +1238,7 @@ $`d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathbf{d{\l

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-* *C0OSYS-590* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
+* *COOSYS-590* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**

 Lorsque seule la coordonnées $`r`$ d'un point $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon 
 continue entre les valeurs $`r`$ et $`r+\Delta r`$, le point $`M`$ parcourt un sègment
@ -1234,7 +1266,7 @@ $`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathb

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-* *C0OSYS-600* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
+* *COOSYS-600* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**

 Les vecteurs $`\overrightarrow{e_r}`$, $`\overrightarrow{e_{\theta}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
 forment une **base orthonormée** de l'espace. La base $`(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ 
@ -1254,9 +1286,22 @@ $`\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;s
 <br>$`\overrightarrow{e_{\theta}}=cos\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;-\;sin\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$<br>
 <br>$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$<br>

+
+--------------------------------------------------------------------------------
+
+#### Vector de posición / Vecteur position / Position vector
+
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-* *C0OSYS-610* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>
+
+
+--------------------------------------------------------------------------------
+
+#### Derivadas temporales de los vectores de base / Dérivées temporelles des vecteurs de la base / Time derivative of the base vectors 
+
+--------------------------------------------------------------------------------
+
+* *COOSYS-610* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>

 Méthode 1 pour le calcul de $`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ 

@ -1419,7 +1464,7 @@ $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\phi}}, \overrightarrow{e_z})`$

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-* *C0OSYS-620* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
+* *COOSYS-620* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**

 Méthode 2 pour le calcul de 
 $`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ 
@ -1545,12 +1590,24 @@ $`=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot
 $`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$
 $`=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{0}\,-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$

+
+--------------------------------------------------------------------------------
+
+#### Vector de velocidad / Vecteur vitesse / Velocity vector
+
 --------------------------------------------------------------------------------

-* *C0OSYS-630*
+* *COOSYS-630*

 $`\overrightarrow{v}(t)=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left[\,r(t)\cdot\overrightarrow{e_r}(t)\,\right]`$$`=\dfrac{dr(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r(t)}\;+\;r(t)\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}(t)}{dt}`$
 $`=\dfrac{dr}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\;+\;r\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}`$

+--------------------------------------------------------------------------------
+
+#### Vector de aceleración  / Vecteur accélération / Acceleration vector 
+
+--------------------------------------------------------------------------------
+
+* *COOSYS-640*