Update textbook.es.md

00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/10.vector-analysis/textbook.es.md

@@ -90,8 +90,8 @@ https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11
 
 ##### VA10.Vectores en el espacio euclidiano / Vecteurs dans un espace euclidien / Vectors in Euclidean Space
 
-[ES] 3 caracteristicas : norma, dirección y sentido ? <br>
-[FR] 3 caractéristiques : norme, direction et sens <br>
+[ES] 3 caracteristicas : norma, dirección y sentido ? 
+[FR] 3 caractéristiques : norme, direction et sens 
 [EN] 2 characteritics :  magnitude (or length) and direction.
 
 ATENCIÓN / ATTENTION / BE CAREFUL :
@@ -99,9 +99,11 @@ ATENCIÓN / ATTENTION / BE CAREFUL :
 [FR] mathématiquement, le mot dirección / direction / direction" n'a pas le même sens en français et espagnol, et en anglais.
 [EN] mathematically, the word "dirección / direction / direction" does not have the same meaning in French and Spanish, and in English.
 
+-------------------------------
+
 ##### VA20 Significado de los vectores en mecánica / Signification des vecteurs en mécanique / Meaning of vectors in mechanics.
 
-* [ES] Los *vectores* pueden representar *diferentes cantidades físicas*. <br>
+[ES] Los *vectores* pueden representar *diferentes cantidades físicas*. <br>
 _ejemplo: vector de velocidad del punto M, y la fuerza que se aplica al punto M._<br>
 [FR] Les *vecteurs* peuvent représenter des *grandeurs physiques différentes*.<br>
 _exemple : vecteur vitesse du point M, et la force qui s’applique sur le point M._<br>
@@ -118,6 +120,8 @@ et  $`N`$)_. Elles *ne peuvent pas être comparées*.<br>
 and force)_ are expressed in *different units* _(respectively: $`ms^{-1}`$ and $`N`$)_. 
 They *cannot be compared*.
 
+-------------------------------
+
 ##### VA30 Vectores colineales y no colineales / Vecteurs colinéaires et non colinéaires / Collinear and non-collinear vectors
 
 * [ES] Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si tienen *igual dirección*.<br>
@@ -135,82 +139,110 @@ They *cannot be compared*.
                                    
 Fig "mechanics-vectors-collinear.png" ready for use.
 
+-------------------------------
+
 ##### VA40 suma y resta de vectores / addition et soustraction de vecteurs / addition and subtraction of vectors
 
+-------------------------------
 
 ##### VA50 multiplicación de un vector por un escalar / multiplication d'un vecteur par un scalaire / multiplication of a vector by a scalar
 
+-------------------------------
 
 #### VA60 vectores libres, vecores fijos / vecteurs libres, vecteurs liés / ...
 
-                                                     
+-------------------------------
+
 #### VA70Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space
 
 ##### VA70-1 en un plano $`\mathcal{P}`$ / dans un plan $`\mathcal{P}`$ / in a plane $`\mathcal{P}`$
 
-* Definición / Définition :<br>
+Definición / Définition :
+
 [ES] **2 vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ pertenecientes a un plano $`\mathcal{P}`$, no nulos, no colineales y ordonados**
-en una secuencia $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forman una *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de este plano.<br>
+en una secuencia $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forman una *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de este plano.
+
 [FR] **2 vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ appartenant à un plan $`\mathcal{P}`$, non nuls, non colinéaires et ordonnés** 
-dans une suite $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$  forment une *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de ce plan.<br>
+dans une suite $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$  forment une *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de ce plan.
+
 [EN] ...
 
-* Propiedad / Propriété :<br>
+Propiedad / Propriété :
+
 [ES] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ es una base de un plano $`\mathcal{P}`$, entonces cualquier *vector $`\vec{V}`$* de 
-$`\mathcal{P}`$ se descompone *de forma única* en una **combinación lineal** *de los vectores de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.<br>
+$`\mathcal{P}`$ se descompone *de forma única* en una **combinación lineal** *de los vectores de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.
+
 [FR] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ est une base d'un plan $`\mathcal{P}`$, alors tout *vecteur $`\vec{V}`$* de $`\mathcal{P}`$
-se décompose de *façon unique* en une **combinaison linéaire** *des vecteurs de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.<br>
+se décompose de *façon unique* en une **combinaison linéaire** *des vecteurs de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.
+
 [EN] ...
 
-* Écriture mathématique :<br>
-"$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})`$ est une base de $`\mathcal{P}`$"
+Escritura matemática / Écriture mathématique :
+
+[ES] 
+
+[FR]"$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})`$ est une base de $`\mathcal{P}`$"
 $`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2`$$`\quad
 \overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}`$
 
+[EN]
+
 Fig "mechanics-vector-base-plane_L1200.gif" ready for use.
 
 ##### VA70-2 en un espacio vectorial $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ / dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$ / in a vector space $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$
 
  
- 
-* VA75
+##### VA75
+
 [ES] En matemáticas, una **secuencia** es un *conjunto ordenado de elementos*, llamados sus "términos".
-y que están *indexados por números naturales*.<br>
+y que están *indexados por números naturales*.
+
 [FR] En mathématiques, une **suite** est un *ensemble ordonné d'éléments*, appelés ses "termes" 
-et qui sont *indexées par les entiers naturels*.(le terme "n-uplet" n'est pas bon ...)<br>
+et qui sont *indexées par les entiers naturels*.(le terme "n-uplet" n'est pas bon ...)
+
 [EN] In mathematics, a **sequence** is an *ordered set of elements*, called its "terms"
 and which are *indexed by natural numbers*.
 
-* VA80
+##### VA80
+
 [ES] *$`n`$ vectores ordenados* en una secuencia $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forman 
 una **base de un espacio vectorial** $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ si *cualquier vector* de este 
-espacio se descompone de *manera única en una combinación lineal* de los vectores $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.<br>
+espacio se descompone de *manera única en una combinación lineal* de los vectores $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.
+
 [FR] *$`n`$ vecteurs ordonnés* dans une suite $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forment
 une **base d'un espace vectoriel** $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$, si *tout vecteur* $`\vec{V}`$
 de cet espace $`\mathcal{E}`$ se décompose de *façon unique* en une *combinaison linéaire* des vecteurs  
-$`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.<br>
+$`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.
+
 [EN] *$`n`$ ordered vectors* in a sequence $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ form a 
 **basis of a vector space** $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$ if *any vector* of this space decomposes in 
 *a unique way* into a *linear combination* of the vectors $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.
 
-* "$`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ est une base de $`\mathcal{E}`$"$`
+[ES]
+
+[FR]"$`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ est une base de $`\mathcal{E}`$"$`
 \quad\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{E}`$$`\quad\exists ! (\alpha_1,\alpha_1,...;\alpha_1)\in\mathbb{R}^n`$$`\quad
 \overrightarrow{V}=\alpha_1\cdot\overrightarrow{a_1}+\alpha_2\cdot\overrightarrow{a_2}+...+\alpha_n\cdot\overrightarrow{a_n}`$
 
-* VA90
+[EN]
+
+##### VA90
+
 [ES] Para cualquier base denotamos los vectores base $`\vec{a_i}`$.
 (ejemplo : vectores de la base convencionale (no ortonormales) de un cristal en física
 del estado sólido/estructura de materiales) :<br>
 http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br>
 Reservamos la notación $`\vec{e_i}`$ para las bases normales y ortonormales:<br>
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.<br>
-<br>[FR] Pour un base quelconque nous notons les vecteurs de base $`\vec{a_i}`$.
+http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.
+
+[FR] Pour un base quelconque nous notons les vecteurs de base $`\vec{a_i}`$.
 (exemple des vecteurs de base conventionnelle (non orthonormée) d'un cristal,
 en physique du solide/structure des matériaux) :<br>
 http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br>
 Nous réservons la notation $`\vec{e_i}`$ pour les vecteurs des bases normées et orthonormée :<br>
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.<br>
-<br>[EN] For any base we denote the base vectors $`\vec{a_i}`$.
+http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.
+
+[EN] For any base we denote the base vectors $`\vec{a_i}`$.
 (example of the conventional base (not orthonormal) of a crystal, in solid state
 physics/structure of materials) :<br>
 http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br>