@ -27,170 +27,47 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
<!-- MétaDonnée : INS - 1°année_ -->
#### What are ... ?
* 3 coordinates
#### Que sont les coordonnées cartésiennes ?
*
* 3 coordonnées *spatiales* : **$`\mathbf{x\;,\;y\;,\;z}`$**
* **$`\mathbf{\rho}`$** and **$`\mathbf{z}`$** are
* définies à partir d'un **système de référence** :< br >
\- **1 point $`O`$** de l'espace, *origine* des coordonnées.< br >
\- **3 axes** *orthogonaux 2 à 2* .< br >
\- **1 unité de longueur** identique pour les axes.
* **$`\mathbf{\varphi}`$** is an *angle* expr... *($`\mathbf{rad}`$)* .
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-----
* **$`\mathbf{x, y, z}`$** sont des *longueurs* , de coordonnées SI : le mètre *($`\mathbf{m}`$)* .
< br > < br >
#### What are ... ?
-----
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#### How ... ?
* Method : ... $`\overrightarrow{OM}`$ ... $`Oz`$, ... $`xOy`$ ... $`M_{xOy}`$
* ... $`Ox`$ et $`Oy`$, *...* ... *sine* y *cosine* .
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* $`\Longrightarrow`$
**$`\quad\mathbf{}\left\{\begin{array}{l} \mathbf{ x=\rho\cdot\cos\varphi} \\\mathbf{ y=\rho\cdot\sin\varphi} \\\mathbf{ z=z} \\ \end{array}\right. `$**
#### How ... ?
* ... $`\overrightarrow{e_{\alpha}}`$ ... **...** ... $`M`$ ... *s... $`\alpha`$* ... $`M`$ *... $`d\alpha^+`$* .
##### Vectors ... $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
---------
--------
* D... **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M"(\rho,\varphi+\Delta\varphi^+,z)}`$** < br >
(with $`\Delta\varphi^+=\Delta\varphi>0`$)< br >
< br > **$`\Longrightarrow`$ ...** ... **$`\mathbf{\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$** < br >
$`\Longrightarrow\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ : ... $`M`$ ... $`\rho_M`$ ... $`z_M=const`$, ... $`\varphi`$ ....
* ... : $`l_{\Delta\varphi}`$< br >
... : $`\overrightarrow{MM''}`$
* ... *... : $`\mathbf{l_ {\Delta\varphi} \ne\, ||\overrightarrow{MM''}||}`$*.
* ... **infinitesimal : $`\mathbf{dl_{\varphi}=\,||\overrightarrow{MM''}||}`$** .
* ... ($`d\varphi=d\varphi^+>0`$ o $`d\varphi^-< 0 `$) : < br >
< br > **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\varphi}}}`$** *$`\displaystyle=\lim_ {\Delta\varphi\rightarrow 0} \overrightarrow{MM''}`$* **$`\mathbf{=\rho_M\cdot d\varphi\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$** < br >
##### Vectors ... $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$
---------
--------
* **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'(\rho+\Delta\rho^+,\varphi,z)}`$** < br >
**$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'''(\rho,\varphi,z+\Delta z^+)}`$** < br >
(con $`\Delta\rho^+=\Delta\rho>0`$ y $`\Delta z^+=\Delta z>0`$)< br >
< br > **$`\Longrightarrow`$ ...** ... < br >
**$`\quad\overrightarrow{e_{\rho}}`$** : ... $`Om_{xOy}`$.< br >
**$`\quad\overrightarrow{e_z}`$** : ... $`Oz`$.
#### Quels sont les domaines de variation des coordonnées ?
* ... $`M`$ : ... < br >
$`\Longrightarrow`$ ... = ....< br >
$`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad l_{\Delta z}=||\overrightarrow{MM'''}||`$
* ... ($`d\rho\;, dz >0\;\text{ou}< 0 `$) : < br >
**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\rho}}}`$** $`\displaystyle=\lim_{\Delta\rho\rightarrow 0} \overrightarrow{MM'}`$ **$`\mathbf{ = d\rho \cdot \overrightarrow{e_{\rho}}}`$** .< br >
**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_z}}`$** $`\displaystyle=\lim_{\Delta z \rightarrow 0} \overrightarrow{MM'''}`$
**$`\mathbf{=dz \cdot \overrightarrow{e_z}}`$** .
#### Quelle est la propriété spécifique des coordonnées cartésiennes ?
#### La base $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ esta ortonormada.
* **Pour tout point $`M`$** de l'espace $`\mathscr{E}`$ de *coordonnées cartésiennes $`(x, y, z)`$* , la distance $`OM`$
s'exprime simplement en fonction des coordonnées :< br > < br >
**$`\mathbf{OM=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}`$**.
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* Cette propriété est **propre aux coordonnées cartésiennes** :< br >
< br >
Soit $`(O,\alpha,\beta,\gamma)`$ un système de coordonnées,
< br >
$`\mathbf{\forall M(\alpha;\beta,\gamma)\in\mathscr{E}\quad| \quad OM=\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2})}`$
$`\mathbf{\quad\Longleftrightarrow\quad(\alpha;\beta,\gamma)}`$ sont des coordonnées cartésiennes.
< br > < br > < br > < br > < br > < br > < br > < br > < br > < br > < br > < br > < br > < br > < br > < br >
---
* $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ ... *... $`M(\rho_M,\varphi_M,z_M)`$*.
* **$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$** ... **directa si $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$** ... **direc...** , y *...* .
* **$`\left\{ \begin{array}{l}\mathbf{\overrightarrow{e_{\rho}}=\cos\varphi\cdot\overrightarrow{e_x}+\sin\varphi\cdot\overrightarrow{e_y}} \\\mathbf{\overrightarrow{e_{\varphi}}=-\sin\varphi\cdot\overrightarrow{e_x}+\cos\varphi\cdot\overrightarrow{e_y}} \end{array}\right.`$**
* ... $`(O,\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z},t)`$, .. *... $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$* :< br >
\- ... **...** .< br >
\- **...** *cuando $`\varphi_M`$ ...*.
#### How ... $`\overrightarrow{OM}`$ ?
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* **$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=\rho_M\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+z_M\cdot\overrightarrow{e_z}}`$**
#### What are ... $`dl`$ and ... $`\overrightarrow{dl}`$ ?
* A point **$`M(\rho,\varphi,z)`$** ... **...** ... $`M'(\rho+d\rho,\varphi+d\varphi,z+dz)`$, with *$`d\rho`$, $`d\varphi`$ y $`dz`$ ..., ...* , ... $`\rho\;,\;\varphi\;,\;z`$.
##### Vector ... $`\overrightarrow{dl}`$
* vector ... = *...c* [Norme IEC ](http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-02 )
* The **vector ...** ...
**$`\overrightarrow{dl}`$** $`\;=dl_{\rho}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\cdot\overrightarrow{e_z}`$
**$`\quad=dl_{\rho}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+\rho\,d\varphi\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\cdot\overrightarrow{e_z}`$**
* enables to calculate the vectors ... $`\overrightarrow{v}(t)`$ y ... $`\overrightarrow{a}(t)`$ of a point M at each instant t :< br >
**$`\overrightarrow{v}(t)`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{dOM}}{dt}`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{dl}}{dt}`$**< br >
**$`\overrightarrow{a}(t)`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{d^2 OM}}{dt^2}`$**$`\;=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\overrightarrow{dl}}{dt}\right)`$**
##### ... $`dl`$
* ... = *...* [Norme IEC ](http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-01 )
* ... **... $`dl`$** ... *...* ... $`M`$ y $`M'`$ :< br >
**$`dl`$**$`\;=\sqrt{dl_{\rho}^2+dl_{\varphi}^2+dl_z^2}`$**$`\;=\sqrt{d\rho^2+\rho^2\,d\varphi^2+dz^2}`$**
* Enables to calculate the length $`\mathscr{l}`$ of a trajectory $`L`$ ... $`\rho(t)`$, $`\varphi(t)`$ y $`z(t)`$ ...s :< br >
**$`\displaystyle\mathbf{\mathscr{l}=\int_L dl}`$**
#### What is the ... ?
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< br >
< br >
< br >
< br >
< br >
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#### What is ... ?
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< br >
#### Comment définir le vecteur unitaire associé à chaque coordonnée ?
#### Comment s'exprime le vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ ?
##### Quelle différence entre coordonnées d'un point $`M`$, et composantes du vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ ?
