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@@ -78,7 +78,6 @@ La notion intuitive restreinte de notre espace trimdimensionnel se choque avec u
 *GEOM-NO-EUC-4.120* : variété
 -------------------------------------------->
 
-<!--(CME-FR)-->
 
 Une variété est ainsi défini comme un ensemble continu de points qui peuvent être individuellement repérés par un même nombre de paramètres appelées coordonnnées. Le nombre minimum de coordonnées nécessaires pour repérer de façon unique tout point de la variété est nommé dimension de la variété. Le continuité de l'ensemble des points d'une variété de dimension $`n`$ vient du fait que chaque coordonnée est un nombre réel (des coordonnées complexes peuvent aussi être imaginées), et qu'à chaque séquence ordonnée de $`n`$ nombres réels peut être associé un point unique de la variété. Les coordonnées d'un point dune variété de
 dimension $`n`$ se notent $`(x^1,x^2, ..., x^n)`$, et de façon abrégée $`x^i`$ en précisant que $`i`$ est un entier qui varie de $`1`$ à $`n`$.
@@ -114,17 +113,6 @@ mesure des longueurs, la valeur de la distance entre deux points quelconques de
 
 
 
-dans un système de coordonnées cartésiennes $`(O, x, y, z)`$ , la distance entre deux points $`M`$ et $`P`$ de coordonnées 
-$`(x_M, y_M, z_M)`$ et $`(x_P, y_P, z_P)`$ 
-
-, la distance entre deux points $`M`$ et $`P`$ de coordonnées cartésiennes $``$
-
-
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-
 #### Changement de coordonnées
 
 Un système de coordonnée est une façon de définir les $`n`$ paramètres $`x^i`$ qui permettent de repérer tout point 
@@ -165,7 +153,7 @@ x_n(x'_1, x'_2, ... , x'_n)
 
 *GEOM-NO-EUC-4.200* : géométrie invariant et métrique
 
-(CME) La géométrie de l'espace est donnée par l'expression d'un invariant $`ds`$ dans un système de
+La géométrie de l'espace est donnée par l'expression d'un invariant $`ds`$ dans un système de
 coordonnées, dont la valeur est indépendante dans tout système de coordonnées pour une même
 unité d'invariant.
 
@@ -197,7 +185,7 @@ unité d'invariant.
 
 *GEOM-NO-EUC-4.210* : variété surface d'une sphère.
 
-(CME)
+
 La sphère est plongée dans l'espace tridimensionnel euclidien classique.   
 Dans tout système de coordonnées cartésiennes $`\mathscr{S}_O=(O, x, y, z)`$ où l'origine $`O`$
 des coordonnées est située au centre de la sphère de rayon $`R`$, les coordonnées
@@ -222,15 +210,16 @@ Nous pouvons alors faire 3 remarques :
 \- les coordonnées du point $`M`$ origine sont $`(0,0,0)`$.   
 \- l'ensemble des points $`P`$ tels que $`z_P=0`$ définissent le plan tangent à la sphère au point $`M`$.    
 
-Dans ce système $`\mathscr{S}_M=(M, x, y, z)`$, les coordonnées de tout point $`P`$ de la sphère vérifient :   
+Dans ce système $`\mathscr{S}_M=(M, x, y, z)`$, l'équation vérifiée par les coordonnées  
+$`(x,y,z)`$ de tout point de la sphère s'écrit :
 
-$`x_P^2+y_P^2+(z_P-R)^2=R^2\quad`$(équ.1)
+$`x^2+y^2+(z-R)^2=R^2\quad`$(équ.1)
  
 En notation indicielle :  
-$`(x^1_P)^2+(x^2_P)^2+(x^3_P-R)^2=R^2`$   
+$`(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3-R)^2=R^2`$   
 
-Considérons deux points $`P_1`$ et $`P_2`$ infiniment proches de coordonnées $`(x_P, y_P, z_P)`$ et
-$`(x_P+dx, y_P+dy, z_P+dz)`$ dans l'espace euclidien tridimensionnel classique, mais situés 
+Considérons deux points $`P_1`$ et $`P_2`$ infiniment proches de coordonnées $`(x, y, z)`$ et
+$`(x+dx, y+dy, z+dz)`$ dans l'espace euclidien tridimensionnel classique, mais situés 
 tous deux à la surface de la sphère.   
 Dans l'espace euclidien tridimensionnel classique, l'invariant $`ds_{3D}`$ entre ces deux points est
 la distance euclidienne qui vérifie :
@@ -238,21 +227,34 @@ la distance euclidienne qui vérifie :
 $`ds_{3D}^2=dl_{P_1P_2}^2=dx^2+dy^2+dz^2`$
 
 Les deux points appartiennent à la surface de la sphère, ils appartiennent à la variété 2D perçue par la fourmie mais
-celle-ci n'a pas perception d'une troisième dimension liée à l'axe $`Mz`$. L'invariant $`ds_{2D}`$ entre ces deux points perçus
-par la fourmie ne peut s'exprimer qu'avec les coordonnées $`x`$ et $`y`$. L'équation (équ.1) permet
+celle-ci n'a pas perception d'une troisième dimension liée à l'axe $`Mz`$. L'invariant 
+$`ds_{2D}`$ entre ces deux points perçus par la fourmie ne peut s'exprimer qu'avec les coordonnées
+$`x`$ et $`y`$. L'équation (équ.1) permet d'obtenir $`z`$ en fonction de $`x`$ et de $`y`$   
+
+$`x^2+y^2+(z+R)^2=R^2`$
+
+En différenciant,
+
+$`d(x^2+y^2+(z+R)^2)=d(R^2)`$
+
+nous obtenons
+
+$`2\,x\,dx+2\,y\,dy+2\,(z+R)\,dz=0`$
+
+$`dz=-\dfrac{x\,dx+y\,dy}{z+R}`$
+
+$`dz=-\dfrac{x\,dx+y\,dy}{\sqrt{R^2-x-2-y-2}}`$
 
-d'obtenir $`z_P`$ en fonction de $`x_P`$ et de $`y_P`$   
-  $`z_P=
+L'invariant $`ds_{2D}`$ vérifie alors :
 
-$`x_P^2+y_P^2+(z_P-R)^2=R^2`$ permet d'obtenir l'expression de $`dz`$ en fonction de $`x`$ et $`y`$ :    
+$`ds_{3D}^2=dx^2+dy^2+dz^2`$$`\quad=dx^2+dy^2+\dfrac{(x\,dx+y\,dy)^2}{R^2-x-2-y-2}`$
+$`\quad=\left(1+\dfrac{x^2}{R^2-x^2-y^2}\right)dx^2+\left(1+\dfrac{y^2}{R^2-x^2-y^2}\right)dy^2+2\,\dfrac{XY}{R^2-x^2-y^2}dxdy`$
+$`\quad=\dfrac{R^2-y^2}{R^2-x^2-y^2}dx^2+1+\dfrac{R^2-x^2}{R^2-x^2-y^2}dy^2+2\,\dfrac{XY}{R^2-x^2-y^2}dxdy`$
 
-$`x_P^2+y_P^2+(z_P-R)^2=R^2`$
+$`\quad=g_{xx}\,dx^2+1+g_{yy}\,dy^2+(g_{xy}+g_{yx})\,dxdy`$
 
-$`d(x_P^2+y_P^2+(z_P-R)^2)=d(R^2)`$
 
-$`2\,x_P\,dx+2\,y_P\,dy+2\,z_P\,dz)=0`$
 
-$`dz=
 
 --->