Soient **$`\mathbf{E}`$ et $`\mathbf{F}`$ deux ensembles**.
L'ensemble *$`\mathbf{E}`$* est une partie ou un *sous-ensemble de $`\mathbf{F}`$* si et seulement si *tous les éléments de $`\mathbf{E}`$ sont élements de $`\mathbf{F}`$*, et je dis alors que **$`\mathbf{E}`$ est inclus dans $`\mathbf{F}`$** ou de façon équivalente que **$`\mathbf{F}`$ contient $`\mathbf{E}`$**
ce que j'écris en écriture mathématique :
* avec le *symbole d'inclusion $`\subset`$*.
<br>**$`\mathbf{\big(\,E \subset F\,\big) \iff \big (\,\forall x \;,\; x\in E \Longrightarrow x\in F\,\big)}`$**
* avec le *symbole de contenance $`\supset`$*.
<br>**$`\mathbf{\big(\,F \supset E\,\big) \iff \big (\,\forall x \;,\; x\in E \Longrightarrow x\in F\,\big)}`$**
Si au moins *un élément de $`\mathbf{E}`$ n'est pas un élément de $`\mathbf{F}`$*, alors je dis que **$`\mathbf{E}`$ n'est inclus pas dans $`\mathbf{F}`$** ou de façon équivalente que **$`\mathbf{F}`$ ne contient pas $`\mathbf{E}`$**,
ce que j'écris en écriture mathématique :
* avec le *symbole de non inclusion $`\not\subset`$*.
<br>**$`\mathbf{\big(\,E \not\subset F\,\big) \iff \big(\,\exists x \;,\; x\in E \land x\not\in F\,\big)}`$**
* avec le *symbole de contenance $`\not\supset`$*.
<br>**$`\mathbf{\big(\,F \not\supset E\,\big) \iff \big(\,\exists x \;,\; x\in E \land x\not\in F\,\big)}`$**
! *Remarque :*
! Pour démontrer $`E \subset F`$, je dois démontrer l'implication $`\big(\,E \subset F\,\big) \iff \big (\,\forall x \;,\; x\in E \Longrightarrow x\in F\,\big)`$.
! Je dois donc écrire "Soit $`x\in E`$", puis démontrer que $`x\in F`$.
!
! <detailsmarkdown=1>
! <summary>
! Pour démontrer que E n'est pas inclus dans F, je dois ...
! </summary>
! démontrer l'implication $`\exists x \;,\; x\in E \land x\not\in F`$.
! Je dois donc écrire "Il existe $`x\in E`$", puis démontrer qu'il existe au moins un élément de $`E`$ qui n'est pas élément de $`F`$.
Les deux ensembles **$`E`$ et $`F`$ sont égaux** si et seulement si :
* *tout élément de $`E`$ est élément de $`F`$* et *tout élément de $`F`$ est élément de $`E`$*,
ce qui s'écrit en écriture mathématique :
**$`\mathbf{\big(\,E=F\,\big) \Longleftrightarrow\big(\,\forall x \;,\; x\in E \Longleftrightarrow x\in F\,\big)}`$**
ce qui est équivalent à dire
* *$`E`$ est inclus dans $`F`$* et *$`F`$ est inclus dans $`E`$*,
ce qui s'écrit en écriture mathématique :
**$`\mathbf{\big(\,E=F\,\big) \Longleftrightarrow\big(\,E \subset F \land F \subset E\,\big)}`$**
! *Remarque :*
! Pour montrrer que deux ensembles $`E`$ et $`F`$ sont égaux, je dois démontrer pour tout $`x`$ l'équivalence $`(x \in E \iff x \in F)`$.
! Je pose donc un $`x`$ quelconque, puis
! * *soit* je raisonne directement par équivalence et montre que *$`(x \in E \iff x \in F)`$*.
! * *soit* je démontre deux implications, c'est à dire une double inclusion :
! \- *d'abord* je montre que $`(E \subset F)`$,
! c'est à dire que *si $`x\in E`$ alors $`x\in F`$*
! \- *puis* je montre que $`(F \subset E)`$,
! c'est à dire que *si $`x\in F`$ alorsS $`x\in E`$*.
!!! *Exemple :*
!!! _il faut développer complètement un exemple ici_.
!!! _Les travaux personnels de l'apprenant seront mis dans la partie "au-delà" de ce cours, avec pour certains dans un menu déroulant, d'abord des indices, puis une solution._
!!!! *Attention :*.
!!!! *Ne pas confondre $`\in`$ et $`\subset`$*.
!!!! Si $`x`$ est un élément, et $`E\,,F\,,G`$ des ensembles, je peux avoir $`x\in E`$ et $`F\subset G`$.
!!!!
!!!! *Un élément peut être considéré comme un ensemble*.
!!!! Par exemple :
!!!! * une droite est un ensemble de points.
!!!! * une droite est aussi un élément de l'ensemble des droites du plan qui le contient.
##### Transitivité de l'inclusion
Soit **$`\mathbf{E}`$ un ensemble**,
et soient **$`\mathbf{A\,,B\,,C}`$ trois sous-ensembles** (ou parties) de $`\mathbf{E}`$.
La **transitivité de l'inclusion** exprime le fait que
si *$`\mathbf{A}`$ est inclus dans $`\mathbf{B}`$*, et que ce même *$`\mathbf{B}`$ est inclus dans $`\mathbf{C}`$, alors* je peux dire avec certitude que *$`\mathbf{A}`$ est inclus dans $`\mathbf{C}`$*,
Je pars de l'hypothèse que $`A = B`$ et $`B = C`$.
Par définition j'ai $`A \subset B`$ et $`B \subset C`$, et la transitivité de l'inclusion implique $`A \subset C`$.
De même, $`B \subset A`$ et $`C \subset A`$ impliquent $`C \subset A`$.
Il en résulte que $`A = C`$.
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### Opération sur les parties de $`E`$
#### Le complémentaire d'un ensemble $`E`$
##### Définition
Soit $`E`$ un ensemble, et $`A`$ un sous-ensemble de $`E`$.
Le **complémentaire de $`A`$ dans $`E`$**, noté **$`\mathbf{\complement_E A}`$**, est l'*ensemble des éléments de $`E`$ qui n'appartiennent pas à $`A`$* :
**$`\mathbf{\complement_E A=\{x\in E\,,\, x \notin A\}}`$**
! *Remarques :*
!
! * $`\complement_E A`$ est un sous-ensemble de $`E`$.
!
! * *$`\mathbf{\complement_E A}`$* peut aussi se noter *$`\mathbf{\overline{A}}`$* ou *$`\mathbf{A^c}`$* lorsque l'ensemble $`E`$ sur lequel la complémentarité s'applique est bien spécifié avant, et qu'il n'y a pas d'autre risque de confusion.
!!! *Exemple :*
!!! Soient $`E=\{1\,,2\,,3\,,4\,,5\} \;,\; A=\{1\,,3\}\subset E \;,\; B=\{2\,,4\,,5\}\subset E`$.
!!! Nous avons :
!!! $`\complement_E A=\{2\,,4\,,5\}=B`$.
!!! $`\complement_E A\,(\complement_E A) =\{1\,,3\}=A`$.
!!! $`\complement_E B=\{1\,,3\}=A`$.
!!! $`A+\complement_E A) =E`$
!!! $`B+\complement_E B) =E`$
*Proposition*
Soient un ensemble $`E`$, et $`A`$ et $`B`$ deux sous-ensembles de $`E`$.
