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title: Coordenadas esféricas |
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published: true |
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routable: false |
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visible: false |
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lessons: |
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- slug: |
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order: |
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- slug: spherical-coordinates-linear |
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order: 1 |
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!!!! *CURSO EN CONSTRUCCIÓN :* <br> |
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!!!! Publicado pero invisible: no aparece en la estructura de árbol del sitio m3p2.com. Este curso está *en construcción*, *no está aprobado por el equipo pedagógico* en esta etapa. <br> |
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!!!! Documento de trabajo destinado únicamente al equipo pedagógico. |
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<!--MetaDato : ... --> |
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<!-- Partie principale $`\longleftarrow`$ Coordonnées cylindriques N3 --> |
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<!--travail commun : |
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https://gitlab.m3p2.com/m3p2/courses/blob/master/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/20.reference-frames-coordinate-systems/textbook.es.md |
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--> |
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### Les coordonnées sphériques |
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#### Définition des coordonnées et domaines de définition |
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* *CS550* |
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Les coordonnées sphériques s'écrivent $`(r, \theta, \varphi)`$, |
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avec : |
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$`r\in [0;\infty[`$ , $`\theta\in[0,\pi]`$ et $`\varphi\in [0;2\pi[`$. |
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**$`\mathbf{ r\in [0;\infty[}`$ , $`\mathbf{\theta\in[0,\pi]}`$ , $`\mathbf{\varphi\in [0;2\pi[ }`$** |
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Coordonnées sphériques d'un point $`M`$ : |
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$`(r_M, \theta_M, \varphi_M)`$ : |
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on écrit : |
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$`M(r_M, \theta_M, \varphi_M)`$ |
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Si le point est un point quelconque, on simplifie |
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$`M(r, \theta, \varphi)`$ , **$`\mathbf{M=M(\rho, \theta, \varphi)}`$** |
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#### Variation d'une coordonnée et longueur du parcours associée |
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* *CS560* |
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[FR] élément scalaire de longueur : |
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$`dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}`$ , |
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**$`\mathbf{dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}}`$** |
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-------------------------- |
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* *CS570* |
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Vecteur position d'un point $`M(r,\theta,\varphi)`$ en coordonnées sphériques : |
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<br>$`\overrightarrow{OM}=r\;\overrightarrow{e_r}`$ , **$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=r\;\overrightarrow{e_r}}`$** |
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* *CS580* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** |
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Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées sphériques : |
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|||
$`d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathbf{d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi}`$**. |
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--------------------------- |
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* *CS590* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** |
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|||
Lorsque seule la coordonnées $`r`$ d'un point $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon |
|||
continue entre les valeurs $`r`$ et $`r+\Delta r`$, le point $`M`$ parcourt un sègment |
|||
de droite de longueur $`\Delta l_r=\Delta r`$. Lorsque $`\Delta r`$ tend vers $`0`$, |
|||
la longueur infinitésimale $`dl_r`$ parcourue pour le point $`M`$ est : |
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|
|||
$`\displaystyle dr=\lim_{\Delta r\rightarrow 0 \\ \Delta r>0} \Delta r`$ |
|||
$`\quad\Longrightarrow\quad dl_r=dr`$ , **$`\mathbf{dl_r=dr}`$** |
|||
|
|||
Lorsque seule la coordonnées $`\theta`$ d'un point $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon |
|||
continue entre les valeurs $`\theta`$ et $`\theta +\Delta \theta`$, le point $`M`$ parcourt un |
|||
arc de cercle de longueur $`\Delta l_{\theta}=r\;\Delta \theta`$. Lorsque $`\Delta \theta`$ tend vers $`0`$, |
|||
la longueur infinitésimale $`dl_{\theta}`$ parcourue pour le point $`M`$ est : |
|||
|
|||
$`\displaystyle d\theta=\lim_{\Delta \theta\rightarrow 0 \\ \Delta \theta>0} \Delta\theta`$ |
|||
$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\theta}=r\,d\theta`$ , **$`\mathbf{dl_{\theta}=r\,d\theta}`$** |
|||
|
|||
Lorsque seule la coordonnées $`\varphi`$ d'un point $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon |
|||
continue entre les valeurs $`\varphi`$ et $`\varphi +\Delta \varphi`$, le point $`M`$ parcourt un |
|||
arc de cercle de longueur $`\Delta l_{\varphi}=r \;sin\,\theta\;\Delta \varphi`$. Lorsque $`\Delta \varphi`$ tend vers $`0`$, |
|||
la longueur infinitésimale $`dl_{\varphi}`$ parcourue pour le point $`M`$ est : |
|||
|
|||
$`\displaystyle d\varphi=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0 \\ \Delta \varphi>0} \Delta\varphi`$ |
|||
$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathbf{dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi}`$** |
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--------------------------- |
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* *CS600* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** |
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|||
Les vecteurs $`\overrightarrow{e_r}`$, $`\overrightarrow{e_{\theta}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ |
|||
forment une **base orthonormée** de l'espace. La base $`(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ |
|||
est la base associée aux coordonnées sphériques. |
|||
En coordonnées sphériques, les vecteurs de base associés |
|||
changent de direction lorsque le point $`M`$ se déplace. |
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|||
$`||\overrightarrow{e_r}||=||\overrightarrow{e_{\theta}}||=||\overrightarrow{e_{\varphi}}||=1`$ |
|||
|
|||
$`\overrightarrow{e_r}\perp\overrightarrow{e_{\theta}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\theta}}\perp\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}\perp\overrightarrow{e_r}`$ |
|||
|
|||
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartesiana *directa* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ base esférica asociada *directa*. |
|||
<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartésienne *directe* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ base sphérique associée *directe*. |
|||
<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* Cartesian base $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ *direct* associated spherical base. |
|||
|
|||
$`\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;sin\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$<br> |
|||
<br>$`\overrightarrow{e_{\theta}}=cos\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;-\;sin\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$<br> |
|||
<br>$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$<br> |
|||
|
|||
--------------------------- |
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|||
* *CS610* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br> |
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Méthode 1 pour le calcul de $`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ |
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|||
$`(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ |
|||
base ortogonal dependiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale dépendante |
|||
de la position de $`M`$ / orthogonal basis dependent of the position of $`M`$.<br> |
|||
<br>$`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}(t)\quad\Longrightarrow\quad\left\{ \begin{array}{l} |
|||
\overrightarrow{e_r} = \overrightarrow{e_r}(t) \\ |
|||
\overrightarrow{e_{\theta}} = \overrightarrow{e_{\theta}}(t) \\ |
|||
\overrightarrow{e_{\varphi}} = \overrightarrow{e_{\varphi}}(t) \\ |
|||
\end{array} \right.`$ |
|||
|
|||
$`\overrightarrow{e_r}(t)=sin\,\theta(t)\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;sin\,\theta(t)\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta(t)\;\overrightarrow{e_z}`$<br> |
|||
<br>$`\overrightarrow{e_{\theta}}(t)=cos\,\theta(t)\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\theta(t)\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;-\;sin\,\theta(t)\;\overrightarrow{e_z}`$<br> |
|||
<br>$`\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=- sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$ |
|||
|
|||
dans la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ : |
|||
|
|||
$`\overrightarrow{e_r}(t)= |
|||
\left| \begin{array}{l} |
|||
sin\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\ |
|||
sin\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\ |
|||
cos\,\theta(t) \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ , |
|||
$`\quad\overrightarrow{e_{\theta}}(t)= |
|||
\left|\begin{array}{l} |
|||
cos\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\ |
|||
cos\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\ |
|||
-\,sin\,\theta(t) \\ |
|||
\end{array}\right.\quad`$ , |
|||
$`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)= |
|||
\left|\begin{array}{l} |
|||
-\,sin\,\varphi(t) \\ |
|||
cos\,\varphi(t) \\ |
|||
0 \\ |
|||
\end{array}\right.`$ |
|||
|
|||
Dans le référentiel $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ de l'observateur, c'est à dire dans le référentiel où le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ est fixe, donc tel que l'origine $`O`$ est fixe et les trois vecteurs de base vérifient |
|||
|
|||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_x}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_y}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=0`$ : |
|||
|
|||
en se rappelant : $`(fg)'=f'g+fg'`$ |
|||
|
|||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}= |
|||
\left| \begin{array}{l} |
|||
\dfrac{d}{dt} [\,sin\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \,]\\ |
|||
\\ |
|||
\dfrac{d}{dt} [\, sin\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t)\, ] \\ |
|||
\\ |
|||
\dfrac{d}{dt} [\, cos\,\theta(t)\, ] \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
$`\quad = |
|||
\left| \begin{array}{l} |
|||
\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;+\;sin\,\theta\cdot \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\ |
|||
\\ |
|||
\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\;sin\,\theta\cdot \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\ |
|||
\\ |
|||
\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt} \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
|
|||
et en se rappelant : $`(f \circ g)'=(f' \circ g)\,g'`$ , |
|||
|
|||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}= |
|||
\left| \begin{array}{l} |
|||
cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;-\; sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\ |
|||
\\ |
|||
cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\; sin\,\theta \cdot cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\ |
|||
\\ |
|||
-\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt} \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
|
|||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}= |
|||
\dfrac{d\theta}{dt}\cdot |
|||
\left| \begin{array}{l} |
|||
cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ |
|||
cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ |
|||
-\,sin\,\theta \\ |
|||
\end{array} \right.`$ |
|||
$`\;+\; |
|||
sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot |
|||
\left| \begin{array}{l} |
|||
-\,sin\,\varphi \\ |
|||
cos\,\varphi \\ |
|||
0 \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
|
|||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}+sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$ |
|||
|
|||
**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}+sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$** |
|||
|
|||
de même : |
|||
|
|||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_\theta}}{dt}= |
|||
\left| \begin{array}{l} |
|||
\dfrac{d}{dt} [\,cos\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \,]\\ |
|||
\\ |
|||
\dfrac{d}{dt} [\, cos\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t)\, ] \\ |
|||
\\ |
|||
\dfrac{d}{dt} [-\, sin\,\theta(t)\, ] \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
$`\quad = |
|||
\left| \begin{array}{l} |
|||
\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;+\;cos\,\theta\cdot \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\ |
|||
\\ |
|||
\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\;cos\,\theta\cdot \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\ |
|||
\\ |
|||
-\,\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt} \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
|
|||
|
|||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}= |
|||
\left| \begin{array}{l} |
|||
-\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;-\; cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\ |
|||
\\ |
|||
-\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\; cos\,\theta \cdot cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\ |
|||
\\ |
|||
-\,cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt} \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$<br> |
|||
<br> |
|||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}= |
|||
\dfrac{d\theta}{dt}\cdot |
|||
\left| \begin{array}{l} |
|||
-\,sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ |
|||
-\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ |
|||
-\,cos\,\theta \\ |
|||
\end{array} \right.`$ |
|||
$`\;+\; |
|||
cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot |
|||
\left| \begin{array}{l} |
|||
-\,sin\,\varphi \\ |
|||
cos\,\varphi \\ |
|||
0 \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$<br> |
|||
<br> |
|||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}+cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$<br> |
|||
<br> |
|||
**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}+cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**<br> |
|||
|
|||
|
|||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}= |
|||
\left| \begin{array}{l} |
|||
\dfrac{d\,[-\,sin\,\varphi(t)]}{dt} \\ |
|||
\dfrac{d\cos\,\varphi(t)}{dt} \\ |
|||
0 \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
$`\quad= |
|||
\left| \begin{array}{l} |
|||
-\,cos\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\ |
|||
-\,sin\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\ |
|||
0 \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
|
|||
$`\quad\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$ |
|||
|
|||
**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$**<br> |
|||
|
|||
avec $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ vecteur de la base cylindrique : |
|||
|
|||
$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\phi}}, \overrightarrow{e_z})`$. |
|||
|
|||
--------------------------------- |
|||
|
|||
* *CS620* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** |
|||
|
|||
Méthode 2 pour le calcul de |
|||
$`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ |
|||
|
|||
$`\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$ |
|||
$`\;+\;sin\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$ |
|||
$`=\overrightarrow{e_r}(\theta, \varphi)`$<br> |
|||
$`\overrightarrow{e_{\theta}}=cos\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$ |
|||
$`\;+\;cos\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$ |
|||
$`\;-\;sin\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$ |
|||
$`=\overrightarrow{e_{\theta}}(\theta, \varphi)`$<br> |
|||
$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$ |
|||
$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$ |
|||
$`=\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\theta, \varphi)`$ |
|||
|
|||
$`d\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$ <br> |
|||
$`d\overrightarrow{e_{\theta}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$ <br> |
|||
$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$ |
|||
|
|||
$`\theta=\theta(t)`$ , $`\varphi=\varphi(t)\quad\Longrightarrow\quad`$ pour un même $`dt`$ infinitésimal, $`\theta`$ et $`\varphi`$ varient de : |
|||
|
|||
$`d\theta=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt`$ et $`d\varphi=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ |
|||
|
|||
$`\Longrightarrow\quad`$ pour un même $`dt`$ infinitésimal : |
|||
|
|||
$`d\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ <br> |
|||
$`d\overrightarrow{e_{\theta}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ <br> |
|||
$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ |
|||
|
|||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ <br> |
|||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ <br> |
|||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ |
|||
|
|||
$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}= |
|||
\left|\begin{array}{l} |
|||
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(sin\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ |
|||
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(sin\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\ |
|||
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta) \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
$`=\left|\begin{array}{l} |
|||
cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ |
|||
cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ |
|||
-\,sin\,\theta \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
$`=\overrightarrow{e_{\theta}}`$ |
|||
|
|||
$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}= |
|||
\left|\begin{array}{l} |
|||
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(sin\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ |
|||
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(sin\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\ |
|||
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta) \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
$`=\left|\begin{array}{l} |
|||
-\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ |
|||
sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ |
|||
0 \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
$`=sin\,\theta\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ |
|||
|
|||
$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}= |
|||
\left|\begin{array}{l} |
|||
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ |
|||
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\ |
|||
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(-\,sin\,\theta) \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
$`=\left|\begin{array}{l} |
|||
-\,sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ |
|||
-\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ |
|||
-\,cos\,\theta \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
$`=-\,\overrightarrow{e_r}`$ |
|||
|
|||
$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}= |
|||
\left|\begin{array}{l} |
|||
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ |
|||
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta\cdot sin\,\varphi)] \\ |
|||
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(-\,sin\,\theta) \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
$`=\left|\begin{array}{l} |
|||
-\,cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ |
|||
cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ |
|||
0 \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
$`=cos\,\theta\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ |
|||
|
|||
$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}= |
|||
\left|\begin{array}{l} |
|||
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(-\,sin\,\varphi) \\ |
|||
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\varphi) \\ |
|||
0 \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
$`= |
|||
\left|\begin{array}{l} |
|||
0 \\ |
|||
0 \\ |
|||
0 \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
$`=\overrightarrow{0}`$ |
|||
|
|||
$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}= |
|||
\left|\begin{array}{l} |
|||
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(-\,sin\,\varphi) \\ |
|||
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\varphi) \\ |
|||
0 \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
$`= |
|||
\left|\begin{array}{l} |
|||
-\,cos\,\varphi \\ |
|||
-\,sin\,\varphi \\ |
|||
0 \\ |
|||
\end{array} \right.\quad`$ |
|||
$`=-\,\overrightarrow{e_{\rho}}`$ |
|||
|
|||
où $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ est le vecteur de la base cylindrique : |
|||
$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\phi}}, \overrightarrow{e_z})`$. |
|||
|
|||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\quad`$ |
|||
$`=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\sin\,\theta\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ |
|||
|
|||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ |
|||
$`=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\cos\,\theta\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ |
|||
|
|||
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ |
|||
$`=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{0}\,-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$ |
|||
|
|||
------------------ |
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|||
* *CS630* |
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|||
$`\overrightarrow{v}(t)=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left[\,r(t)\cdot\overrightarrow{e_r}(t)\,\right]`$$`=\dfrac{dr(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r(t)}\;+\;r(t)\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}(t)}{dt}`$ |
|||
$`=\dfrac{dr}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\;+\;r\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}`$ |
|||
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