Update 12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/30.gauss-theorem-demonstration/20.overview/cheatsheet.fr.md

12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/30.gauss-theorem-demonstration/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -74,7 +74,7 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
 
 * Il *permet d'établir l'équation de conservation* de toute grandeur physique.
 
-* Dans la limite ou une surface de Gauss tend vers 0, il *permet de définir la notion de divergence* qui quantifie une propriété locale de tout champ vectoriel :<br>
+* Dans la limite où une surface de Gauss tend vers 0, il *permet de définir la notion de divergence* qui quantifie une propriété locale de tout champ vectoriel :<br>
 $`\Longrightarrow`$ le théorème de Gauss aura une expression locale.
 
 * Cette notion de divergence est l'*une des trois notions essentielles* (avec le gradient et le rotationnel) *pour décrire les lois de la physique* au niveau universitaire. <!--, et notamment les équations de Maxwell qui décrivent l'électromagnétisme.-->
@@ -182,7 +182,7 @@ $`\Longrightarrow`$ :<br>
 
 ##### Flux d'un champ vectoriel à travers une surface
 
-* $`\Phi_X=\int d\Phi_X`$
+* $`\displaystyle\Phi_X=\int d\Phi_X`$
 
 * flux à travers une *surface ouverte* : **$`\displaystyle\mathbf{\Phi_X=\iint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**.
 
@@ -232,14 +232,14 @@ Flux d'un champ de force centrale en $`1/r^2`$ à travers une surface fermée
 * Partant de $`O`$, toute demi-droite $`\Delta`$ en direction de la surface $`S`$ traverse $`S`$ un nombre pair de fois .
 
 * Observé dans un même angle solide $`d\Omega`$ centré autour de $`\Delta`$, le flux élémentaire total
-$`d\Phi_{\Delta}`$ est égale à la somme d'un nombre pair $`2n`$ de flux élémentaires $`d\Phi_i`$ d'égales valeurs absolues.
+$`d\Phi_{\Delta}`$ est égal à la somme d'un nombre pair $`2n`$ de flux élémentaires $`d\Phi_i`$ d'égales valeurs absolues.
 
 * Dans une moitié des cas : $`0<\widehat{\overrightarrow{X}\overrightarrow{dS}}<\pi/2 \Longrightarrow d\Phi_i>0`$,<br>
 dans l'autre moitié : $`\pi/2<\widehat{\overrightarrow{X}\overrightarrow{dS}}<\pi \Longrightarrow d\Phi_i<0`$<br>
 <br>$`\Longrightarrow`$*$`\;d\Phi_{\Delta}=\sum d\Phi_i=0`$*. 
 
 * *$`\Longrightarrow`$ Le flux $`\Phi_X`$ à travers toute surface fermée qui ne contient pas la source de $`X`$ est nul* :<br>
-<br>**$`\mathbf{\Phi_X=\int_S d\Phi_{\Delta} =\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}=0}`$**
+<br>**$`\mathbf{\Phi_X=\displaystyle\int_S d\Phi_{\Delta} =\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}=0}`$**
 
 
 ![](Flux_surface_exterior_Gauss_integral_theorem_1_L800.jpg)
@@ -251,7 +251,7 @@ dans l'autre moitié : $`\pi/2<\widehat{\overrightarrow{X}\overrightarrow{dS}}<\
 * Partant de $`O`$, toute demi-droite $`\Delta`$ en direction de la surface $`S`$ traverse $`S`$ un nombre impair de fois .
 
 * Observé dans un même angle solide $`d\Omega`$ centré autour de $`\Delta`$, le flux élémentaire total
-$`d\Phi_{\Delta}`$ est égale à la somme d'un nombre impair $`2n+1`$ de flux élémentaires $`d\Phi_i`$ d'égales valeurs absolues.
+$`d\Phi_{\Delta}`$ est égal à la somme d'un nombre impair $`2n+1`$ de flux élémentaires $`d\Phi_i`$ d'égales valeurs absolues.
 
 * $`2n`$ flux élémentaires s'annulent, et le flux élémentaire total $`d\Phi_{\Delta}`$ est égal au flux restant :<br>
 <br>$`\Longrightarrow`$**$`\; d\Phi_{\Delta}=\sum d\Phi_i=K\cdot x\cdot d\Omega\quad`$**,
@@ -272,7 +272,7 @@ $`\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}=\int_{\Omega_S} K\c
 
 #### Qu'est-ce que le théorème de superposition ?
 
-* La présence ou non d'autre sources n'influence pas le champ $`\overrightarrow{X}_{tot}`$ créé chaque une source élémentaire. Donc le champ total $` X`$ créé par une distribution de sources élémentaires est la somme des champs $`X`$ créé par chacune des sources élémentaires. 
+* La présence ou non d'autre sources n'influence pas le champ $`\overrightarrow{X}_{tot}`$ créé par une source élémentaire. Donc le champ total $` X`$ créé par une distribution de sources élémentaires est la somme des champs $`X`$ créé par chacune des sources élémentaires. 
 * $`\Longrightarrow`$ :<br>
 \-   pour une *distribution discrète de sources* : **$`\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\sum_i \overrightarrow{X}_i}`$**.<br>
 \-   pour une *distribution continue de sources* : **$`\displaystyle\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\int d\overrightarrow{X}}`$**.<br>
@@ -293,7 +293,7 @@ $`\Longrightarrow`$ le flux total de $`\overrightarrow{X}`$ à travers $`S`$ s'
 $`\Phi_{X}=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}`$
 $`\quad=\oiint_S (\overrightarrow{X_1}+\overrightarrow{X_2})\cdot\overrightarrow{dS}`$
 $`\quad=\oiint_S \overrightarrow{X_1}\cdot\overrightarrow{dS}+\oiint_S \overrightarrow{X_2}\cdot\overrightarrow{dS}`$<br>
-**$`\mathbf{\Phi_{X}=4\pi\,K\,(s_1+s_2)}$**
+**$`\mathbf{\Phi_{X}=4\pi\,K\,(x_1+x_2)}`$**
 
 * Ce résultat *se généralise facilement* à tout nombre entier de sources discrètes $`x_i`$ ou à une distribution continue de densité volumique $`\rho_x(\overrightarrow{r})`$<br>
 \- pour *n sources discrètes* :
@@ -305,7 +305,7 @@ $`\quad=\oiint_S \overrightarrow{X_1}\cdot\overrightarrow{dS}+\oiint_S \overrigh
 
 ##### L'interaction électrostatique 
 
-* La **charge électrique**, de symbole  **$`q`$**, est la grandeur physique $`x`$ qui *caractérise la sensibilté d'un corps à l'interaction électrostatique* (et plus généralement l'interaction électromagnétique).
+* La **charge électrique**, de symbole  **$`q`$**, est la grandeur physique $`x`$ qui *caractérise la sensibilté d'un corps à l'interaction électrostatique* (et plus généralement à l'interaction électromagnétique).
 
 * La charge $`q`$ peut être **négative ou positive**. 
 
@@ -319,14 +319,14 @@ où $`\overrightarrow{E_{1,M_2}}`$ est le champ électrostatique créé par la p
 $`\overrightarrow{E}_{1\rightarrow 2}=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}\cdot q_1\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}`$<br>
 C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$.
 
-* Le **champ électrostatique** créé en tout point $`M`$ de l'espace par une particule de charge $'q`$ immobile en un point $`O`$ s'écrit :<br>
+* Le **champ électrostatique** créé en tout point $`M`$ de l'espace par une particule de charge $`q`$ immobile en un point $`O`$ s'écrit :<br>
 **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}\cdot q\cdot \dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM^3}}`$**
 
 ##### Quel est le lien entre électrostatique et électromagnétisme ?
 
 * L'électrostatique décrit le champ électrique créé par des particules chargées immobile.
 
-* L'électromagnétisme généralise aux champs électrique et magnétiques créés par des particules chargées immobile ou en mouvement.
+* L'électromagnétisme généralise aux champs électrique et magnétiques créés par des particules chargées immobiles ou en mouvement.
 
 ##### Le théorème de Gauss intégral en électrostatique
 
@@ -372,9 +372,9 @@ où $`G`$ est la constante universelle de la gravitation.<br>
 C'est une *force centrale décroissant en $`1/r^2`$*$`\quad\Longrightarrow`$ le théorème de Gauss s'applique.
 
 * Cette force se réécrit :<br>
-$`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}=m_2\cdot \overrightarrow{\Gamma_{1,M_2}}`$<br>
-où $`\overrightarrow{\Gamma_{1,M_2}}`$ est le champ gravitationnel créé par le corps en $`M_1`$ au point $`M_2`$ :<br>
-$`\overrightarrow{\Gamma}_{1\rightarrow 2}=\;G\cdot m_1\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}`$<br>
+$`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}=m_2\cdot \mathcal{\overrightarrow{G}}_{M_1,M_2}}`$<br>
+où $`\mathcal{\overrightarrow{G}}_{M_1,M_2}`$ est le champ gravitationnel créé par le corps en $`M_1`$ au point $`M_2`$ :<br>
+$`\mathcal{\overrightarrow{G}}_{M_1,M_2}_{1\rightarrow 2}=\;G\cdot m_1\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}`$<br>
 C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$.
 
 * Dans le cadre de la physique classique, le **champ gravitationnel $`\mathcal{\overrightarrow{G}}`$** créé en tout point $`M`$ de l'espace par un corps de masse $'m`$ situé un point $`O`$ s'écrit :<br>