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!!!! *COURS EN CONSTRUCTION :* <br> |
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!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com. Ce cours est *en construction*, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade. <br> |
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!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques. |
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<!--MétaDonnée : ... --> |
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### [BR-ENT1&2-10] Pour illustrer le thème des grands nombres |
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La légende situe la sc |
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Nécessaire à la seconde loi de la thermo : croissance de l'entropie. |
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Faire prendre conscience que le cerveau humain ne gère absolument pas les grands nombres. |
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Avec la légende de Sissa : Le sage Sissa invente le jeu d'échec pour divertir le roi Belkib. |
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Pour le remercier, le Roi souhaite exaucer le |
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Mettre un grain de riz sur la première case, deux grains sur la deuxième, quatre sur la |
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troisième, 8 sur la quatrième, etc.... en doublant à chaque fois le nombre de grains de |
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riz jusqu'à la dernière case de l'échiquier. |
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##### Quelle est la légende de l'échiquier de Sissa ? |
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##### Combien de bols de riz faut-il pour remplir l'échiquier ? |
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<!-- les versions L1000 et L1100 sont prêtes--> |
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J'écris d'abord la formule mathématique qui décrit comment calculer le nombre de grains de riz nécessaire |
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pour répondre au souhait de Sissa : |
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$`\text{nombre de grains requis pour l'échiquier}`$ |
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$`\quad = \overset{\text{case 1}}{1} + \overset{\text{case 2}}{2} + \overset{\text{case 3}}{(2\times 2)}`$ |
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$`+ \overset{\text{case 4}}{(2\times 2\times 2)} + ... + \overset{\text{case 64}}{\underset{\text{2 écrit 63 fois}}{\underbrace{(2\times 2\times 2\times ... \times 2)}}}`$ |
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Ce calcul ne semble vraiment pas compliqué à faire si j'ai un peu ... beaucoup!... de temps. Il ne s'agit que de multiplications par le chiffre 2, et d'additions. |
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Le nombre de grains que je trouverais est : |
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$`\quad = \text{18 446 744 073 709 551 615 grains}`$ |
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C'est un peu plus que dix-huit milliards de milliard de grains de riz. Cela semble vraiment beaucoup ! |
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C'est ce que j'appelle un grand nombre. J'ai l'intuition certaine que trois bole sont largement insuffisants. |
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Que faudra-t-il pour contenir tout ce riz? Cela représente combien de silots à grains? |
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Note : Le calcul relève au moins du niveau 2, manipuler les puissances, etc... mais c'est peut-être bien |
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dans dire un mot dans une partie "au-delà". |
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##### C'est un nombre énorme ! Combien de ... tonnes de riz cela représente-t-il? |
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$`\text{masse de 100 grains de riz}\sim 3\,\text{grammes}`$ |
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$`\text{masse totale de riz}\sim\dfrac{\text{nombre de grains}}{100}\times \text{masse de 100 grains}`$ |
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Il faudra expliquer le symbole $`\sim`$ |
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$`M_{riz}= \dfrac{18\;446\;744\;073\;709\;551\;615}{100}\times 3\,g`$ |
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=... |
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On obtient ainsi 18 446 744 073 709 551 615 grains |
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Et une réflexion sur ce que représente ce chiffre de $`2^{64}`$, en évaluant |
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à la louche, avec une petite expérience que chacun peut faire, la masse de riz que cela représente : |
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Ramenez au temps qu'il faudrait pour compter ces grains, |
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ou pour observer l'évènement, le dernier grains sur la 64ème case est posé. |
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Avec l'idée de montrer que si la fréquence d'un évènement est trop faible, même si |
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mathématiquement elle n'est pas nulle, en pratique elle ne s'observera jamais. |
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Ca, manipuler l'exposant, c'est plutôt lycée, niveau 2 : |
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(mais on peut peut-être le mettre dans un apparté "Pour aller plus loin") |
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$`2^{64}=\underset{\text{2 écrit 64 fois}}{\underbrace{2\times 2\times 2\times ... \times 2}}`$ |
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Bon ... là je mets juste pour reprendre toute cela plus tard, et ne pas oublier. Mais là! ... dodo. |
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### [BR-ENT1&2-20] Pour illustrer le thème de la flèche du temps, croissance de l'entropie |
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#### Entropie, l'exemple classique du verre qui se brise et ne se reconstitue jamais. |
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**Exemple que nous suivrons sur les 4 niveaux, tant il y a à développer et dire.** |
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C'est l'exemple type toujours utilisé pour illustrer la notion d'une entropie qui ne |
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peut que croître. Et tous les exemples sur ce thème le traitent à peu près de la même façon, |
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alors que c'est vraiment le thème que l'on peut développer du niveau 1 au niveau 4. Il y |
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a pleins de choses à dire, de complexité et réflexion croissantes, des niveaux 1 à 4. |
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On va le faire. |
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##### Première réflexion et modélisation |
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Premières modélisations, réalisées par un **observateur plus ou moins myope**. |
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(Idée : |
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Amener progressivement que la seconde loi de la thermodynamique macroscopique, que |
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dans un *système isolé*, caractérisé par un grand nombre de configurations équiprobables possibles, |
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l'entropie (grandeur extensive) ne peut que croître, ne dépend pas du niveau de |
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précision ou de connaissance dans la description du système.) |
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##### Parler d'ordre ou de désordre est trompeur |
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_Pour arriver aux niveaux 3 ou 4 que l'entropie ne mesure pas un "ordre", mais la |
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probabilité $`P(\Omega_0)`$ d'un état macroscopique $`\Omega_0`$ (caractérisé par des |
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variables macroscopiques), correspondant à un nombre $`Nb(\Omega_0)`$ de micro-états |
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$`\omega_{0\,i}`$ de probabilités individuelles $`P(\omega_{0\,i})`$, tels que ... |
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à construire, progression à mettre au point sur tous les niveaux. |
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Pour un observateur qui voit le verre en *8 parties* dans un espace isolé de |
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*20 positions spatiales* : |
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Chacune des configurations spatiales des "morceaux" est unique et équiprobable |
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(hypothèse à débattre), les 5 présentées sont équivalentes. |
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* 3 nous "semblent" désordonnées. |
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* 1 représente le verre non brisé |
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* 1 représente une sorte de configutation non reconnaissable, mais semblant "ordonnée". |
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Comment attribuons-nous une "valeur particulière" à une configuration plutôt qu'à une autre ? |
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* subjectivité |
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* configuration macroscopique spatiale permettant une utilité : le verre non brisé |
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* configuration d'un système macroscopique caractérisé par |
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des valeurs fixes ou de valeurs d'équilibre de variables macroscopiques. |
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* un sens peut-être attribué : par exemple décodage d'un message. |
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("Ceci est un message" est une série de 19 caractères alphanumériques. Si comme |
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caractère alphanumérique on compte 26 lettres de l'alphabet, 10 chiffres et le blanc, soit |
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37 caractères alphanumériques, il y a $`26^{19}`$ séries possibles. La probabilité de trouver |
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un message intelligible si les caractères sont tirés au hasard, est infinitésimale). |
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* autre ? |
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Sur le rôle des ... interactions, contraintes physique, ici si on considère que |
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l'axe verticale est l'altitude. Les morceaux brisées ne sont "pas lancés en l'air", |
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mais "repose sur le sol". |
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* 3 configurations ont la même énergie potentielle (hypothèses simplificatrices) |
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* l'autre configuration est le verre non cassé |
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##### Combien de configurations ? |
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Pour un observateur qui voit le verre en *26 parties* dans un espace isolé de |
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*180 positions spatiales* : |
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Chacune des configurations spatiales des "morceaux" est unique et équiprobable |
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(hypothèse à débattre), les 5 présentées sont équivalentes. |
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* 3 nous "semblent" désordonnées. |
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* 1 représente en bous le verre non brisé |
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* 1 représente une sorte de configutation non reconnaissable, mais ordonnée. |
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Sur le rôle des ... interactions, contraintes physique, ici si on considère que |
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l'axe verticale est l'altitude. Les morceaux brisées ne sont "pas lancés en l'air", |
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mais "repose sur le sol". |
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* 3 configurations ont la même énergie potentielle, presque minimale (hypothèses simplificatrices). |
|||
* l'autre configuration est le verre non cassé |
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Combien de configutations ? |
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(Idée : |
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Il y aura des contre-exemples en physique des matériaux au niveau 3 ou 4, |
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qui montreront que ce terme d'ordre peut être trompeur). |
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une autre avec un verre réel et l'expression interlinguistique : |
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[FR] "casser le verre en mille morceaux" ... |
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[ES] "rompe en mil pedacitos, o ... rompiendo el vidrio en mil pedazos" |
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[EN] "shattered into a thousand pieces" |
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1000 morceaux : équivalents des 5 ou 8 morceaux des exemples 2D dessinés |
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Puis ensuite ... |
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118 éléments chimiques : : équivalents des 5 ou 8 morceaux des exemples 2D dessinés, ou des milles morceaux. |
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Montrer, dès ce niveau 0, que le dénombrement dépend de la résolution, mais pas la seconde |
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loi de la thermo... que ce soit avec des mots de tous les jours à ce niveau 1. |
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