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@@ -525,3 +525,91 @@ div\,\overrightarrow{E}}`$**$`\mathbb{\;=\dfrac{d\Phi_E}{d\tau}}`$**$`\;\mathbf{
 ![](ostragradsky_therorem_2b_L1200.gif)
 
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+* En coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphérique, **chaque élément de surface fermée $`dS`$** associé à un élément de volume $`d\tau`$ qui n'est pas situé en surface du volume $`\tau`$ se décompose en *6 éléments de surface ouverte $`d\Sigma_{int, i}`$* situés *à l'intérieur* du volume $`\tau`$ : <br>
+**$`\mathbf{dS=\sum_{i=1}^6 d\Sigma_{int,i}}`$**
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+* **A l'intérieur du volume $`\tau`$**, tout élément de surface ouverte $`d\Sigma_{int}`$ appartient à 2 élément de volume $`d\tau_1`$ et $`d\tau_2`$. Selon l'élément de volume considéré, un même élément de surface ouverte intérieure *$`\mathbf{d\Sigma_{int}}`$ est représenté par les vecteurs $`\overrightarrow{\Sigma}_{int,1}`$ ou $`\overrightarrow{\Sigma}_{int,2}`$* qui sont opposés :<br>
+**$`\mathbf{\overrightarrow{\Sigma}_{int,2}=-\,\overrightarrow{\Sigma}_{int,1}}`$**
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+* $`\Longrightarrow`$ les flux élémentaires *$`\mathbf{d\Phi_{int,1}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{int,1}}`$* et *$`\mathbf{d\Phi_{int,2}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{int,2}}`$* correspondants <!--du champ $`\overrightarrow{X}`$ à travers un même élément de surface $`d\Sigma_i`$ considéré du point de vue des deux éléments de volume $`d\tau_1`$ et $`d\tau_2`$ auxquels il appartient--> sont opposés : <br>
+**$`\mathbf{d\Phi_{int,2}=\,-\,d\Phi_{int,1}}`$**
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+![](ostrogradsky_flux_element_volume_interior_2.gif)
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+* $`\Longrightarrow`$ le **flux $`\mathbf{\Phi_{int}}`$** de $`\overrightarrow{X}`$ *à travers l'ensemble des $`\overrightarrow{d\Sigma_i}`$ situés* **à l'intérieur** d'un volume (les $`d\Sigma_i`$ appartenant à la frontière extérieure du volume étant exclus) est **nul** :<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{\Phi_{int}=\int d\Phi_{int}=0}`$**
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+* Tout **élément de volume $`d\tau`$ en contact avec l'extérieur** *possède un élément de surface $`d\Sigma_{ext}`$*. qui appartient à la frontière entre l'intérieur du volume et l'extérieur.
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+![](ostragradsky_therorem_1b_L1200.gif)
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+* Tout élément de surface $`d\Sigma_{ext}`$ n'appartient qu'à un unique élement de volume $`d\tau`$ du volume $`\tau`$ :<br>
+$`\Longrightarrow`$ lui est associé un **unique élément vectoriel de surface $`\overrightarrow{d\Sigma}_{ext}`$** *orienté de l'intérieur vers l'extérieur*.
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+* $`\Longrightarrow`$ le *flux élémentaire correspondant $`d\Phi_{ext}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{ext}`$*   <!--du champ $`\overrightarrow{X}`$ à travers un même élément de surface $`d\Sigma_i`$ considéré du seul point de vue de l'élément $`d\tau`$--> est en général non nul : <br>
+*en général*, **$`\mathbf{d\Phi_{ext}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{ext}}\ne 0`$**
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+* L'ensemble des $`d\Sigma_{ext}`$ est la surface fermée $`S`$ délimitant le volume $`\tau`$ :<br>
+$`S=\oiint d\Sigma_{ext}`$
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+* $`\Longrightarrow`$ le **flux $`\mathbf{\Phi_{ext}}`$** de $`\overrightarrow{X}`$ à travers l'ensemble des $`\overrightarrow{d\Sigma_{ext}}`$ est le flux $`\mathbf{\Phi_X}`$ de $`\overrightarrow{X}`$ à travers la surface fermée $`S`$ délimitant le volume $`\tau`$ :<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{\Phi_{ext}=\int d\Phi_{ext}=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{dS}}`$**
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+![](ostrogradsky_flux_nul_element_volume_interior_10.jpg)
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+* En résumé :<br>
+$`\displaystyle\Phi_X=\int d\Phi_X=\int div\,\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\tau}`$
+$`\quad=\Phi_{int}+\Phi_{ext}`$$`\displaystyle\quad=0+\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{dS}`$
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+* **Théorème de Green-Ostrogradsky**<br>
+= *théorème de la divergence* :<br>
+<br>**$`\mathbf{\displaystyle\iiint_{\tau \leftrightarrow S} div\,\overrightarrow{X}\cdot d\tau = \oiint_{S \leftrightarrow \Ltau}\overrightarrow{X}\cdot dS}`$**
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+#### Que devient le théorème de Gauss exprimé localement ?
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+* Le théorème de Gauss intégral donne :
+$`\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{dS}=4\pi\,K\cdot \iiint \rho_X\cdot d\tau`$
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+* Le théorème de Green-Ostrogradsky donne :
+$`\Phi_X=\oiint_{S\longleftrightarrow\Ltau} \overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{dS}=\iiint_{\Ltau\longleftrightarrow S} div\overrightarrow{X}\cdot d\tau`$
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+* Nous en déduisons : $`\iiint_{\Ltau\longleftrightarrow S} div\overrightarrow{X}\cdot d\tau
+=4\pi\,K\cdot \iiint \rho_X\cdot d\tau`$
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+* L'égalité précédente étant vrai pour tout volume $`\tau`$, elle implique l'égalité des intégrandes qui donne le **théorème de Gauss local** :<br>
+**$`\mathbf{div\overrightarrow{X}=4\pi\,K\cdot \rho_X}`$**
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+#### Quelle est l'expression du théorème de Gauss local en électrostatique ?
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+* En électrostatique : $`K=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}`$, où $`\rho`$ est la densité volumique de charge (exprimée en $`C\,m^{-3}`$ dans le système international d'unités)  
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+* *Théorème de Gauss local* : **$`\large\mathbf{div\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho}{\epsilon_0}}`$**
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+#### Quelle est l'expression du théorème de Gauss local en gravitation ?
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+* En gravitation newtonnienne : $`K=-\;G`$ , où $`\rho`$ est la densité volumique de masse (exprimée en $`kg\,m^{-3}`$ dans le système international d'unités)  
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+* *Théorème de Gauss local* : **$`\large\mathbf{div\,\mathcal{\overrightarrow{G}}=-\,4\pi\,G\,\rho}`$**
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