[ES] La lógica matemática representa las aserciones mediante letras.<br>
[FR] En logique mathématiques, les assertions sont représentées par des lettres majuscules.<br>
[ES] (¡ auto-transl !) La lógica matemática representa las **aserciones** mediante *letras mayúsculas*.<br>
[FR] En logique mathématiques, les **assertions** sont représentées par des *lettres majuscules*.<br>
[EN]
**valor de verdad** / **valeur de vérité** / ...
@ -38,7 +41,7 @@ visible: false
[FR] La valeur de vérité d'une proposition $`P`$ s'écrit $`v(P)`$.
[EN]
[ES]
[ES] (¡ auto-transl !) Notaciones :
* el valor **verdadero** está representado por la letra *V* o el número *1*.
* el valor **falso** está representado por la letra *F* o el número *0*.
[FR] Notations :
@ -54,7 +57,7 @@ visible: false
[FR] Que dire ?<br>
[EN] What to say?<br>
[ES] La paradoja del mentiroso que dice "En esta oración presente, estoy mintiendo.".<br>
[ES] (¡ auto-transl !) La paradoja del mentiroso que dice "En esta oración presente, estoy mintiendo.".<br>
[FR] Le paradoxe du menteur qui dit "Dans cette phrase présente, je mens.".<br>
[EN]
@ -62,77 +65,93 @@ visible: false
*[Math_Logic-20] Lógica / logique / logic*
[ES]<br>
[FR] La logique étudie les rapports entre les propositions et leurs valeurs, sans se soucier de leurs sens.<br>
[EN]
[ES]<br>
[FR] De même que l'algèbre les propriétés des opérations et équations sans se soucier des valeurs des nombres en jeu.<br>
exemple : l'algèbre établit que $`a\times (b+c) = a\times b + a\times c`$<br>
[EN]
[ES] (¡ auto-transl !) Así como el álgebra estudia las propiedades de las operaciones y ecuaciones realizadas con sus combinaciones, sin preocuparse por los valores de los números involucrados, <br>
_ejemplo : el álgebra establece que $`a\times (b+c) = a\times b + a\times c`$_<br>
la **lógica** estudia las *propiedades de los operadores lógicos y equivalencias entre expresiones lógicas* realizadas con sus combinaciones, sin preocuparse por el significado de las aserciones involucradas.<br>
Los **operadores lógicos** son la *negación* ($`\neg`$), la *equivalencia* ($`\Longleftrightarrow`$), la *conjunción* ($`\land`$), la *disyunción* ($`\lor`$), la *implicación* ($`\Longrightarrow`$) y la *incompatibilidad* ($`|`$).<br>
_ejemplo : la lógica establece que $`\neg(\,P \land Q\,) \Longleftrightarrow \neg P \lor \neg Q`$._
[FR] De même que l'algèbre étudie les propriétés des opérations et des équations réalisées avec leurs combinaisons, sans se soucier des valeurs des nombres mis en jeu,<br>
_exemple : l'algèbre établit que $`a\times (b+c) = a\times b + a\times c`$_<br>
la **logique** étudie les *propriétés des opérateurs logiques et des équivalences entre expressions logiques* réalisées avec leurs combinaisons, sans se soucier du sens des assertions mises en jeu,<br>
Les **opérateurs logiques** sont la *négation* ($`\neg`$), l'*équivalence* ($`\Longleftrightarrow`$), la *conjonction* ($`\land`$),la *disjonction*($`\lor`$), l'*implication* ($`\Longrightarrow`$) et l'*incompatibilité* ($`|`$).<br>
_ejemplo : la lógica establece que $`\neg(\,P \land Q\,) \Longleftrightarrow \neg P \lor \neg Q`$._
[ES] La lógica matemática representa las proposiciones mediante letras.<br>
[FR] En logique mathématiques, les assertions sont représentées par des lettres majuscules.<br>
[EN]
-------------------------
*[Math_Logic-30] axiomas y teoremas / axiomes et théorèmes / axioms and theorems*
[ES] <br>
[ES] (¡ auto-transl !) Un **axioma** es una *aserción* que se declara y se considera *verdadera, sin demonstración*. <br>
Un **teorema** es una *aserción* cuyo *valor verdadero se demuestra mediante un razonamiento lógico a partir de otras afirmaciones (axiomas o teoremas).
[FR] Un **axiome** est une *assertion* qui est posée et considérée comme *vraie, sans démonstration*.<br>
Un **théorème** est une *assertion* dont *la valeur vraie est démontrée* par un raisonnement logique à partir d'autres assertions (axiomes ou théorèmes).
[EN]
[EN] (auto-transl !)
--------------------------
*[Math_Logic-40] théorie mathématique*
[ES] <br>
[FR]
[EN]
[ES] ? <br>
[FR] ? <br>
[EN] ?
--------------------------
*[Math_Logic-50]*<br>
[ES] <br>
[ES] (¡ auto-transl !)<br>
[FR] *Théorie contradictoire ou cohérente*<br>
[EN]
[EN] (¡ auto-transl !)
[ES] <br>
[ES] (¡ auto-transl !)<br>
[FR] Une théorie est **contradictoire** si *une assertion est à la fois vraie et fausse* car dans ce cas *toutes les assertions sont à la fois vraies et fausses*.<br>
[EN]
[EN] (auto-transl !)
[ES] <br>
[ES] (¡ auto-transl !)<br>
[FR] Une théorie est **cohérente** si elle n'est *pas contradictoire*.<br>
[EN]
[EN] (auto-transl !)
--------------------------------------
*[Math_Logic-60] Tabla de verdad / table de vérité / ...*
*[Math_Logic-60] Tabla de verdad / Table de vérité / Truth table
[FR] Donne la valeur de vérité d'une assertions composée<br>
[ES] (¡ auto-transl !)
[FR] Donne la valeur de vérité d'une assertion composée<br>
La **négation de $`P`$** est une nouvelle assertion qui s'écrit **$`\mathbf{\text{NON}(P)}`$** ou **$`\mathbf{\neg P}`$**, et dont la valeur est *définie par* :
* *$`\neg P`$ est vraie si $`P`$ est fausse*.
* *$`\neg P`$ est fausse si $`P`$ est vraie*.<br>
[EN]
* **$`\mathbf{\\neg P}`$ est vraie si $`\mathbf{P}`$ est fausse**.
* **$`\mathbf{\\neg P}`$ est fausse si $`\mathbf{P}`$ est vraie**.
[EN] (auto-transl !)
[ES][FR]
| $`\quad P\quad`$ | $`\quad\neg P\quad`$ |
| :-------------------: | :-------------------: |
| V | F |
| F | V |
ou
[EN]
| $`\quad P\quad`$ | $`\quad\neg P\quad`$ |
| :-------------------: | :-------------------: |
| T | F |
| F | T |
o / ou / or [ES][FR][EN]
| $`\quad P\quad`$ | $`\quad\neg P\quad`$ |
| :-------------------: | :-------------------: |
@ -140,8 +159,8 @@ ou
| 0 | 1 |
!!! *Ejemplos / exemples / examples* :
!!! * $`\neg (3\lt 5)`$ est une assertion fausse.
!!! * $`\neg (3 = 5)`$ est une assertion vraie.
!!! * $`\neg (3\lt 5)`$ es una aserción falsa /est une assertion fausse / is a false statement
!!! * $`\neg (3 = 5)`$ es una aserción verdarera / est une assertion vraie / is a true statement
-----------------------------------------
@ -149,7 +168,8 @@ ou
Símbolo / symbole / symbol : **$`\mathbf{\Longleftrightarrow}`$**
[FR] Avant d'écrire la table de vérité de ces propositions, allégeons le tableau en notant :<br>
[EN]
[FR] Démontrer que $`\text{NON}(P\;ET\;Q) \Longleftrightarrow \big{(}\text{NON}(\,P\,)\;OU\;\text{NON}(\,Q\,)\big{)}`$, c'est montrer que $`\text{NON}(\,P\;ET\;Q\,)`$ et
$`\big{(}\,\text{NON}(\,P\,)\;OU\;\text{NON}(\,Q\,)\big{)}`$ partagent la même table de vérité.
Avant d'écrire la table de vérité de ces propositions, allégeons le tableau en notant :<br>
