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@ -167,16 +167,26 @@ coordonnées, dont la valeur est indépendante dans tout système de coordonnée |
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unité d'invariant. |
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unité d'invariant. |
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!!! *Exemples* : |
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!!! *Exemples* : |
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!!! * Dans l'espace intuitif, euclidien et tridimensionnel décrit en physique classique, l'invariant |
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!!! est la distance euclidienne notée $`dl`$ telle que $`dl^2=dx^2+dy^2+dz^2`$. Un système de coordonnée |
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!!! où l'invariant prend cette forme est dit cartésien. |
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!!! * *Si la variété est l'espace intuitif, euclidien et tridimensionnel* décrit en physique classique, |
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!!! *l'invariant est la distance euclidienne* notée $`dl`$ telle qu'en tout point de l'espace $`dl^2=dx^2+dy^2+dz^2`$. |
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!!! Un système de coordonnée où l'invariant prend cette forme est dit cartésien. |
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!!! Il existe d'autres systèmes de coordonnées, non cartésiens, dans lequel cet invariant a une forme différente : |
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!!! Il existe d'autres systèmes de coordonnées, non cartésiens, dans lequel cet invariant a une forme différente : |
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!!! \- en coordonnées cylindriques $`(\rho, \varphi,z)`$ l'invariant distance euclidienne s'écrit |
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!!! \- en coordonnées cylindriques $`(\rho, \varphi,z)`$ l'invariant distance euclidienne s'écrit |
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!!! $`dl^2=\rho^2+\rho^2\cdot d\varphi^2+dz^2`$. |
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!!! $`dl^2=\rho^2+\rho^2\cdot d\varphi^2+dz^2`$. |
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!!! \- en coordonnées sphérique $`(r, \theta, \varphi)`$ l'invariant distance euclidienne s'écrit |
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!!! \- en coordonnées sphérique $`(r, \theta, \varphi)`$ l'invariant distance euclidienne s'écrit |
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!!! $`dl^2=r^2+r^2\cdot d\theta^2+ r^2 \sin^2\theta z^2`$. |
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!!! $`dl^2=r^2+r^2\cdot d\theta^2+ r^2 \sin^2\theta z^2`$. |
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!!! Mais quelque-soit le système de coordonnée utilisé avec une même unité de mesure, l'invariant distance euclidienne |
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!!! Mais quelque-soit le système de coordonnée utilisé avec une même unité de mesure, l'invariant distance euclidienne |
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a toujours la même valeur. |
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!!! a toujours la même valeur. |
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!!! |
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!!! * Si *la variété est la surface bidimensionnelle (2D) d'une sphère non plongée |
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!!! dans un espace tridimensionnel*, l'invariant est tel qu'en tout point de la sphère |
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!!! $`ds^2=`$, où en tout point $`M`$, localement $`(M,x,y)`$ est un système d'axes orthonormé (non cartésien). |
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!!! Dans cette variété, il n'existe pas de système de coordonnées $`(M,x,y)`$ où l'invariant vérifierait |
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!!! $`ds^2=\rho^2+\rho^2\cdot d\varphi^2+dz^2`$. Cette variété n'admet pas de coordonnées cartésiennes, cette variété |
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!!! n'est pas euclidienne. |
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!!! |
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!!! * Si *la variété est la surface bidimensionnelle (2D) d'une cylindre infini non plongé |
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!!! dans un espace tridimensionnel*, ... |
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