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@@ -7,7 +7,7 @@ visible: false
 <!--MétaD : INSAT-TR_-->
 
 !!!! Cours en construction !
-!!!! Imparfiat, incomplet
+!!!! Imparfait, incomplet
 !!!! Ne pas publier, ne pas mettre visible
 
 #### Que sont les coordonnées cylindriques ?
@@ -18,22 +18,32 @@ visible: false
 
 * **$`\mathbf{\rho}`$** et **$`\mathbf{z}`$** sont des *longueurs*, de coordonnées SI : le mètre *($`\mathbf{m}`$)*.
 
-* **$`\mathbf{\varphi}`$** est un *angles* exprimés en rad *($`\mathbf{rad}`$)*.
-<br><br>
+* **$`\mathbf{\varphi}`$** est un *angle* exprimés en radian *($`\mathbf{rad}`$)*.
+
+----
+
 ![](cylindrical_coordinates_definition_L1200.gif)
 
+-----
+ 
 #### Quels sont les domaines de variation des coordonnées ?
 
+-----
 
 ![](cylindrical_coordinates_variation_range_L1200_v2.gif)
 
+-----
 
 #### Comment passer des cylindriques aux cartésiennes ?
 
 * Méthode : *projeter* le vecteurs $`\overrightarrow{OM}`$ sur l'axe $`Oz`$, sur le plan $`xOy`$ au point $`M_{xOy}`$ puis sur chacun des axes $`Ox`$ et $`Oy`$, *en utilisant les fonctions* trigonométriques *sinus* et *cosinus*.
 
+----
+
 ![](cylindrical_coordinates_projection.png)
 
+------
+
 * $`\Longrightarrow`$
 **$`\quad\mathbf{}\left\{\begin{array}{l} \mathbf{ x=\rho\cdot\cos\varphi} \\\mathbf{ y=\rho\cdot\sin\varphi} \\\mathbf{ z=z} \\ \end{array}\right. `$**
 
@@ -43,11 +53,16 @@ visible: false
 
 ##### Vecteur unitaire $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
 
+---------
+
 ![](cylindrical_coordinates_unit_vector_phi_definition_L1200_v3.gif)
 
+--------
+
 * Déplacement **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M''(\rho,\varphi+\Delta\varphi^+,z)}`$**<br>
  (avec $`\Delta\varphi^+=\Delta\varphi>0`$)<br>
-<br>**$`\Longrightarrow`$** **direction et sens** de **$`\mathbf{\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**<br>
+<br>
+**$`\Longrightarrow`$ direction et sens** de **$`\mathbf{\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**<br>
 $`\Longrightarrow\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ : vecteur unitaire tangent en $`M`$ au cercle de rayon $`\rho_M`$ dans le plan $`z_M=const`$, orienté dans le sens des $`\varphi`$ croissants.
 
 * Longueur parcourue : $`l_{\Delta\varphi}`$<br>
@@ -63,6 +78,12 @@ $`\Longrightarrow\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ : vecteur unitaire tangent en $`
 
 ##### Vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ et $`\overrightarrow{e_z}`$
 
+---------
+
+![](cylindrical_coordinates_e-z_e-rho_unit_vector_L1200.gif)
+
+--------
+
 * **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'(\rho+\Delta\rho^+,\varphi,z)}`$**<br>
 **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'''(\rho,\varphi,z+\Delta z^+)}`$** <br>
 (avec $`\Delta\rho^+=\Delta\rho>0`$ et $`\Delta z^+=\Delta z>0`$)<br>
@@ -83,6 +104,12 @@ $`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad
 
 #### La base $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ est orthonormée
 
+----
+
+![](cylindrical_coordinates_orthogonal_base_L1200.jpg)
+
+---
+
 * $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ est la *base associée à un point $`M(\rho_M,\varphi_M,z_M)`$*.
 
 *  **$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$** est orthonormée **directe si $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$** est orthonormée **directe**, et *inverse dans le cas contraire*.
@@ -95,6 +122,12 @@ $`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad
 
 #### Comment s'exprime le vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ ?
 
+----
+
+![](cylindrical_coordinates_vector_OM_L1200.gif)
+
+---
+
 *  **$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=\rho_M\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+z_M\cdot\overrightarrow{e_z}}`$**
 
 #### Que sont l'élément de longueur $`dl`$ et  vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$ ?
@@ -123,8 +156,25 @@ $`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad
 * Permet de calculer la longueur $`\mathscr{l}`$ d'une trajectoire $`L`$, lorsque les coordonnées $`\rho(t)`$, $`\varphi(t)`$ et $`z(t)`$ varient en fonction du temps de façon indépendantes les une des autres :<br>
 **$`\displaystyle\mathbf{\mathscr{l}=\int_L dl}`$**
 
-#### Qu'est-ce la surface élémentaires associée à chaque coordonnée ?
+#### Qu'est-ce que la surface élémentaire associée à chaque coordonnée ?
+
+---
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+![](cylindrical_coordinates_surface_4_L1200.jpg)<br>
+<br>
+![](cylindrical_coordinates_surface_2_L1200.jpg)<br>
+<br>
+![](cylindrical_coordinates_surface_3_L1200.jpg)<br>
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+---
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+#### Qu'est-ce que le volume élémentaire ?
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+---
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+![](cylindrical_coordinates_volume_L1200.jpg)<br>
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+
      
 
 
-#### Fin