@ -79,7 +79,7 @@ https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11
(http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform& ievref=102-03-04)
##### Vectores en el espacio euclidiano / Vecteurs dans un espace euclidien / Vectors in Euclidean Space
##### VA10.V ectores en el espacio euclidiano / Vecteurs dans un espace euclidien / Vectors in Euclidean Space
[ES] 3 caracteristicas : norma, dirección y sentido ? < br >
[FR] 3 caractéristiques : norme, direction et sens < br >
@ -90,7 +90,7 @@ ATENCIÓN / ATTENTION / BE CAREFUL :
[FR] mathématiquement, le mot dirección / direction / direction" n'a pas le même sens en français et espagnol, et en anglais.
[EN] mathematically, the word "dirección / direction / direction" does not have the same meaning in French and Spanish, and in English.
##### Significado de los vectores en mecánica / Signification des vecteurs en mécanique / Meaning of vectors in mechanics.
##### VA20 Significado de los vectores en mecánica / Signification des vecteurs en mécanique / Meaning of vectors in mechanics.
* [ES] Los *vectores* pueden representar *diferentes cantidades físicas* . < br >
_ejemplo: vector de velocidad del punto M, y la fuerza que se aplica al punto M._< br >
@ -109,7 +109,7 @@ et $`N`$)_. Elles *ne peuvent pas être comparées*.<br>
and force)_ are expressed in *different units* _(respectively: $`ms^{-1}`$ and $`N`$)_.
They *cannot be compared* .
##### Vectores colineales y no colineales / Vecteurs colinéaires et non colinéaires / Collinear and non-collinear vectors
##### VA30 V ectores colineales y no colineales / Vecteurs colinéaires et non colinéaires / Collinear and non-collinear vectors
* [ES] Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si tienen *igual dirección* .< br >
[FR] Deux *vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$* sont **colinéaires** s’ils ont la *même direction* :< br >
@ -126,15 +126,18 @@ They *cannot be compared*.
Fig "mechanics-vectors-collinear.png" ready for use.
#### addition et soustraction de vecteurs
##### VA40 suma y resta de vectores / addition et soustraction de vecteurs / addition and subtraction of vectors
#### vecteurs lié& s, vecteurs libres
##### VA50 multiplicación de un vector por un escalar / multiplication d'un vecteur par un scalaire / multiplication of a vector by a scalar
#### VA60 vectores libres, vecores fijos / vecteurs libres, vecteurs liés / ...
#### Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space
#### VA70 Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space
##### en un plano $`\mathcal{P}`$ / dans un plan $`\mathcal{P}`$ / in a plane $`\mathcal{P}`$
##### VA70-1 en un plano $`\mathcal{P}`$ / dans un plan $`\mathcal{P}`$ / in a plane $`\mathcal{P}`$
* Definición / Définition :< br >
[ES] **2 vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ pertenecientes a un plano $`\mathcal{P}`$, no nulos, no colineales y ordonados**
@ -157,18 +160,20 @@ $`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists
Fig "mechanics-vector-base-plane_L1200.gif" ready for use.
##### en un espacio vectorial $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ / dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$ / in a vector space $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$
##### VA70-2 en un espacio vectorial $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ / dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$ / in a vector space $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$
* [ES] En matemáticas, una **secuencia** es un *conjunto ordenado de elementos* , llamados sus "términos".
* VA75
[ES] En matemáticas, una **secuencia** es un *conjunto ordenado de elementos* , llamados sus "términos".
y que están *indexados por números naturales* .< br >
[FR] En mathématiques, une **suite** est un *ensemble ordonné d'éléments* , appelés ses "termes"
et qui sont *indexées par les entiers naturels* .(le terme "n-uplet" n'est pas bon ...)< br >
[EN] In mathematics, a **sequence** is an *ordered set of elements* , called its "terms"
and which are *indexed by natural numbers* .
* [ES] *$`n`$ vectores ordenados* en una secuencia $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forman
* VA80
[ES] *$`n`$ vectores ordenados* en una secuencia $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forman
una **base de un espacio vectorial** $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ si *cualquier vector* de este
espacio se descompone de *manera única en una combinación lineal* de los vectores $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.< br >
[FR] *$`n`$ vecteurs ordonnés* dans une suite $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forment
@ -183,7 +188,8 @@ $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.<br>
\quad\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{E}`$$`\quad\exists ! (\alpha_1,\alpha_1,...;\alpha_1)\in\mathbb{R}^n`$$`\quad
\overrightarrow{V}=\alpha_1\cdot\overrightarrow{a_1}+\alpha_2\cdot\overrightarrow{a_2}+...+\alpha_n\cdot\overrightarrow{a_n}`$
* [ES] Para cualquier base denotamos los vectores base $`\vec{a_i}`$.
* VA90
[ES] Para cualquier base denotamos los vectores base $`\vec{a_i}`$.
(ejemplo : vectores de la base convencionale (no ortonormales) de un cristal en física
del estado sólido/estructura de materiales) :< br >
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform& ievref=102-03-08< br >
@ -293,7 +299,7 @@ de la simplicité dans l'apprentissage des systèmes de coordonnées.
#### Características de una base / Caractéristiques d’une base et d’un repère / Characteristics of a base
##### Base normal / Base et repère normés / (Normal base ????)
##### VA100 Base normal / Base et repère normés / (Normal base ????)
* [ES] Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$< br >
[FR] Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ et repère normé $`(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$< br >
@ -305,7 +311,7 @@ de la simplicité dans l'apprentissage des systèmes de coordonnées.
* $`||\overrightarrow{a}||=1\; ; \;||\overrightarrow{b}||=1\; ; \;||\overrightarrow{c}||=1`$ .
##### Base ortogonal / Base et repère orthogonaux / Orthogonal base
##### VA110 Base ortogonal / Base et repère orthogonaux / Orthogonal base
* Base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ et repère $`(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})`$
@ -315,7 +321,7 @@ de la simplicité dans l'apprentissage des systèmes de coordonnées.
* $`\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\; ; \;\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}\; ; \;\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}`$.
##### Base ortonormal / base et repère orthonormés /
##### VA120 Base ortonormal / base et repère orthonormés /
* Base orthonormée $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / repère orthonormé $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$
@ -329,7 +335,7 @@ $`\delta_{i\,j}=1`$ si $`i=j\quad`$ et $`\quad\delta_{i\,j}=0`$ si $`i \ne j`$
#### Regla de la mano derecha / règle de la main droite / right-hand rule
#### VA130 Regla de la mano derecha / règle de la main droite / right-hand rule
* Dos vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ distintos de cero, unitarios y ortogonales, forman
una base ortonormal $`(\vec{a},\vec{b})`$ de un plano en el espacio.
@ -359,14 +365,14 @@ la **règle des 3 doigts de la main droite**.
Fig "physics-mechanics-space-orientation-right-hand-rule-direction_L1200_horiz_vert.jpg" ready for use.
#### Repère orthonormé direct / indirect
#### VA140 Repère orthonormé direct / indirect
---------
#### Producto escalar de dos vectores, y norma de un vector / Produit scalaire de 2 vecteurs, et norme d’un vecteur /
#### VA200 Producto escalar de dos vectores, y norma de un vector / Produit scalaire de 2 vecteurs, et norme d’un vecteur /
##### valable dans une base $`(\vec{a},\vec{b})`$ quelconque d'un plan $`\mathcal{P}`$
##### VA200-1 valable dans une base $`(\vec{a},\vec{b})`$ quelconque d'un plan $`\mathcal{P}`$
$`\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})`$
@ -384,17 +390,17 @@ $` = U_a\,V_a\,(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a})+U_a\,V_b\,(\overright
$`+U_b\,V_a\,(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})+U_b\,V_b\,(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b})`$< br >
$`= U_a\,V_a\,\overrightarrow{a}^2 + U_b\,V_b\,\overrightarrow{b}^2 + (U_a\,V_a+U_b\,V_a)\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})`$
##### Norma de un vector / norme d'un vecteur / vector magnitude
##### VA210 Norma de un vector / norme d'un vecteur / vector magnitude
[EN] magnitude = length
$`||\overrightarrow{U}||=\sqrt{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}}=\overrightarrow{U}^{\frac{1}{2}}`$
##### Vector unitario / Vecteur unitaire / Unit vector
##### VA220 V ector unitario / Vecteur unitaire / Unit vector
$`\overrightarrow{U}`$ est unitaire $`\quad\Longleftrightarrow\quad ||\overrightarrow{U}||=1`$
##### Producto escalar de dos vectores colineales / Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires / Scalar product of 2 collinear vectors
##### VA230 Producto escalar de dos vectores colineales / Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires / Scalar product of 2 collinear vectors
[EN] scalar product = dot product
@ -411,14 +417,14 @@ $`\;\Longrightarrow\left|\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{
\;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=\pi\end{array}\right.`$
##### Producto escalar de dos vectores ortogonales / Produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux / Scalar product of two orthogonal vectors
##### VA240 Producto escalar de dos vectores ortogonales / Produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux / Scalar product of two orthogonal vectors
$`\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad, \forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$
$`\overrightarrow{U}\perp\overrightarrow{V}\Longleftrightarrow\widehat{\overrightarrow{U},
\overrightarrow{V}}=\dfrac{\pi}{2}\Longleftrightarrow cos(\widehat{\overrightarrow{U},
\overrightarrow{V}})=0`$**$`\Longrightarrow\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=0`$**.
##### Producto escalar de dos vectores en una base ortonormal del espacio / Prduit scalaire de deux vecteurs 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Scalar product of 2 vectors in an orthonormal basis
##### VA250 Producto escalar de dos vectores en una base ortonormal del espacio / Prduit scalaire de deux vecteurs 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Scalar product of 2 vectors in an orthonormal basis
"$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée.
$`\quad\Longrightarrow`$
@ -427,7 +433,7 @@ $`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarro
**$`\displaystyle\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + ... + U_n\,V_n = \sum_{i=1}^n\;U_i\,V_i`$**
##### Cálculo del ángulo entre 2 vectores en una base ortonormal del espacio / Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Calculation of the angle between 2 vectors in an orthonormal basis
##### VA260 Cálculo del ángulo entre 2 vectores en una base ortonormal del espacio / Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Calculation of the angle between 2 vectors in an orthonormal basis
Plano euclidiano / plan euclidien / euclidian space : $`n=3`$ :
@ -446,7 +452,7 @@ $`\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}
L'angle est donné en valeur non algébrique et exprimé en radian :
$`\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\quad`$ (rad).
#### Producto vectorial de 2 vectores / Produit vectoriel de 2 vecteurs / Vector product of 2 vectors
#### VA270 Producto vectorial de 2 vectores / Produit vectoriel de 2 vecteurs / Vector product of 2 vectors
Selon http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform& ievref=102-03-36,
il faudrait mieux utiliser en France la notation $`\vec{U}\times\vec{V}`$ plutôt
@ -454,7 +460,7 @@ que $`\vec{U}\land\vec{V}`$.
On le fait pour le cours en français, ou alors on garde notre notation en expliquant
notre différence avec la notation anglosaxonne ?
##### Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.
##### VA280 Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.
* [ES] .< br >
[FR] Le produit vectoriel de deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$ non nuls et non
@ -485,6 +491,7 @@ $`\overrightarrow{U}\land\,(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})=
\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{W}`$.< br >
[EN]
<!--
##### En relation avec les symétries ...
Le produit scalaire de deux vecteurs vraies (ou polaires) est un vecteur axial (ou pseudo vecteur)...
@ -505,9 +512,10 @@ propriété physique : rang 3 polaire : effet piézoélectrique, ...<br>
propriété physique : rang 4 polaire : élasticité, rigidité, ...< br >
Physique relativiste :< br >
tenseur de courbure, tenseur énergie-impulsion, ...
-->
##### Componentes de un producto vectorial en base ortonormal / Composantes d'un produit vectoriel dans une base orthonormée / Components of a vector product in an orthonormal basis
##### VA300 Componentes de un producto vectorial en base ortonormal / Composantes d'un produit vectoriel dans une base orthonormée / Components of a vector product in an orthonormal basis
$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$
@ -538,7 +546,7 @@ $`=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrighta
$`-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}`$
#### Producto mixto de 2 vectores / Produit mixte de 3 vecteurs / Scalar triple product of 3 vectors
#### VA310 Producto mixto de 2 vectores / Produit mixte de 3 vecteurs / Scalar triple product of 3 vectors
* [ES] Producto triple escala = producto mixto.< br >
[FR] Produit mixte.< br >
@ -559,7 +567,7 @@ $`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\
=-(\overrightarrow{U},\overrightarrow{W},\overrightarrow{V})
=-(\overrightarrow{W},\overrightarrow{V},\overrightarrow{U})`$
##### Componentes de un producto mixto en base ortonormal / Composantes d'un produit mixte dans une base orthonormée / Components of a triple product in an orthonormal basis
##### VA310-1 Componentes de un producto mixto en base ortonormal / Composantes d'un produit mixte dans une base orthonormée / Components of a triple product in an orthonormal basis
$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$
@ -575,13 +583,14 @@ V_1 & V_2 & V_3\\W_1 & W_2 & W_3\end{vmatrix}`$
$`=U_3 V_1 W_2 + U_1 V_2 W_3 + U_2 V_3 W_1 - U_2 V_1 W_3 - U_3 V_2 W_1 - U_1 V_3 W_2`$
##### Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.
##### VA310-2 Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.
[ES] < br >
[FR] Le module du produit mixte de trois vecteurs $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$
donne le volume du parallélépipède construit à partir des trois vecteurs appliqués en un même point de l'espace.< br >
[EN]
<!--
Figure à créer.
#### Différentielle d'un vecteur
@ -733,6 +742,7 @@ $`d\overrightarrow{OM}(t)=d\overrightarrow{OM}_{||}(t)
con / avec / with < br >
$`\overrightarrow{OM}_{||}=(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{e_{||}})\,\overrightarrow{e_{||}}\quad`$ and
$`\quad\overrightarrow{OM}_{\perp}=(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{e_{\perp}})\,\overrightarrow{e_{\perp}}`$
-->
