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@@ -71,15 +71,20 @@ _Représentation simplifiée en 2D d'un reseau cristallin et du réseau récipro
 La cristallographie travaille avec l'espace euclidien 3D de la physique classique
    * $`\Longrightarrow`$ l'écriture de la base naturelle
    $`(\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\overrightarrow{a_3})`$ décrivant 
-   le motif cristallin se simplifie en $`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})`$   
+   la maille cristalline choisie se simplifie en $`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})`$   
    et la base duale associée $`(\overrightarrow{a^1},\overrightarrow{a^2},\overrightarrow{a^3})`$ en 
    $`(\overrightarrow{a^*},\overrightarrow{b^*},\overrightarrow{c^*})`$ 
    * $`\Longrightarrow`$ la définition de la base duale $`\overrightarrow{a^i}\cdot\overrightarrow{a_j}=\delta^i_j`$
    peut se réécrire avec l'expression équivalente       
    $`\quad\overrightarrow{a^*}=\dfrac{\overrightarrow{b}\land\overrightarrow{c}}{\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\land\overrightarrow{c})}\quad`$
-   $`,\quad\overrightarrow{a^*}=\dfrac{\overrightarrow{b}\land\overrightarrow{c}}{\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\land\overrightarrow{c})}\quad`$
-    $`,\quad\overrightarrow{a^*}=\dfrac{\overrightarrow{b}\land\overrightarrow{c}}{\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\land\overrightarrow{c})}\quad`$
-   $`(\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\overrightarrow{a_3})`$ décrivant 
+   $`,\quad\overrightarrow{b^*}=\dfrac{\overrightarrow{c}\land\overrightarrow{a}}{\overrightarrow{b}\cdot(\overrightarrow{c}\land\overrightarrow{a})}\quad`$
+    $`,\quad\overrightarrow{c^*}=\dfrac{\overrightarrow{a}\land\overrightarrow{b}}{\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\land\overrightarrow{b})}\quad`$    
+   les produits mixtes  
+   $`\quad\overrightarrow{a^*}=\dfrac{\overrightarrow{b}\land\overrightarrow{c}}{\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\land\overrightarrow{c})}`$
+   $`=\overrightarrow{b^*}=\dfrac{\overrightarrow{c}\land\overrightarrow{a}}{\overrightarrow{b}\cdot(\overrightarrow{c}\land\overrightarrow{a})}`$
+   $`=\overrightarrow{c^*}=\dfrac{\overrightarrow{a}\land\overrightarrow{b}}{\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\land\overrightarrow{b})}=V`$
+   faisant apparaître le volume $`V`$ de la maille cristalline.
+
 
 
 * Vers composantes contravariantes et covariantes, vers relativité