1 changed files with 0 additions and 818 deletions
@ -1,818 +0,0 @@ |
|||||
--- |
|
||||
title : Ondes électromagnétiques dans la matière |
|
||||
published : true |
|
||||
visible : false |
|
||||
--- |
|
||||
(en construction) |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
### Propagation dans les milieux L.H.I. |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
#### Principe général de la propagation d'un signal électromagnétique dans un matériau |
|
||||
|
|
||||
##### Equations de propagation dans un milieu |
|
||||
|
|
||||
L'équation de propagation des champs électrique et magnétique d'une onde se propageant |
|
||||
dans un milieu fait intervenir la densité de charge $`\rho`$ et la densité de courant |
|
||||
de charge $`\vec{j}`$ du milieu. Pour le champ électrique, les variations temporelles |
|
||||
et spatiales de $`\vec{E}`$ sont ainsi liées à $`\rho`$ et $`\vec{j}`$ de la façon |
|
||||
suivante : |
|
||||
|
|
||||
$`\Delta\vec{E}\left(M,t\right)-\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}\vec{E}\left(M,t\right)}{\partial t^{2}}`$ |
|
||||
$`=\dfrac{1}{\varepsilon_{0}}\;grad\left(\rho\left(M,t\right)\right)+\mu_{0}\dfrac{\partial\vec{j}\left(M,t\right)}{\partial t}`$ |
|
||||
|
|
||||
r, le passage de l'onde dans le milieu va nécessairement perturber l'équilibre électrostatique |
|
||||
des charges présentes dans celui-ci et contribuer ainsi localement à leur mouvement |
|
||||
et/ou à leur accumulation. Afin de résoudre les équations de propagation, il est donc |
|
||||
nécessaire de connaître les relations de dépendance de $`\rho`$ et $`\vec{j}`$ à $`\vec{E}`$ |
|
||||
et $`\vec{B}`$. Dans ces conditions seulement, il sera possible d'obtenir la forme exacte |
|
||||
de l'onde électromagnétique qui se propage dans le milieu en question. |
|
||||
|
|
||||
##### Notion d'échelle mésoscopique |
|
||||
|
|
||||
La dépendance du mouvement des charges à l'onde é.m. qui se propage ne peut pas être |
|
||||
déterminée expérimentalement à l'échelle microscopique. A cette échelle en effet, |
|
||||
on passe sur de très courtes distances d'une situation où le point considéré est |
|
||||
proche d'un noyau (de charge positive) à celle où il est plutôt proche d'un électron |
|
||||
(de charge négative). Cela signifie que les champs électriques et magnétiques locaux |
|
||||
$`\vec{E}_{\textrm{local}}`$ et $`\vec{B}_{\textrm{local}}`$ fluctuent de façon très |
|
||||
abrupte lorsque l'on considère le problème à l'échelle atomique. Il n'est donc pas |
|
||||
possible d'en évaluer l'orientation et l'amplitude, ni même de déterminer |
|
||||
$`\rho_{\textrm{local}}`$ et $`\vec{j}_{\textrm{local}}`$. Pour décrire le système, |
|
||||
il faut donc travailler à une échelle intermédiaire entre l'échelle microscopique |
|
||||
et l'échelle macroscopique : on la définira comme l'échelle mésoscopique. Les grandeurs |
|
||||
étudiées seront alors des moyennes spatiales des grandeurs locales réalisées sur des |
|
||||
volumes mésoscopiques. La dimension caractéristique de ces volumes est de l'ordre de |
|
||||
3 à 10 nm. A cette échelle, on s'affranchit des fluctuations rapides de densité de |
|
||||
charge (et donc de champ électrique) liées à la structure de l'atome dont la dimension |
|
||||
caractéristique est inférieure à l'Angström ($`10^{-10}\,m)`$. |
|
||||
Ainsi : |
|
||||
|
|
||||
$`\vec{E}=\langle \vec{E}_{\textrm{local}}\rangle_{3 - 10~\textrm{nm}}`$ et |
|
||||
$`\vec{B}=\langle \vec{B}_{\textrm{local}}\rangle_{3 - 10~\textrm{nm}}`$ |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
 |
|
||||
|
|
||||
Suite au choix de cette échelle, on doit nécessairement se limiter aux ondes é.m. |
|
||||
dont les champs ne varient que très peu sur des distances de 3 à 10 nm, i.e. $`\lambda\gg 3`$ |
|
||||
nm, soit $`\lambda\geq`$ 300 nm. En considérant une vitesse de phase égale à $`c`$, |
|
||||
cela signifie qu'on doit se limiter à des fréquences $`\nu \leq 10^{15}`$ Hz. Cette |
|
||||
condition sera vérifiée dans la suite du cours et nous permettra de définir des relations |
|
||||
"macroscopiques" entre $`\rho`$, $`\vec{j}`$, $`\vec{E}`$ et $`\vec{B}`$. |
|
||||
|
|
||||
##### Décomposition d'un signal électromagnétique périodique en une somme d'OPPM (série de Fourier) |
|
||||
|
|
||||
Tant que l'on reste dans un régime linéaire pour le comportement du milieu vis à |
|
||||
vis des champs électrique et magnétique des ondes qui s'y propagent, on peut considérer |
|
||||
que si plusieurs ondes vérifient les équations de propagation, alors tout signal représenté |
|
||||
comme la combinaison linéaire de ces ondes vérifie lui aussi les équations de propagation. |
|
||||
Or, tout signal périodique peut être décomposer en une somme de fonctions sinusoïdales |
|
||||
selon l'équation suivante (en notation complexe avec $`T`$ la période): |
|
||||
|
|
||||
$`f(u)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_{n}(f)\cdot e^{2i\pi\frac{n}{T}u}`$ |
|
||||
|
|
||||
De ce fait, on pourra se limiter dans la suite du cours à l'étude des signaux é.m. |
|
||||
les plus simples, c'est-à-dire les OPPMs. |
|
||||
|
|
||||
##### Notion de vitesse de groupe |
|
||||
|
|
||||
Lorsque l'on étudie la propagation d'un paquet d'ondes (ensemble d'OPPMs caractérisant |
|
||||
un signal réel par exemple) dans un milieu, chacune d'entre elles est caractérisée par |
|
||||
sa pulsation $`\omega`$, donc par son nombre d'onde $`k`$ et par une certaine vitesse |
|
||||
de phase $`v_\varphi`$ qui en découle. Pour des pulsations différentes, la vitesse |
|
||||
de phase peut varier. De ce fait, les ondes du paquet ne se déplacent pas toutes à |
|
||||
la même allure et le paquet se disperse dans le temps en fonction de la distance |
|
||||
parcourue dans le milieu. On peut définir une vitesse de propagation du paquet d'onde, |
|
||||
appelée vitesse de groupe $`v_g`$, qui tient compte de cette dispersion et qui se |
|
||||
détermine de la façon suivante : |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
$`v_g = \dfrac{\omega}{k}.`$ |
|
||||
|
|
||||
La vitesse de groupe est une des grandeurs caractéristiques de la propagation des |
|
||||
ondes dans un milieu comme nous allons le voir par la suite. |
|
||||
|
|
||||
#### Propriétés des milieux |
|
||||
|
|
||||
Afin de résoudre l'équation de propagation des champs, il est nécessaire d'introduire |
|
||||
d'abord quelques notions sur le comportement des milieux soumis à des champs électrique |
|
||||
et magnétique. Nous allons nous intéresser à l'interaction de trois principaux types |
|
||||
de milieu avec $`\vec{E}`$ et $`\vec{B}`$. |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
##### Milieux conducteurs : conductivité |
|
||||
|
|
||||
Les milieux conducteurs sont définis comme les milieux contenant des charges électriques |
|
||||
libres de se déplacer. Ils comprennent donc les métaux qui sont de bons conducteurs, |
|
||||
les solutions ioniques et les plasmas (gaz ionisés). Les conducteurs sont caractérisés |
|
||||
par une densité de charges libres $`\rho_{\textrm{libre}}`$ (en $`C.m^{-3}`$), et par |
|
||||
une conductivité $`\sigma`$ (en $`\Omega.m^{-1}`$). |
|
||||
|
|
||||
Lorsque ces charges libres sont soumises à un champ électrique, elles se mettent |
|
||||
en mouvement et génèrent une densité volumique de courant de charges libre $`\overrightarrow{j}_{lib}`$ |
|
||||
caractérisée par la loi d'Ohm locale : |
|
||||
|
|
||||
$`\vec{j}_{\textrm{lib}}=\sigma \vec{E}`$ |
|
||||
|
|
||||
Cette relation reste valide si le champ électrique varie avec le temps. |
|
||||
La réponse à un champ électrique tend à annuler la cause : la séparation des charges |
|
||||
positives et négatives dans des directions opposées vis à vis du champ électrique |
|
||||
appliqué génère un champ électrique induit opposé et dont l'amplitude augmente jusqu'à |
|
||||
annuler totalement le champ initial. Le conducteur revient alors à l'équilibre électrostatique. |
|
||||
Ce retour à l'équilibre est relativement rapide dans le cas des très bons conducteurs |
|
||||
et on peut considérer alors qu'une onde é.m. ne peut pas y pénétrer car le champ |
|
||||
électrique moyen y est maintenu nul constamment (voir le modèle du métal parfait |
|
||||
en fin de chapitre). |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
#### Milieux diélectriques : polarisation |
|
||||
|
|
||||
Les milieux diélectriques (ou isolants) sont caractérisés par la présence de charges |
|
||||
dites de polarisation ou liées (par opposition aux charges libres). Sous l'influence |
|
||||
d'un champ électrique, ces charges peuvent se déplacer sur des distances limitées |
|
||||
(électron en interaction forte avec un noyau par exemple). La séparation locale |
|
||||
des charges induit la création de petits moments dipolaires dont la somme $`\Delta\vec{p}`$ |
|
||||
sur un volume mésoscopique $`\Delta\tau`$ est caractérisée par le vecteur polarisation |
|
||||
diélectrique $`\vec{P}`$ telle que : |
|
||||
|
|
||||
$`\vec{P}=\dfrac{\Delta\vec{p}}{\Delta\tau}`$ |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
La norme de $`\vec{P}`$ s'exprime en C.m$^{-2}$. |
|
||||
Si le vecteur polarisation diélectrique n'est pas homogène dans tout le milieu, il |
|
||||
y aura des accumulations locales de charges de polarisation telles que : |
|
||||
|
|
||||
$`\rho_{p}=- div \vec{P}`$ |
|
||||
|
|
||||
Cette relation reste valide si le champ électrique varie avec le temps. Dans ce cas, |
|
||||
$`\rho_p`$ dépend aussi du temps et ses variations temporelles entraînent la création |
|
||||
d'une densité volumique de courant de charges de polarisation $`\vec{j}_{p}`$ définie |
|
||||
par : |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
$`\vec{j}_{p}=\dfrac{\partial\vec{P}(t)}{\partial t}`$ |
|
||||
|
|
||||
Ces définitions de $`\rho_p`$ et de $`\vec{j}_{p}`$ permettent de vérifier l'équation |
|
||||
de conservation des charges de polarisation. |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
! *Remarque} :* |
|
||||
! |
|
||||
! A la surface du milieu, la discontinuité de $`\vec{P}`$ entraîne la création d'une densité surfacique de charges de polarisation $`\sigma_p`$ telle que ($\vec{n}$, vecteur unitaire orthogonal à la surface) : |
|
||||
! |
|
||||
! $`\sigma_p = \vec{P}.\vec{n}`$ |
|
||||
! |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
##### Milieux magnétiques : aimantation |
|
||||
|
|
||||
Les milieux magnétiques sont caractérisés par l'existence de moments dipolaires |
|
||||
magnétiques individuels $`\vec{m}_i`$ localisés sur les atomes, ions ou molécules |
|
||||
qui les composent. Pour un volume $`\Delta\tau`$, le moment magnétique $`\Delta\vec{m}`$ |
|
||||
n'est autre que la somme de ces moments magnétiques individuels contenus dans $`\Delta\tau`$. |
|
||||
La densité volumique des moments magnétiques est représentée par le vecteur aimantation |
|
||||
$`\vec{M}`$ défini par : |
|
||||
|
|
||||
$`\vec{M} = \dfrac{\Delta\vec{m}}{\Delta\tau}`$ |
|
||||
|
|
||||
Le vecteur aimantation, ou plus simplement l'aimantation, a pour unité $`A.m^{-1}`$. |
|
||||
Lorsque l'aimantation d'un milieu n'est pas homogène, il y apparaît une densité |
|
||||
volumique de courant d'aimantation $`\vec{j}_M`$ non nulle telle que : |
|
||||
|
|
||||
$`\vec{j}_M = rot \vec{M}`$ |
|
||||
|
|
||||
A la surface du matériau, cela se traduit par une densité surfacique de courant |
|
||||
d'aimantation $`\vec{j}_{M_{\textrm{ surf}}}`$ telle que : |
|
||||
|
|
||||
$`\vec{j}_{M_{\textrm{surf}}} = \vec{M}\wedge\vec{n}`$ |
|
||||
|
|
||||
où $`\vec{n}`$ est le vecteur unitaire normal à la surface du matériau. |
|
||||
Toutes ces relations restent valides lorsque l'aimantation $`\vec{M}(t)`$ dépend du temps. |
|
||||
|
|
||||
! *Remarque :* |
|
||||
! |
|
||||
! Il n'existe pas en physique de charge magnétique, \emph{i.e.} un point de l'espace |
|
||||
qui pourrait à lui seul générer un champ magnétique (par analogie avec une charge |
|
||||
électrique et le champ électrique qu'elle génère). De ce fait, on ne peut pas définir |
|
||||
de densité volumique de charge magnétique, contrairement à ce que nous venons de voir |
|
||||
dans le cas des charges liées dans les milieux diélectriques. |
|
||||
! |
|
||||
|
|
||||
#### Equations de Maxwell généralisées aux milieux |
|
||||
|
|
||||
##### Equations de Maxwell |
|
||||
|
|
||||
En écrivant les équations de Maxwell dans un milieu différent du vide, il faut maintenant |
|
||||
tenir compte de toutes les contributions à la densité volumique de charge et à la |
|
||||
densité volumique de courant. On obtient alors : |
|
||||
|
|
||||
$`\quad div\;\vec{B} \; = \; 0`$, |
|
||||
|
|
||||
$`\quad rot \; \vec{E} \; = \; -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}`$, |
|
||||
|
|
||||
$`\quad div \; \vec{E} \; = \; \dfrac{\rho_{total}}{\epsilon_0}`$, |
|
||||
|
|
||||
$`\quad rot\; \vec{B} \; = \; \mu_0\;\left( \vec{j}_{total} +\epsilon_0\; \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)`$, |
|
||||
<!-- |
|
||||
$`\begin{eqnarray} |
|
||||
div\;\vec{B} \; = \; 0,\\ |
|
||||
rot \; \vec{E} \; = \; -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t},\\ |
|
||||
div \; \vec{E} \; = \; \dfrac{\rho_{total}}{\epsilon_0},\\ |
|
||||
rot\; \vec{B} \; = \; \mu_0\;\left( \vec{j}_{total} +\epsilon_0\; \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right), |
|
||||
\end{eqnarray}`$--> |
|
||||
|
|
||||
avec $`\;\rho_{total}=\rho_{libre}+\rho_{P}\;`$ et $`\;\vec{j}_{total}= \vec{j}_{libre} + \vec{j}_{P} + \vec{j}_{M}.`$ |
|
||||
|
|
||||
D'après le paragraphe précédent et après développement, ces équations deviennent : |
|
||||
|
|
||||
$`\quad div\; \vec{B} \; = \; 0\;`$, |
|
||||
|
|
||||
$`\quad rot\; \vec{E} \; = \; -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\;`$, |
|
||||
|
|
||||
$`\quad div\; \vec{D} \; = \; \rho_{libre}`$ , |
|
||||
|
|
||||
$`\quad rot\; \vec{H} \; = \; \vec{j}_{libre} +\dfrac{\partial\vec{D}}{\partial t}`$ |
|
||||
|
|
||||
avec |
|
||||
|
|
||||
$`\quad \vec{D} \; = \; \epsilon_0 \vec{E}+\vec{P}\quad`$ , l'induction électrique |
|
||||
(en $`C.m^{-2}`$), et |
|
||||
|
|
||||
$`\quad \vec{H} \; = \; \dfrac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}\quad`$, l'excitation |
|
||||
magnétique (en $`A.m^{-1}`$). |
|
||||
|
|
||||
Ces 4 équations de Maxwell dites généralisées prennent en compte les propriétés |
|
||||
du milieu traversé par l'onde électromagnétique. |
|
||||
|
|
||||
De plus, dans un milieu, le vecteur de Poynting s'écrit de façon générale (exprimé |
|
||||
en $`W.m^{-2}`$) : |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
\begin{equation} |
|
||||
\vec{\Pi} = \vec{E} \wedge \vec{H} \, \text{,} |
|
||||
\end{equation} |
|
||||
et la densité volumique d'énergie (exprimé en W.m$^{-3}$) : |
|
||||
\begin{equation} |
|
||||
u = \dfrac{1}{2} (\vec{E}.\vec{D} + \vec{B}.\vec{H}) \, \text{.} |
|
||||
\end{equation} |
|
||||
|
|
||||
##### Relations constitutives des milieux |
|
||||
|
|
||||
**Lorsque les milieux sont linéaires** (au sens vectoriel du terme) , ils sont alors |
|
||||
caractérisés par des grandeurs intrinsèques qui permettent de relier simplement |
|
||||
la densité volumique de courant de charge libre $`\vec{j}_{libre}`$, l'induction |
|
||||
électrique $`\vec{D}`$ et l'excitation magnétique $`\vec{H}`$ aux champs électrique |
|
||||
$`\vec{E}`$ et magnétique $`\vec{B}`$ auxquels ils sont soumis. On peut ainsi définir |
|
||||
*trois relations constitutives des milieux* : |
|
||||
|
|
||||
**$`\quad \vec{j}_{libre} \; = \; \sigma \vec{E}\quad`$** , avec *$`\sigma`$* la |
|
||||
*conductivité électrique* du milieu, |
|
||||
|
|
||||
**$`\quad \vec{D} \; = \; \epsilon \vec{E}\quad`$**, avec *$`\epsilon`$* la *permittivité |
|
||||
diélectrique* du milieu, |
|
||||
|
|
||||
**$`\quad \vec{B} \; = \; \mu \vec{H}\quad`$**, avec *$`\mu`$* la *perméabilité |
|
||||
magnétique* du milieu. |
|
||||
|
|
||||
<!--=====Je n'arrive pas à faire passer ce tableau======= |
|
||||
\begin{eqnarray} |
|
||||
\vec{j}_{libre} & = & \sigma \vec{E} \, \text{, avec $`\sigma`$ la conductivité électrique du milieu,}\\ |
|
||||
\vec{D} & = & \epsilon \vec{E} \, \text{, avec $`\epsilon`$ la permittivité diélectrique du milieu,}\\ |
|
||||
\vec{B} & = & \mu \vec{H}\, \text{, avec $`\mu`$ la perméabilité magnétique du milieu}. |
|
||||
\end{eqnarray} |
|
||||
==================--> |
|
||||
|
|
||||
Il est possible de définir des **grandeurs relatives par rapport au vide** pour |
|
||||
les deux dernières, à savoir : |
|
||||
|
|
||||
**$`\quad \epsilon_r \; = \; \dfrac{\epsilon}{\epsilon_0}\quad `$** la *permittivité |
|
||||
diélectrique relative* du milieu, |
|
||||
|
|
||||
**$`\quad \mu_r \; = \; \dfrac{\mu}{\mu_0}\quad`$** la *perméabilité magnétique |
|
||||
relative* du milieu |
|
||||
|
|
||||
<!--=====Je n'arrive pas à faire passer ce tableau======= |
|
||||
\begin{eqnarray} |
|
||||
\epsilon_r & = & \frac{\epsilon}{\epsilon_0} \, \text{, la permittivité diélectrique relative du milieu,}\\ |
|
||||
\mu_r & = & \dfrac{\mu}{\mu_0} \, \text{, la perméabilité magnétique relative du milieu}. |
|
||||
\end{eqnarray} |
|
||||
==================--> |
|
||||
|
|
||||
Les relations constitutives pour $`\vec{D}`$ et $`\vec{B}`$ dérivent des deux relations suivantes : |
|
||||
|
|
||||
**$`\quad\vec{P}=\epsilon_0\, \chi_e\, \vec{E}\quad`$** avec *$`\chi_e`$* la *susceptibilité diélectrique* du milieu, |
|
||||
|
|
||||
**$`\quad\vec{M}=\chi_m\, \vec{H}\quad`$** , avec *$`\chi_m`$* la *susceptibilité magnétique* du milieu. |
|
||||
|
|
||||
<!--=====Je n'arrive pas à faire passer ce tableau======= |
|
||||
\begin{eqnarray} |
|
||||
\vec{P}=\epsilon_0 \chi_e \vec{E} \, \text{, avec $`\chi_e`$ la susceptibilité diélectrique du milieu,}\\ |
|
||||
\vec{M}=\chi_m \vec{H} \, \text{, avec $`\chi_m`$ la susceptibilité magnétique du milieu}. |
|
||||
\end{eqnarray} |
|
||||
==================--> |
|
||||
|
|
||||
Ceci permet aussi d'écrire : |
|
||||
|
|
||||
**\begin{equation} |
|
||||
\epsilon_r = 1 + \chi_e \quad \text{ et } \quad |
|
||||
\mu_r = 1 + \chi_m. |
|
||||
\end{equation}** |
|
||||
|
|
||||
##### Milieux linéaires, homogènes et isotropes (M.L.H.I.) |
|
||||
|
|
||||
Dans le cas général d'un milieu linéaire quelconque, les grandeurs $`\sigma`$, |
|
||||
$`\epsilon`$ et $`\mu`$ définies précédemment, sont des tenseurs de rang 2 qui dépendent |
|
||||
du point $`M`$ considéré dans le milieu : |
|
||||
|
|
||||
\[ |
|
||||
\vec{\vec{\sigma}}(M,t) \,\text{ , } \vec{\vec{\epsilon}}(M,t) \,\text{ , } \vec{\vec{\mu}}(M,t). |
|
||||
\] |
|
||||
|
|
||||
Cela signifie que $`\vec{j}_{libre}`$, $`\vec{D}`$ et $`\vec{B}`$ ne sont pas nécessairement |
|
||||
colinéaires à $`\vec{E}`$ et $`\vec{H}`$. |
|
||||
|
|
||||
Par contre, lorsque le milieu est homogène, ces grandeurs sont indépendantes du point |
|
||||
$`M`$ considéré. Si le milieu est isotrope, ce qui signifie si sa réponse à une |
|
||||
perturbation électromagnétique est identique quelle que soit l'orientation de la |
|
||||
perturbation, alors ces tenseurs de rang 2 deviennent des scalaires. De ce fait, |
|
||||
un milieu linéaire, homogène et isotrope sera caractérisé par les trois relations |
|
||||
constitutives où $`\sigma`$, $`\epsilon`$ et $`\mu`$ seront des scalaires indépendants |
|
||||
du point de l'espace considéré. On note ces milieux des M.L.H.I. |
|
||||
|
|
||||
Nous nous limiterons dans la suite du cours à l'étude de la propagation d'une onde |
|
||||
électromagnétique. dans ces milieux particuliers afin de simplifier la résolution |
|
||||
des équations de propagation des champs. |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
#### OPPM dans un M.L.H.I. |
|
||||
|
|
||||
Nous allons maintenant nous attacher à déterminer les caractéristiques d'une OPPM |
|
||||
se propageant dans un M.L.H.I. en résolvant l'équation de propagation de champs |
|
||||
électrique et magnétique. |
|
||||
|
|
||||
##### Equation de dispersion et constante diélectrique généralisée |
|
||||
|
|
||||
Le calcul de l'équation de propagation du champ $`\vec{E}`$ ou $`\vec{B}`$ à partir |
|
||||
des équations de Maxwell généralisées conduit, lorsque l'on travaille en notation |
|
||||
complexe, à l'équation de dispersion du milieu : |
|
||||
|
|
||||
\begin{equation} |
|
||||
k^2=\underline{\mu} \,\underline{\epsilon}_{g} \,\omega^2 \, \text{ ,} |
|
||||
\end{equation} |
|
||||
|
|
||||
où $`\underline{\epsilon}_{g}`$ est la constante diélectrique généralisée définie par : |
|
||||
|
|
||||
\begin{equation} |
|
||||
\underline{\epsilon}_{g}(\omega) = \underline{\epsilon} + \dfrac{i \underline{\sigma}}{\omega}. |
|
||||
\end{equation} |
|
||||
|
|
||||
! *Remarque :* Dans certains livres de référence la notation de $`\underline{\epsilon}_{g}`$ |
|
||||
est souvent $`\underline{\epsilon}^{\ast}`$. |
|
||||
! |
|
||||
|
|
||||
L'équation de dispersion relie donc le nombre d'onde $`k`$ aux propriétés du milieu |
|
||||
L.H.I. ($`\sigma`$, $`\epsilon`$ et $`\mu`$) et à la pulsation de l'onde $`\omega`$. |
|
||||
Dans le cas général :` |
|
||||
|
|
||||
\begin{eqnarray} |
|
||||
\underline{\sigma}(\omega) & = & \sigma^{'}(\omega) + i\sigma^{''}(\omega) \, \text{ ,} \\ |
|
||||
\underline{\epsilon}(\omega) & = & \epsilon^{'}(\omega) + i\epsilon^{''}(\omega) \, \text{ ,} \\ |
|
||||
\underline{\mu}(\omega) & = & \mu^{'}(\omega) + i\mu^{''}(\omega) \, \text{ .} |
|
||||
\end{eqnarray} |
|
||||
|
|
||||
$`\underline{k}`$ sera par conséquent un nombre complexe dépendant de $`\omega`$. |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
##### Trois types de propagation |
|
||||
|
|
||||
L'analyse de l'équation de dispersion conduit à la distinction de 3 types de propagation |
|
||||
en fonction de $`k^2`$. |
|
||||
|
|
||||
**Si $`k^2`$ réel positif** : |
|
||||
|
|
||||
Dans ce cas, *$`k`$ sera un réel pur* tel que $`k=\pm k^{'}`$, avec $`k^{'}(\omega) \in \Re^+`$ |
|
||||
; le signe de $`k`$ sera fonction du sens de propagation. En optant ici pour le signe |
|
||||
positif, le champ $`\underline{\vec{E}}`$ s'écrit alors : |
|
||||
|
|
||||
**$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{i(\vec{k}.\vec{r}-\omega t)} = \vec{E}_0 \exp{i(\vec{k\,'}.\vec{r}-\omega t)}`$** |
|
||||
|
|
||||
On retrouve l'expression d'une **OPPM qui se propage sans atténuation dans le milieu**. |
|
||||
|
|
||||
 |
|
||||
|
|
||||
* **Si $`k^2`$ réel négatif** |
|
||||
|
|
||||
Dans ce cas, *$`k`$ sera un imaginaire pur* tel que $`k=\pm i k''`$, avec $`k''(\omega) \in \Re^+`$ |
|
||||
; le signe de $`k`$ sera fonction du sens de propagation et, en physique, devra |
|
||||
nécessairement conduire à une atténuation de l'amplitude des champs au fur et à |
|
||||
mesure que l'onde s'y enfonce (s'il n'y a aucune source extérieure apportant de |
|
||||
l'énergie à l'onde). En optant ici pour le signe positif, le champ $`\underline{\vec{E}}`$ |
|
||||
s'écrit alors : |
|
||||
|
|
||||
$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{i(\vec{k}.\vec{r}-\omega t)} = \vec{E}_0 \exp{i(i\vec{k}^{''}.\vec{r}-\omega t)}`$ |
|
||||
|
|
||||
soit |
|
||||
|
|
||||
**$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{(-\vec{k}^{''}.\vec{r})}\exp{(-i\omega t)}`$** |
|
||||
|
|
||||
On obtient une *expression réelle du champ* sous la forme : |
|
||||
|
|
||||
*$`\vec{E} = \vec{E}_0 e^{-\vec{k}^{''}.\vec{r}} \cos{(\omega t)}\;`$*, |
|
||||
|
|
||||
ce qui correspond à une *onde stationnaire atténuée*, encore appelée **onde évanescente**. |
|
||||
|
|
||||
 |
|
||||
|
|
||||
* **Si $`k^2`$ complexe** |
|
||||
|
|
||||
Dans ce cas général, *$`\underline{k}`$ sera un complexe* tel que |
|
||||
$`\underline{k}=\pm (k^{'} + i k^{''})`$, |
|
||||
avec $`k^{'}(\omega)`$ et $`k^{''}(\omega) \in \Re^+`$ ; le signe de $`\underline{k}`$ |
|
||||
sera fonction du sens de propagation et, en physique, devra nécessairement conduire |
|
||||
à une atténuation de l'amplitude des champs au fur et à mesure que l'onde s'y enfonce |
|
||||
(s'il n'y a aucune source extérieure apportant de l'énergie à l'onde). En optant ici |
|
||||
pour le signe positif, le champ $`\underline{\vec{E}}`$ s'écrit alors : |
|
||||
|
|
||||
$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{i(\vec{\underline{k}}.\vec{r}-\omega t)}`$ |
|
||||
|
|
||||
soit |
|
||||
|
|
||||
**$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{(-\vec{k}^{''}.\vec{r})} \exp{i(\vec{k}^{'}.\vec{r}-\omega t)}`$** |
|
||||
|
|
||||
On obtient ainsi une *expression réelle du champ* sous la forme : |
|
||||
|
|
||||
*$`\vec{E} = \vec{E}_0 e^{-\vec{k}^{''}.\vec{r}} \cos{(\vec{k}^{'}.\vec{r}-\omega t)} \, \text{,}`$* |
|
||||
|
|
||||
 |
|
||||
|
|
||||
Lorsque $`\underline{k}`$ est complexe, \emph{i.e.} lorsque **l'amplitude de l'onde |
|
||||
est atténuée**, ce qui caractérise un **milieu dissipatif**. |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
##### Vitesse de phase, vitesse de groupe, indice |
|
||||
|
|
||||
La **vitesse de phase** *d'une OPPM se propageant dans un M.L.H.I.* est définie par : |
|
||||
|
|
||||
**$`\quad v_\varphi = \dfrac{\omega}{k\,'(\omega)}.`$** |
|
||||
|
|
||||
Si *$`v_\varphi`$ est fonction de $`\omega`$* alors cela caractérise un **milieu |
|
||||
dispersif** . Ceci revient à dire que la fonction $`k\,'(\omega)`$ n'évolue pas |
|
||||
linéairement avec $`\omega`$. |
|
||||
|
|
||||
Dans le cas d'un milieu dispersif, un paquet d'OPPMs de pulsations différentes |
|
||||
centrées autour d'une valeur de référence $`\omega_0`$ s'étalera au fur et à mesure |
|
||||
qu'il progresse dans le milieu, la vitesse de propagation $`v_\varphi`$ de chaque OPPM |
|
||||
étant différente. Si on souhaite caractériser la vitesse de propagation du paquet d'OPPMs, |
|
||||
il faut utiliser la notion de vitesse de groupe au "point" $`\omega_0`$, définie par : |
|
||||
|
|
||||
\begin{equation} |
|
||||
v_g = \dfrac{d \omega}{dk\,'}. |
|
||||
\end{equation} |
|
||||
|
|
||||
Si $`v_\varphi`$ est fonction de $`\omega`$, alors $`v_g`$ l'est aussi nécessairement. |
|
||||
|
|
||||
On peut enfin définir l'**indice complexe du milieu** par : |
|
||||
|
|
||||
**\begin{equation} |
|
||||
\underline{n}(\omega) = n\,' (\omega) + i~n\,''(\omega) = \dfrac{c \underline{k}}{\omega} |
|
||||
\end{equation}** |
|
||||
|
|
||||
La *partie réelle $`n\,'`$* correspond à l'**indice de réfraction** ou indice optique |
|
||||
$`n_{opt}`$, et la *partie imaginaire $`n\,''`$* à l' **indice d'extinction** du milieu. |
|
||||
D'après ce qu'on vient de voir, on peut aussi définir l'indice de réfraction de la |
|
||||
façon suivante : |
|
||||
|
|
||||
**$`\quad n\,' (\omega) = n_{opt}(\omega) = \dfrac{c}{v_{\phi}(\omega)}`$** |
|
||||
|
|
||||
##### Courbe de dispersion |
|
||||
|
|
||||
Pour faciliter l'analyse rapide du comportement d'un milieu vis-à-vis de la propagation |
|
||||
d'une OPPM, on trace la **courbe de dispersion du milieu $`\omega (k\,')`$**. Celle-ci |
|
||||
n'est bien sûr définie que lorsqu'il peut y avoir propagation, c'est-à-dire lorsque |
|
||||
$`k\,'`$ est non nul. Cette courbe *permet de distinguer* très rapidement les |
|
||||
**bandes passantes** (gammes des pulsations pour lesquelles $`k^2`$ est réel positif |
|
||||
ou complexe), des **bandes non-passantes** (gammes des pulsations pour lesquelles |
|
||||
$`k^2`$ est réel négatif). La courbe de dispersion d'un milieu est de plus toujours |
|
||||
comparée à celle du vide pour laquelle on a $`\omega = c\,k`$. Il s'agit dans ce cas |
|
||||
d'une droite de pente $`c`$. |
|
||||
|
|
||||
 |
|
||||
|
|
||||
Par définition, la **vitesse de phase $`v_\varphi (\omega_1)`$** est donnée par la |
|
||||
*pente du segment reliant l'origine au point $`M_1(k_{1}^{'},\omega_1)`$ de la courbe |
|
||||
de dispersion*. En effet, celle-ci vaut bien : |
|
||||
|
|
||||
**$`\quad v_\varphi = \dfrac{\omega_1}{k_{1}^{'}} \, \text{.}`$** |
|
||||
|
|
||||
Il est donc très facile d'estimer l'évolution de $`v_\varphi`$ en fonction de |
|
||||
$`\omega`$, en suivant l'évolution de cette pente. |
|
||||
|
|
||||
De même, la **vitesse de groupe $`v_{g}(\omega_2)`$** est par définition donnée |
|
||||
par la *pente de la tangente à la courbe de dispersion au point $`M_2(k_{2}',\omega_2)`$.* |
|
||||
En effet : |
|
||||
|
|
||||
**$`\quad v_{g}(\omega_2) = \left(\dfrac{d \omega}{d k\,'}\right)_{M_2} = \omega\,'(k\,'_2)`$** |
|
||||
|
|
||||
Sachant cela, il est alors aisé de déterminer si le milieu est dispersif (i.e si |
|
||||
$`v_\varphi`$ varie en fonction de $`\omega`$), et de comparer $`v_\varphi`$ et $`v_g`$ |
|
||||
en fonction $`c`$, la vitesse de phase et de groupe de toute OPPM dans le vide. |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
#### Cas d'un M.L.H.I. diélectrique |
|
||||
|
|
||||
##### Equation de dispersion |
|
||||
|
|
||||
On se place maintenant dans le cas d'un **milieu L.H.I. diélectrique** tel que |
|
||||
**$`\sigma = 0`$, $`\mu = \mu_0`$** et |
|
||||
**$`\underline{\epsilon}(\omega) = \epsilon\,'(\omega) + i\epsilon\,''(\omega)`$**. |
|
||||
L'équation de dispersion se réduit alors à : |
|
||||
|
|
||||
**\begin{equation} |
|
||||
\quad\underline{k}^2=\mu_0 \underline{\epsilon} \omega^2 \, \text{,} |
|
||||
\end{equation}** |
|
||||
|
|
||||
ou encore : |
|
||||
|
|
||||
**\begin{equation} |
|
||||
\quad\underline{k}^2=\dfrac{\omega^2}{c^2} \underline{\epsilon}_r \, \text{,} |
|
||||
\end{equation}** |
|
||||
|
|
||||
avec **$`\underline{\epsilon}_r (\omega) = \epsilon^{'}_r(\omega) + i\epsilon^{''}_r(\omega) = \dfrac{\underline{\epsilon}}{\epsilon_0}`$.** |
|
||||
|
|
||||
L'étude de la propagation d'une OPPM dans ce diélectrique revient à étudier les |
|
||||
variations de $`\underline{\epsilon}(\omega)$. |
|
||||
|
|
||||
##### Diélectrique non-absorbant, et indice optique |
|
||||
|
|
||||
Lorsque le **diélectrique est non-absorbant**, cela se traduit par une *constante |
|
||||
diélectrique réelle* pour toutes valeurs de $`\omega`$ (soit $`\epsilon\,''(\omega)=0`$, |
|
||||
$`\forall \omega`$).<br> |
|
||||
On en déduit que la **propagation** a bien lieu **sans atténuation**, caractérisée par : |
|
||||
|
|
||||
<!--=========ce tableau ne passe pas=========== |
|
||||
\begin{eqnarray} |
|
||||
\quad k \, = \, \sqrt{\epsilon_r}~\dfrac{\omega}{c} \text{,} \\ |
|
||||
\quadv_\varphi \, = \, \dfrac{c}{\sqrt{\epsilon_r}} \text{,} \\ |
|
||||
\quadv_g \, = \, \dfrac{c}{\sqrt{\epsilon_r}} \text{.} |
|
||||
\end{eqnarray} |
|
||||
=======================================--> |
|
||||
|
|
||||
**$`\quad k \, = \, \sqrt{\epsilon_r}~\dfrac{\omega}{c}`$**, |
|
||||
|
|
||||
**$`\quad v_\varphi \, = \, \dfrac{c}{\sqrt{\epsilon_r}(\omega)}`$**, |
|
||||
|
|
||||
**$`\quad v_g \, = \, \dfrac{ 2c\,\sqrt{\epsilon_r}(\omega)}{\omega\cdot \epsilon_r'(\omega)+2\;\epsilon_r(\omega)}`$** |
|
||||
|
|
||||
L'**indice optique** s'écrit alors **$`n_{opt}(\omega) = \sqrt{\epsilon_r (\omega)}`$**. |
|
||||
|
|
||||
La **longueur d'onde** de l'OPPM dans ce milieu vaut |
|
||||
**$`\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n_{\textrm{opt}}}`$**, où $`\lambda_0 = c/\nu`$ est |
|
||||
la longueur d'onde dans le vide. |
|
||||
|
|
||||
Si on note $`\vec{u}`$ le vecteur unitaire indiquant la direction et le sens de |
|
||||
propagation, le champ magnétique $`\vec{B}`$ s'écrit : |
|
||||
|
|
||||
\begin{equation} |
|
||||
\quad\underline{\vec{B}}=\dfrac{n_{opt}}{c} (\vec{u} \wedge \vec{E}). |
|
||||
\end{equation} |
|
||||
|
|
||||
On en déduit, en notation réelle, que : |
|
||||
|
|
||||
<!--======ne passe pas =================== |
|
||||
\begin{eqnarray} |
|
||||
\quadu & = & \epsilon E^2 \\ |
|
||||
\quad\vec{\Pi} & = & c n_{\textrm{opt}} \epsilon_0 E^2 \, \vec{u} \\ |
|
||||
\quad\text{soit } \vec{\Pi} & = & v_\varphi u \, \vec{u}\, \\ |
|
||||
\quad\text{et } \langle \vec{\Pi}\rangle_T & = & \dfrac{1}{2} v_\varphi \, \epsilon E^{2}_0 \, \vec{u}\, \text{.} |
|
||||
\end{eqnarray} |
|
||||
===================================--> |
|
||||
|
|
||||
$`\quad u \, = \, \epsilon E^2`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\quad \vec{\Pi} \, = \, c n_{\textrm{opt}} \epsilon_0 E^2 \, \vec{u}`$ |
|
||||
|
|
||||
soit |
|
||||
|
|
||||
$`\quad \vec{\Pi} \, = \, v_\varphi u \, \vec{u}`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\quad \langle \vec{\Pi}\rangle_T \, = \, \dfrac{1}{2} v_\varphi \, \epsilon E^{2}_0 \, \vec{u}`$ |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
##### Diélectrique absorbant |
|
||||
|
|
||||
Un **diélectrique absorbant** est un diélectrique dans lequel le *vecteur polarisation |
|
||||
$`\vec{P}(t)`$* *suit les variations de $`\vec{E}(t)`$ avec un certain retard $`\varphi_p`$* |
|
||||
, de sorte que : |
|
||||
|
|
||||
<!--====================================== |
|
||||
**\begin{equation} |
|
||||
\quad\underline{\vec{P}}(t)= \epsilon_0 \,\underline{\chi}_e \,\underline{\vec{E}}(t) |
|
||||
\end{equation}** |
|
||||
======================================--> |
|
||||
**$`\quad \underline{\vec{P}}(t)= \epsilon_0 \,\underline{\chi}_e \,\underline{\vec{E}}(t)`$** |
|
||||
|
|
||||
avec |
|
||||
|
|
||||
**$`\quad \underline{\chi}_e = \chi_e' + i\,\chi_e'' = \chi_e^{0}\cdot e^{i\,\phi_p}`$** |
|
||||
|
|
||||
<!--====================================== |
|
||||
**\begin{equation} |
|
||||
\quad \underline{\chi}_e = \chi_e' + i\,\chi_e'' = \chi_e^{0}\cdot e^{i\,\phi_p} |
|
||||
\end{equation}** |
|
||||
======================================--> |
|
||||
|
|
||||
En notation réelle, on obtient finalement pour l'induction électrique : |
|
||||
|
|
||||
$`\displaystyle \overrightarrow{D}(\overrightarrow{r},t) = \epsilon_0 \cdot e^{-\overrightarrow{k''}.\overrightarrow{r}}`$$`\times \left( \epsilon_r' \; cos (\overrightarrow{k'}.\overrightarrow{r} - \omega t) - \epsilon_r'' \; sin (\overrightarrow{k'} \,\overrightarrow{r}-\omega t) \right) \overrightarrow{E}_0`$ |
|
||||
|
|
||||
avec |
|
||||
|
|
||||
$`\quad\epsilon_r' (\omega) = 1 + \chi_e' (\omega) \; \text{ et } \; \epsilon_r''(\omega) = \chi_e'' (\omega)`$ |
|
||||
|
|
||||
On peut aussi écrire l'induction électrique sous la forme : |
|
||||
|
|
||||
$`\displaystyle \quad \overrightarrow{D}(\overrightarrow{r},t) = \epsilon_0\;\sqrt{\epsilon_r'^2+\epsilon_r''^2}\cdot e^{-\overrightarrow{k''}.\overrightarrow{r}}`$$`\times \;cos\,\left(\overrightarrow{k'} .\overrightarrow{r}-\omega. t+\phi_D) \right) \overrightarrow{E}_0`$, |
|
||||
|
|
||||
avec |
|
||||
|
|
||||
$`\quad\tan{\varphi_D}=\dfrac{\epsilon^{''}_r}{\epsilon^{'}_r}`$ |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
Comme $`\vec{D}`$ est nécessairement en retard sur $`\vec{E}`$, $`\epsilon_r'' (\omega)`$ |
|
||||
est positive. Pour les très faibles fréquences cependant ($\omega \rightarrow 0$), |
|
||||
le retard à la polarisation tend vers $`0`$ donc $`\epsilon_r''`$ tend vers $`0`$ |
|
||||
et $`\epsilon_r'`$ tend vers $`(1+\chi'_{e}(\omega))`$. |
|
||||
|
|
||||
##### Indice complexe |
|
||||
|
|
||||
L'équation de dispersion s'écrit à nouveau : |
|
||||
|
|
||||
\begin{equation} |
|
||||
\quad \underline{k}^2=\mu_0 \underline{\epsilon} \omega^2 \, \text{,} |
|
||||
\end{equation} |
|
||||
|
|
||||
ce qui se décompose en un système de 2 équations à 2 inconnues lorsqu'on identifie |
|
||||
les parties réelles et imaginaires : |
|
||||
|
|
||||
$`\left\{ \begin{array}{ccc} |
|
||||
k'^{2} - k''^{2} \, = \, \mu_0\, \epsilon' \omega^2 \\ |
|
||||
2\, k' k'' \, = \, \mu_0\, \epsilon'' \omega^2 |
|
||||
\end{array} |
|
||||
\right.`$ |
|
||||
|
|
||||
L'indice complexe $`\underline{n}`$ du milieu est défini par : |
|
||||
|
|
||||
$`\quad \underline{n}^{2} \, = \, \underline{\epsilon}_{r}\quad`$ , ou encore |
|
||||
$`\quad \underline{n}^{2} \, = \, \dfrac{c^2 \underline{k}^2}{\omega ^2}`$ |
|
||||
|
|
||||
Dans ces conditions, le système d'équations à résoudre devient : |
|
||||
|
|
||||
$`\left\{ \begin{array}{ccc} |
|
||||
n'^{2} - n''^{2} \, = \, \epsilon_r' \\ |
|
||||
2 \,n' n'' \, = \, \epsilon_r' |
|
||||
\end{array} |
|
||||
\right.`$ |
|
||||
|
|
||||
La vitesse de phase $`v_\varphi`$ se définit comme : |
|
||||
$`v_\varphi = \dfrac{\omega}{k'} = \dfrac{c}{n'}`$ |
|
||||
|
|
||||
**Définition :** |
|
||||
|
|
||||
La **partie réelle $`n'`$** est appelée *indice de réfraction* du milieu alors que |
|
||||
la **partie imaginaire** correspond à l' *indice d'extinction*. |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
##### Propagation de l'énergie |
|
||||
|
|
||||
Le vecteur de Poynting associé à une OPPM qui se propage selon $`(Ox)`$ vers les |
|
||||
$`x`$ croissants, dans ce diélectrique absorbant est le suivant : |
|
||||
|
|
||||
$`\vec{\Pi}=\dfrac{\vec{E}\wedge \vec{B}}{\mu_0}=c \,\epsilon_0\,{E_0}^2 \,e^{-2k''x}`$ |
|
||||
$`\times \left[ n^{'} \cos^2 (k'x-\omega t) - n'' \sin (k'x-\omega t)\right.`$ |
|
||||
$`\left.\,cos (k'x-\omega t)\right]~\vec{e}_x `$, |
|
||||
|
|
||||
et sa valeur moyenne associée : |
|
||||
|
|
||||
$`\displaystyle\langle \vec{\Pi} \rangle_T =c n' \frac{\epsilon_0 {E_0}^2}{2} \;e^{\left(-2n'' \dfrac{\omega}{c}x\right)}~\vec{e}_x `$ |
|
||||
|
|
||||
La décroissance de la puissance propagée par l'onde est caractérisée par le coefficient |
|
||||
d'extinction $`\beta`$ (ou coefficient d'atténuation) du milieu : |
|
||||
$`\beta = 2 k'' = 2 n'' \dfrac{\omega}{c}`$. |
|
||||
|
|
||||
#### Cas d'un M.L.H.I. très bon conducteur |
|
||||
|
|
||||
##### Temps de relaxation d'un bon conducteur |
|
||||
|
|
||||
D'après l'équation de conservation de la charge et la loi d'Ohm locale dans un |
|
||||
conducteur, la densité volumique de charge libre $`\rho_{\textrm{libre}}`$ vérifie |
|
||||
l'équation différentielle suivante : |
|
||||
|
|
||||
$`\dfrac{\partial \rho_{libre}}{\partial t} \,+ \,div\, \vec{j}_{libre} = 0`$ |
|
||||
|
|
||||
avec $`\quad\vec{j}_{libre}=\sigma \vec{E}\quad`$ et |
|
||||
$`\quad div\, \vec{E}=\dfrac{\rho_{libre}}{\epsilon_0}`$ |
|
||||
|
|
||||
d'où : |
|
||||
|
|
||||
$`\dfrac{\partial \rho_{libre}}{\partial t} + \dfrac{\sigma}{\epsilon_0}\rho_{libre} = 0`$ |
|
||||
|
|
||||
Si on suppose une accumulation de charge de densité non-nulle $`\rho_0`$ à l'instant |
|
||||
$`t = 0`$ dans le métal, celle-ci disparaîtra exponentiellement selon la loi : |
|
||||
|
|
||||
$`\rho_{libre} = \rho_0\;e^{-\frac{t}{\tau}}\quad`$ avec $`\quad \tau = \dfrac{\epsilon_0}{\sigma}`$ |
|
||||
|
|
||||
Dans le cas du cuivre par exemple où $`\sigma = 0,57.10^{8}~\Omega^{-1}\,m^{-1}`$, |
|
||||
$`\tau = 1,5.10^{-19}\,s`$. Pour des temps si courts, la loi d'ohm locale n'est plus |
|
||||
valable car la conductivité est définie par l'intermédiaire du temps de libre parcours |
|
||||
moyen des porteurs de charge entre 2 chocs qui est de l'ordre de $`10^{-14}\,s `$. |
|
||||
A l'échelle mésoscopique, nous travaillons cependant avec des OPPMs de période temporelle |
|
||||
$`T`$ supérieure à $`10^{-14}\,s`$. Ainsi, comme $`\tau \gg T`$, nous pourrons considérer |
|
||||
que $`\rho_{libre} = 0`$ à tout instant dans le bon conducteur. |
|
||||
|
|
||||
De plus, la comparaison des amplitudes des densités volumiques de courant de charges |
|
||||
libres et de courant de déplacement conduit à : |
|
||||
|
|
||||
\begin{equation} |
|
||||
\dfrac{\left| \underline{\overrightarrow{j}} \right|}{\left| \epsilon_0 \dfrac{\partial \underline{\overrightarrow{E}}}{\partial t} \right|} = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0 \omega} = 2 \pi \dfrac{T}{\tau} \ll 1 |
|
||||
\end{equation} |
|
||||
|
|
||||
Ceci montre que nous pouvons négliger dans ce cas la densité volumique de courant |
|
||||
de déplacement. |
|
||||
|
|
||||
##### Equation de dispersion et profondeur de pénétration |
|
||||
|
|
||||
Les 4 équations de Maxwell s'écrivent alors : |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
$`\quad div\, \vec{B} \, = \, 0 `$ |
|
||||
|
|
||||
$`\quad rot\, \vec{E} \, = \, -\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}`$ |
|
||||
|
|
||||
$`\quad div\, \vec{E} \, = \, 0 `$ |
|
||||
|
|
||||
$`\quad rot\, \vec{B} \, = \, \mu_0 \,\vec{j}_{libre} = \mu_0 \,\sigma\, \vec{E} = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0 c^2}\, \vec{E}`$ |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
Ceci conduit à l'équation de propagation pour le champ électrique suivante (en notation complexe) : |
|
||||
|
|
||||
\begin{equation} |
|
||||
\Delta \underline{\vec{E}} + i\dfrac{\sigma \omega}{\epsilon_0 c^2} \underline{\vec{E}} = \vec{0}. |
|
||||
\end{equation} |
|
||||
|
|
||||
D'où l'équation de dispersion du milieu : |
|
||||
|
|
||||
\begin{equation} |
|
||||
\underline{k}^2 = i\dfrac{\sigma \omega}{\epsilon_0 c^2}. |
|
||||
\end{equation} |
|
||||
|
|
||||
Ainsi $`\underline{k}`$ s'écrit pour une onde se propageant dans le sens "positif" : |
|
||||
|
|
||||
\begin{equation} |
|
||||
\underline{k} = \dfrac{1+i}{\delta} \, \text{ avec } \delta = \sqrt{\dfrac{2 \epsilon_0 c^2}{\sigma \omega}}. |
|
||||
\end{equation} |
|
||||
|
|
||||
$`\delta`$ est appelé la profondeur de pénétration de l'onde dans le métal, exprimée |
|
||||
en m. On est donc dans le cas d'une propagation avec atténuation de l'OPPM avec comme |
|
||||
vitesse de phase $`v_\varphi = \omega \delta`$. L'indice de réfraction du milieu |
|
||||
est donc défini par $`n' = \dfrac{c}{\omega \delta}`$. Ces 2 dernières grandeurs |
|
||||
dépendent de la pulsation de l'OPPM donc le milieu est dispersif. |
|
||||
|
|
||||
##### Modèle du métal parfait |
|
||||
|
|
||||
Pour un bon conducteur, la profondeur de pénétration $`\delta`$ n'excède généralement |
|
||||
pas quelques mm aux fréquences les plus basses comme on peut le voir dans le tableau |
|
||||
donné ci-dessous pour le cuivre.\\ |
|
||||
|
|
||||
----------------- |
|
||||
| | | | | |
|
||||
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | |
|
||||
| Fréquence | $`\lambda`$ | $`\delta`$ | $`v_\varphi`$ | $`n'`$ | |
|
||||
| 100 Hz | 3000 km | 6,5 mm | 4,1 m.s$`^{-1}`$ | 7,4 10$`^7`$ | |
|
||||
| 10 GHz | 3 cm | 0,65 $`\mu`$m | 4,1 10$`^4`$ m.s$`^{-1}`$ | 7,4 10$`^3`$ | |
|
||||
-------------- |
|
||||
|
|
||||
_Valeurs à deux fréquences typiques de la profondeur de pénétration et des grandeurs |
|
||||
associées pour le cuivre massif._ |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
Ceci nous permet de justifier l'utilisation du modèle du métal parfait, c'est-à-dire |
|
||||
un métal de conductivité infinie. Dans ce cas, $`\tau`$ tend vers $`0`$, ainsi que $`\delta`$. |
|
||||
L'OPPM est donc instantanément, et totalement atténuée dès son entrée dans le métal |
|
||||
parfait. On considère alors qu'en tout point du métal parfait le champ électrique $`\vec{E}`$ |
|
||||
est nul (et par conséquent le champ magnétique $`\vec{B}`$ aussi), et qu'il ne peut |
|
||||
exister d'onde é.m. L'utilisation de ce modèle rend bien compte, -comme nous allons |
|
||||
le voir au chapitre suivant-, de la très bonne réflectivité des métaux (utilisés |
|
||||
comme miroir de ce fait). |
|
||||
|
|
||||
A l'interface de 2 matériaux dont un modélisé par un métal parfait, la réflexion |
|
||||
d'une OPPM génère une densité surfacique de courant non nulle sur la surface. |
|
||||
Ce qui reste en accord avec une loi d'Ohm locale pour laquelle $`\sigma`$ est |
|
||||
infinie et $`\vec{E}`$ est égal à $`\vec{0}`$. |
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
Write
Preview
Loading…
Cancel
Save
Reference in new issue