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 title : The curl vector
 published : false
 visible : false
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+---
+
+## Le rotationnel
+
+### Intérêt du vecteur rotationnel
+
+La visualisation des lignes d'un champ vectoriel montre parfois qu'au voisinage 
+de certains points de l'espace, les lignes semblent tourner autour de ce point 
+dans un plan donné.
+
+Exemple : Visualisation du champ vectoriel créé par trois fils rectilignes infinis
+parallèles parcourus par des courant stationnaires (stationnaire est l'adjectif 
+qui précise "indépendant du temps"), dans un plan perpendiculaires à la direction 
+commune de ces trois fils : l'humain repère de suite les 3 points autour desquels
+les lignes de champ s'enroulent.
+
+Parfois cette observation d'un mouvement de rotation des lignes de champ autour 
+de certains points est peu visible. En effet le champ vectoriel peut être complexe.
+Il peut par exemple être la somme de trois champs. Au voisinage d'un point M de 
+l'espace, les lignes du premier champ peuvent garder une direction constante,
+celles du second champ converger ou diverger à partir de ce point, et celles du 
+troisième tourner dans un sens ou dans l'autre autour de ce point dans un plan 
+donné passant par M. 
+
+L'extraction et la quantification de l'information "rotation" des lignes d'un champ
+vectoriel  au voisinage d'un point M est importante, et sera donné par le vecteur,
+étant le vecteur particulier au point M du champ vectoriel .
+
+L'ensemble des vecteurs  étendu à tous les points M de l'espace définit le champ 
+rotationnel  du champ vectoriel . 
+
+### Définition du vecteur rotationnel
+
+Un champ vectoriel, par définition, s'étend dans les trois directions de l'espace. 
+A priori, sauf dans des cas spécifiques très simples, la direction autour de 
+laquelle une composante tournante du champ vectoriel est non visible et inconnue.
+Je ne peux donc que tester la composante rotation du champ vectoriel  en un point M 
+et autour d'un axe arbitraire représenté par un vecteur unitaire . 
+
+Je considère, dans le plan perpendiculaire à  au point P, un contour fermé C
+entourant le point M. Je choisi comme sens positif de circulation sur ce contour C 
+le sens positif conventionnel donné par la règle de la main droite : si mon pouce
+tendu indique la direction du vecteur , alors l'orientation de les quatre autres 
+doigts indique le sens positif de rotation. La circulation du champ vectoriel  le 
+long du contour C s'écrit 
+
+
+
+Ce contour C inscrit dans un plan délimite une surface plane d'aire S
+
+
+
+Je diminue maintenant la taille de ce contour entourant le point M, de ce fait la
+longueur l du contour C et l'aire S de la surface plane délimitée par C tendent 
+toutes deux vers zéro. Par définition, la limite lorsque S tend vers zéro du rapport
+"circulation de  le long du contour C" par "l'aire S de la surface plane délimitée 
+par C" donne la composante dans la direction  d'un vecteur appelé rotationnel du 
+champ vectoriel  au point M. L'écriture mathématique de cette définition est beaucoup
+plus simple :
+
+        (1)
+
+Ainsi, si le plan dans lequel s'effectue la rotation du champ vectoriel  au voisinage
+de M est bien le plan perpendiculaire à , alors le vecteur  indique bien la direction 
+et le sens de l'axe de rotation au point M. 
+
+En posant
+
+  ,      et     
+
+l'équation (1) se réécrit
+
+
+La circulation infinitésimal autour d'un point M d'un champ vectoriel  sur un contour 
+élémentaire orienté perpendiculairement à une direction représentée par un vecteur
+unitaire  s'écrit
+
+
+
+soit encore
+
+                    (2)
+
+où  est le vecteur surface élémentaire, vecteur perpendiculaire à la surface 
+élémentaire  au point M et de norme égale à l'aire de la surface élémentaire .
+
+Les équations (1) et (2) restant valables en tout point de l'espace, je peux omettre
+de préciser le point, et écrire plus simplement 
+
+        (3)
+
+                           (4)
+
+Expression du vecteur rotationnel en coordonnées cartésiennes
+
+Je repère l'espace avec trois axes orthogonaux ,  et  se coupant en un point origine 
+, munie d'une même unité de longueur et décrivant un trièdre direct. Tout point
+quelconque M de l'espace est ainsi repéré par ses trois coordonnées cartésiennes
+et en M les trois vecteurs unitaires associés aux coordonnées définissent une base 
+orthonormée directe.
+
+Le vecteur au point quelconque M d'un champ vectoriel  a pour composantes cartésiennes
+et s'écrit
+
+
+
+Je vais tester la circulation du champ vectoriel  dans les trois directions indiquées
+par les vecteurs unitaires . Pour l'étude de la composante de  selon z (composante
+d'expression mathématique  ), je choisis dans le plan perpendiculaire à  et passant
+par M le contour infinitésimal à l'expression la plus simple : le petit rectangle 
+ABCD de côtés parallèles aux vecteurs  et , de centre M et de côtés  et J'oriente 
+ce rectangle infinitésimal ABCD selon la règle de la main droite, le pouce tendu 
+en direction et sens du vecteur . Ainsi, ii le vecteur  pointe vers mon oeil, alors
+le sens d'orientation du rectangle ABCD est le sens trigonométrique direct (sens
+inverse des aiguilles d'une montre).
+
+Le  champ vectoriel  est un champ de vecteurs dont je connais les expressions
+
+Je connais l'expression analytique du champ vectoriel , c'est à dire les expressions
+analytique des composantes 
+
+Je connais les composantes  du vecteur  au point M. Pour établir le champ rotationnel, 
+je dois obtenir une expression analytique de ce champ en tout point de l'espace. 
+La circulation de  sur ABDC est la somme des circulations de  sur chacune des quatre 
+branches AB, BC, CD et DA. 
+
+Soit la branche AB de centre P et dont l'ensemble des points admettent comme 
+coordonnée selon x. L'orientation du rectangle élémentaire impose que le déplacement
+élémentaire  de A vers b s'écrit
+
+
+
+Au premier ordre, le vecteur au point P est le vecteur moyen du champ sur la branche
+AB, et son expression en fonction des composantes de  et du déplacement élémentaire
+pour passer de M en P est
+
+
+
+Le calcul de la circulation élémentaire de  sur la branche AB me donne
+
+
+
+La même démarche appliquée à la branche opposée CD de centre R me donne
+
+
+
+
+
+
+
+La somme des circulations élémentaires sur les branches AB et CD se simplifie
+
+          (5)
+
+Le travail équivalent sur les branches BC de centre Q, et DA de centre S donne
+
+           
+
+
+
+ ,
+
+
+
+
+
+
+ ,
+
+ce qui conduit à
+
+          (6)
+
+J'obtiens maintenant, en additionnant les deux équations (5) et (6) membre à membre,
+l'expression de la circulation élémentaire du champ vectoriel  sur le rectangle ABCD
+perpendiculaire à  :
+
+ 
+
+
+
+
+
+La surface élémentaire de ce rectangle ABCD élémentaire étant simplement , je peux
+maintenant calculer la composante selon  du vecteur rotationnel du champ vectoriel
+au point M. En reprenant la définition (1), j'obtiens
+
+ 
+
+ 
+
+Je peux reprendre la totalité du raisonnement précédent appliqué à des rectangles
+élémentaires perpendiculaires respectivement aux vecteurs  et , et j'obtiendrai
+ 
+
+
+
+