#### Quel est l'intérêt du théorème de Gauss intégral ?
* Le théorème de Gauss est un théorème très général.
* Il *permet d'établir l'équation de conservation* de toute grandeur physique.
* Dans la limite ou une surface de Gauss tend vers 0, il *permet de définir la notion de divergence* qui quantifie une propriété locale de tout champ vectoriel :<br>
$`\Longrightarrow`$ le théorème de Gauss aura une expression locale.
* Cette notion de divergence est l'*une des trois notions essentielles* (avec le gradient et le rotationnel) *pour décrire les lois de la physique* au niveau universitaire. <!--, et notamment les équations de Maxwell qui décrivent l'électromagnétisme.-->
* Il *permet de calculer les champs électrostatiques $`\overrightarrow{E}`$ et gravitationnels $`\overrightarrow{\Gamma}`$* lorsque les distributions de charge et de masse présentent des invariances et symétries, en remplaçant des calculs qui seraient extrêmement complexes.
#### Quels sont les concepts nécessaires pour comprendre le théorème de Gauss ?
* **Théorème** = *peut être démontré*.
* La démonstration nécessite de connaître les concepts de :<br>
\- *angle solide*.<br>
\- *surface ouverte et surface fermée*.<br>
\- *flux* à travers une surface.<br>
\- *force centrale décroissante en $`1/r^2`$*.<br>
\- *théorème de superposition*.<br>
\- *divergence* d'un champ vectoriel.<br>
#### Qu'est-ce qu'un angle solide ?
##### Que représente-t-il ?
* L’**angle solide** est une notion qui permet de définir et quantifier la *portion d’espace*<br>
\- sous laquelle un observateur voit depuis un point O une surface S dans cet espace.<br>
\- *contenue à l’intérieur d’un faisceau de demi-droites* d'origine $`O`$.
---
---
##### Comment le définir ?
* L’angle solide $`\Omega`$ est défini comme la surface $`\Sigma`$ obtenue par projection de la surface $`S`$ sur la sphère de centre $`O`$ et de rayon $`R`$, divisé par le rayon $`R`$ élevé au carré.<br>
<br>**$`\mathbf{\Omega=\dfrac{\Sigma}{R^2}}`$**
* Ainsi exprimé, l’angle solide est une *grandeur physique sans dimension*. La valeur numérique de l’angle solide ainsi obtenue est l’angle solide exprimé en *stéradian (sr)*.
---
---
##### Comment le calculer en pratique ?
*Angle solide élémentaire $`d\Omega`$*
* Si le point $`O`$ et une surface élémentaire orientée $`\overrightarrow{dS}`$ de l’espace sont donnés, alors : <br>
<br>Lorsque la surface est ouverte, deux sens sont possibles pour l’orientation des $`\overrightarrow{dS}`$, qui conditionnent le signe de l’angle solide.
---
---
*Angle solide $`\Omega`$*
* Si le point $`O`$ et une surface orientée $`S`$ de l’espace sont donnés, alors : <br>
* **surface fermée** : *frontière délimitant un volume intérieur et un espace extérieur*.<br>
$`\Longrightarrow`$ par convention :<br>
\- les éléments vectoriels de surface **$`\overrightarrow{dS}`$** sont **orientés de l'intérieur vers l'extérieur**.<br>
\- l'*intégration* sur une surface fermée utilise le **symbole $`\oiint_S...\,dS`$**
* **surface ouverte** : *n'est pas la frontière d'un volume*.<br>
$`\Longrightarrow`$ :<br>
\- l'*orientation* des éléments vectoriels de surface **$`\overrightarrow{dS}`$** doit être choisie parmi les **deux sens possibles**.<br>
\- l'*intégration* sur une surface fermée utilise le symbole **$`\displaystyle\iint_S...\,dS`$**.
#### Qu'est-ce que le flux d'un champ vectoriel à travers une surface ?
##### Flux élémentaire d'un champ vectoriel
* Le **flux élémentaire $`d\Phi_X`$** d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ est le flux de $`\overrightarrow{X}`$ à travers un élément vectoriel de surface $`\overrightarrow{dS}`$.
* Par définition, $`d\Phi_X`$ est le *produit scalaire $`\overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}`$* :
##### Flux d'un champ vectoriel à travers une surface
* $`\Phi_X=\int d\Phi_X`$
* flux à travers une *surface ouverte* : **$`\displaystyle\mathbf{\Phi_X=\iint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**.
* flux à travers une *surface fermée* : **$`\displaystyle\mathbf{\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**.
#### Qu'est-ce qu'un champ de force centrale décroissante en $`1/r^2`$ ?
* **Force centrale** : force d'interaction à distance, toujours *dirigée en direction de sa source élémentaire*.<br>
(élémentaire = considérée comme °ponctuelle* à l'échellle d'observation).
* **Force décroissante en $`1/r^2`$** : force d'interaction à distance, dont *l'intensité décroit comme le carré de la distance* à sa source ponctuelle.
* **Expression générale***d'un champ de force centrale décroissante en $`1/r^2`$* :<br>
<br>**$`\mathbf{\overrightarrow{X}=K\cdot x\cdot\dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM^3}}\quad`$**, avec :<br>
<br>\- $`O`$ : point où se situe la source élémentaire.<br>
\- $`x`$ : grandeur physique qui caractérise la sensibilité de la source élémentaire à l'interaction X.<br>
\- $`M`$ : point où est exprimé le champ de la force.<br>
\- $`K`$ : constante réelle qui dépend du système d'unités.<br>
\- $`OM=||\overrightarrow{OM}||`$.<br>
<br>et *dans le repère sphérique $`(O,\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$* :<br>
!!! \-expression du champ gravitationnel créé à une distance $`r`$ d'une source élémentaire de masse $`m`$ située en !!! $`O`$, G est la constante universelle de gravitation.<br>
!!! \-expression du champ électrique créé à une distance $`r`$ d'une source élémentaire de charge électrique $`q`$ immobile en $`O`$, $`\varepsilon_0`$ est la permittivité électrique du vide, encore appelée constante électrique.
!!! </details>
#### Quelle propriété particulière possède le flux d'un champ de force centrale décroissante en $`1/r^2`$ ?
Flux d'un champ de force centrale en $`1/r^2`$ à travers une surface fermée
* Depuis le point $`O`$ situé à l'intérieur de la surface fermée $`S`$, l'angle solide $`\Omega_S`$ sous lequel est vue $`S`$ est de $`4\pi`$ stéradians : $`\Omega_S=2\pi\;\text{sr}`$
* *$`\Longrightarrow`$ Le flux $`\Phi_X`$ à travers toute surface fermée qui contient pas la source de $`X`$ est nul* :<br>
* La présence ou non d'autre sources n'influence pas le champ $`\overrightarrow{X}_{tot}`$ créé chaque une source élémentaire. Donc le champ total $` X`$ créé par une distribution de sources élémentaires est la somme des champs $`X`$ créé par chacune des sources élémentaires.
* $`\Longrightarrow`$ :<br>
\- pour une *distribution discrète de sources* : **$`\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\sum_i \overrightarrow{X}_i}`$**.<br>
\- pour une *distribution continue de sources* : **$`\displaystyle\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\int d\overrightarrow{X}}`$**.<br>
##### La surface fermée ne contient une distribution de sources
#### Que dit le théorème de Gauss intégral en électrostatique ?
##### L'interaction électrostatique
* La **charge électrique**, de symbole **$`q`$**, est la grandeur physique $`x`$ qui *caractérise la sensibilté d'un corps à l'interaction électrostatique* (et plus généralement l'interaction électromagnétique).
* La charge $`q`$ peut être **négative ou positive**.
* La **force d'interaction électrostatique** $`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}`$ qu'exerce une particule de charge $`q_1`$ immobile en $`M_1`$ sur une autre particule de charge $`q_2`$ située en $`M_2`$ s'écrit :<br>
#### Que dit le théorème de Gauss intégral en gravitation ?
##### L'interaction gravitationnelle
* La **masse**, de symbole **$`m`$**, est la grandeur physique $`x`$ qui *caractérise la sensibilté d'un corps à l'interaction gravitationnelle*.
* La masse $`m`$ de la matière est *toujours positive*.
* La **force d'interaction gravitationnelle de Newton** $`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}`$ qu'exerce un corps de masse $`m_1`$ en $`M_1`$ sur un autre corps de masse $`m_2`$ située en $`M_2`$ s'écrit :<br>
C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$.
* Dans le cadre de la physique classique, le **champ gravitationnel** créé en tout point $`M`$ de l'espace par un corps de masse $'m`$ situé un point $`O`$ s'écrit :<br>
* Soit une *distribution de masses* dans l'espace.
* **Théorème de Gauss** :<br>
Le flux $`\Phi_{\Gamma}`$ du vecteur champ de gravitation à travers toute *surface fermée $`S`$* de l'espace
est égal à la *masse totale $`m_{int}`$ contenue à l'intérieur de $`S`$* multiplié par $`4\pi\,G`$, où $`G`$ est la constante la constante universelle de la gravitation.<br>
_Champ électrique créé par 3 charges ponctuelles immobiles situées dans plan de représentation du champ
électrostatique._
---
* Dans les *cas simples*, **l'oeil humain repère immédiatement** les points ou les lignes de champ électrique convergent ou divergent, qui localisent *les causes du champ électrostatique* dans le plan d'observation.
* Le **théorème de Gauss intégral** précise, lors d'un flux non nul du champ électrostatique
à travers une surface fermée, la somme totale des charges contenues à l'origine de ce flux,
mais *ne permet pas la localisation précise des charges* du champ électrostatique.
* Il **doit exister une propriété locale** (à l'échelle mésoscopique, donc apparaissant ponctuelle
à la résolution de l'observation) qui en tout point de l'espace *relie le champ électrostatique
à sa cause élémentaire locale*.
#### Une idée pour relier une propriété locale du champ électrostatique à sa cause ?
* Dans la **démonstration du théorème de gauss** (partie principale), *aucune échelle de taille n'est précisée*
pour le choix de la surface fermée de Gauss, et donc du volume intérieur qu'elle définit.
* $`\Longrightarrow`$ idée 1 : faire tendre la surface fermée vers une
**surface fermée mésoscopique qui entoure chaque point** de résolution de l'espace,
le *flux* ainsi calculé sera une *propriété locale du champ*.
* $`\Longrightarrow`$ idée 2 : la *charge déduite du théorème de Gauss* est la charge **située à l'intérieur du volume mésoscopique** délimité par cette surface de Gauss, c'est ainsi une charge *locale*.
* Cette idée est à la **base de la notion de divergence** d'un champ vectoriel.
#### Comment est définie la divergence de E ?
* Soit $`dS`$ un élément de surface fermée qui délimite un élement de volume $`d\tau`$ contenu dans un voisinage de tout point de l'espace.<br>
<br>La **divergence de $`\overrightarrow{E}`$**, *définie en tout point de l'espace*, est le flux $`d\Phi_E`$ de $`\overrightarrow{E}`$ à travers $`dS`$, divisé par le volume $`d\tau`$ :<br>
La champ de divergence de E est un **champ scalaire** : $`div\;\overrightarrow{E}\in\mathbb{R}`$
* Le **valeur absolue de la divergence $`\mathbf{|\,div\;\overrightarrow{E}\,|}`$** indique l'*intensité du champ $`\overrightarrow{E}`$* ce point.<br>
( $`div\;\overrightarrow{E}=0`$ indique un champ qui ne converge ni ne diverge en ce point)
* Le **signe de $`\mathbf{div\;\overrightarrow{E}}`$** indique si la *vergence du champ $`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$* en ce point.<br>
\- **$`\mathbf{div\;\overrightarrow{E}<0}`$**$`\quad\Longleftrightarrow\quad`$ le champ *$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ diverge*.<br>
\- **$`\mathbf{div\;\overrightarrow{E}>0}`$**$`\quad\Longleftrightarrow\quad`$ le champ *$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ converge*.<br>
#### Comment se détermine son expression en coordonnées cartésiennes ?
* Soit un **élément de volume $`d\tau=dx\,dy\,dz`$** centré en tout point $`M`$ de l'espace.
* Soit **$`\overrightarrow{E_M}`$** le **champ électrique au point $`M`$** dû à l'ensemble des charges de l'espace.
* Le **flux $`\Phi_E`$** de *$`\overrightarrow{E}`$ à travers la surface fermée $`dS`$* délimitant $`d\tau`$ est la somme des flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers chacune des six faces élémentaires constituant $`dS`$.
* Les *déplacements et surfaces* en jeu étant *infinitésimals*, au premier ordre et *pour chacune des faces* :<br>
le **champ électrique moyen = champ au centre de la face**.<br>**$`\mathbf{\quad\quad=\overrightarrow{E_M}\pm\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial x_i}\right|_M\cdot\dfrac{dx_i}{2}}`$**,<br>
champ $`\overrightarrow{E}`$ en $`M`$ plus son taux de variation $`\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial x_i}`$ fois le déplacement élémentaire $`\pm\dfrac{dx_i}{2}`$, positif ou négatif selon le sens du déplacement en direction de l'axe $`Ox_i`$.
* Le flux total $`\Phi_E`$ à travers les six faces de l'élément de volume donne $`\left(\left.\dfrac{\partial E_x}{\partial x}\right|_M+\left.\dfrac{\partial E_y}{\partial y}\right|_M+\left.\dfrac{\partial E_z}{\partial z}\right|_M\right)\cdot dx\,dy\,dz`$.
* Le produit $`dx\,dy\,dz`$ étant le volume élémentaire $`d\tau`$, selon sa définition l'*expression de la divergence de $`\overrightarrow{E}`$ en coordonnées cartésiennes* s'écrit en tout point de l'espace :<br>
#### Qu'est-ce que le théorème de Green-Ostrogradsky, et comment le visualiser ?
* Soit une **surface fermée $`S`$** dans l'espace *en présence d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$*.
* Soit **$`\Phi_X`$** le *flux de $`\overrightarrow{X}`$* à travers la surface fermée $`S`$.
---
---
* Le **volume $`\tau`$** que délimite la surface $`S`$ *se décompose* mentalement en *éléments de volume $`d\tau`$*.
* Le champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ produit un **flux élémentaire $`d\Phi_X`$** à travers chaque *$`d\tau`$* délimités par des élements de surface fermée $`dS`$.
---
---
* En coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphérique, **chaque élément de surface fermée $`dS`$** dans le volume se décompose en *6 éléments de surface ouverte $`d\Sigma_i`$* : <br>
**$`\mathbf{dS=\sum_{i=1}^6 d\Sigma_i}`$**
* **A l'intérieur du volume $`\tau`$**, tout élément de surface ouverte $`d\Sigma_i`$ appartient à 2 élément de volume $`d\tau_1`$ et $`d\tau_2`$. Selon l'élément de volume considéré, *$`\mathbf{d\Sigma_i}`$ est représenté par les vecteurs $`\overrightarrow{\Sigma_1}`$ ou $`\overrightarrow{\Sigma_2}`$* qui sont opposés :<br>
* $`\Longrightarrow`$ les flux élémentaires *$`\mathbf{d\Phi_1=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma_1}}`$* et *$`\mathbf{d\Phi_2=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma_2}}`$* correspondants <!--du champ $`\overrightarrow{X}`$ à travers un même élément de surface $`d\Sigma_i`$ considéré du point de vue des deux éléments de volume $`d\tau_1`$ et $`d\tau_2`$ auxquels il appartient--> sont opposés : <br>
* $`\Longrightarrow`$ le **flux** de $`\overrightarrow{X}`$ *à travers l'ensemble des $`\overrightarrow{d\Sigma_i}`$ situés* **à l'intérieur** d'un volume (les $`d\Sigma_i`$ appartenant à la frontière extérieure du volume étant exclus) est **nul**.
* Tout **élément de volume $`d\tau`$ en contact avec l'extérieur***possède un élément de surface $`d\Sigma_{ext}`$*. qui appartient à la frontière entre l'intérieur du volume et l'extérieur.
* Tout élément de surface $`d\Sigma_{ext}`$ n'appartient qu'à un unique élement de volume $`d\tau`$ du volume $`\tau`$ :<br>
$`\Longrightarrow`$ lui est associé un **unique élément vectoriel de surface $`\overrightarrow{d\Sigma_{ext}}`$***orienté de l'intérieur vers l'extérieur*.
