@ -4,9 +4,46 @@ published : false
visible : false
---
!!!! *ATTENTION* :
!!!! Ce contenu n'est pas un cours validé !
!!!! Page non répertoriée
### Sistema de coordenadas / Systèmes de coordonnées / Coordinates systems
(cartesian, cylindrical, spherical, Euler angles)
!!!! *Recopilar elementos de cursos / Collecte d'éléments de cours / Collecting course items*
!!!!
!!!! No publique, no haga visible.< br >
!!!! Ne pas publier, ne pas rendre visible.< br >
!!!! Do not publish, do not make visible.< br >
##### Descripción del método y recordatorios útiles para contribuir / Description de la méthode et rappels utiles pour contribuer / Description of the method and useful reminders to contribute :
##### Estructura para cualquier elemento nuevo del curso, para copiar o reproducir / Structure pour tout nouveau élément de cours, à copier ou reproduire / Structure for any new course element, to copy or reproduce
* *MATO3-VA-xxx*
<!<!--a--> --
Por nivel / pour le niveau 3 / for level : 3
comentario (no obligatorio) / commentaire (non obligatoire) / comment (not compulsory)
--<!-- a --> >
(YYY) : 3 initiales pour t'identifier/ 3 iniciales para identificarte / 3 initials to identify you. < br >
[ES] Texto en su idioma, o traducción automática en las otras si es posible especificando (auto-tra). < br >
[FR] Texte dans votre langue ; ou traduction automatique dans les autres si possible en précisant (auto-tra). < br >
[EN] Text in your language, or automatic translation in others if possible specifying (auto-tra). < br >
[LL] (YYY) : Las ecuaciones que usas / Les équations que vous utilisez / The equations you use
##### Sugerir, mejorar texto o ecuaciones, en un elemento del curso ya existente / Pour proposer, améliorer du texte ou des équations, dans un élément de cours déjà existant / To suggest, improve text or equations, in an already existing course element :
* Simplemente dentro del elemento del curso, escriba su contribución comenzando con (YYY-LL), con: < br >
YYY sus 3 iniciales, y LL su idioma (ES, FR o EN).
* Simplement à l'intérieur de l'élément de cours, écrire votre contribution en commençant par (YYY-LL), avec :< br >
YYY vos 3 initiales, et LL votre langue (ES, FR ou EN).
* Simply inside the course element, write your contribution starting with (YYY-LL), with: < br >
YYY your 3 initials and LL your language (ES, FR or EN).
--------------------------------------------------------------------------------
### IMPORTANTE / IMPORTANT
@ -88,7 +125,11 @@ https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11
(http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform& ievref=102-03-04)
##### VA10.Vectores en el espacio euclidiano / Vecteurs dans un espace euclidien / Vectors in Euclidean Space
--------------------------------------------------------------------------------
* *MATO3-VA-10*
Vectores en el espacio euclidiano / Vecteurs dans un espace euclidien / Vectors in Euclidean Space
[ES] 3 caracteristicas : norma, dirección y sentido ?
@ -104,9 +145,11 @@ ATENCIÓN / ATTENTION / BE CAREFUL :
[EN] mathematically, the word "dirección / direction / direction" does not have the same meaning in French and Spanish, and in English.
-------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
* *MATO3-VA-20*
##### VA20 Significado de los vectores en mecánica / Signification des vecteurs en mécanique / Meaning of vectors in mechanics.
##### Significado de los vectores en mecánica / Signification des vecteurs en mécanique / Meaning of vectors in mechanics.
[ES] Los *vectores* pueden representar *diferentes cantidades físicas* . < br >
_ejemplo: vector de velocidad del punto M, y la fuerza que se aplica al punto M._
@ -129,9 +172,11 @@ et $`N`$)_. Elles *ne peuvent pas être comparées*.
and force)_ are expressed in *different units* _(respectively: $`ms^{-1}`$ and $`N`$)_.
They *cannot be compared* .
-------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
##### VA30 Vectores colineales y no colineales / Vecteurs colinéaires et non colinéaires / Collinear and non-collinear vectors
* *MATO3-VA-30*
##### Vectores colineales y no colineales / Vecteurs colinéaires et non colinéaires / Collinear and non-collinear vectors
[ES] Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si tienen *igual dirección* .
@ -154,23 +199,31 @@ They *cannot be compared*.
Fig "mechanics-vectors-collinear.png" ready for use.
-------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
* *MATO3-VA-40*
##### Suma y resta de vectores / addition et soustraction de vecteurs / addition and subtraction of vectors
--------------------------------------------------------------------------------
* *MATO3-VA-50*
##### VA40 suma y resta de vectores / addition et soustraction de vecteurs / addition and subtraction of vectors
##### multiplicación de un vector por un escalar / multiplication d'un vecteur par un scalaire / multiplication of a vector by a scalar
-------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
##### VA50 multiplicación de un vector por un escalar / multiplication d'un vecteur par un scalaire / multiplication of a vector by a scalar
* *MATO3-VA-60*
-------------------------------
#### vectores libres, vecores fijos / vecteurs libres, vecteurs liés / ...
#### VA60 vectores libres, vecores fijos / vecteurs libres, vecteurs liés / ...
--------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------
* *MATO3-VA-70*
#### VA70 Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space
#### Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space
##### VA70-1 en un plano $`\mathcal{P}`$ / dans un plan $`\mathcal{P}`$ / in a plane $`\mathcal{P}`$
##### en un plano $`\mathcal{P}`$ / dans un plan $`\mathcal{P}`$ / in a plane $`\mathcal{P}`$
Definición / Définition :
@ -204,10 +257,17 @@ $`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists
Fig "mechanics-vector-base-plane_L1200.gif" ready for use.
##### VA70-2 en un espacio vectorial $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ / dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$ / in a vector space $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$
--------------------------------------------------------------------------------
##### VA75
* *MATO3-VA-80*
#### Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space
##### en un espacio vectorial $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ / dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$ / in a vector space $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$
--------------------------------------------------------------------------------
* *MATO3-VA-90*
[ES] En matemáticas, una **secuencia** es un *conjunto ordenado de elementos* , llamados sus "términos".
y que están *indexados por números naturales* .
@ -218,7 +278,9 @@ et qui sont *indexées par les entiers naturels*.(le terme "n-uplet" n'est pas b
[EN] In mathematics, a **sequence** is an *ordered set of elements* , called its "terms"
and which are *indexed by natural numbers* .
##### VA80
--------------------------------------------------------------------------------
* *MATO3-VA-100*
[ES] *$`n`$ vectores ordenados* en una secuencia $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forman
una **base de un espacio vectorial** $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ si *cualquier vector* de este
@ -241,7 +303,9 @@ $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.
[EN]
##### VA90
--------------------------------------------------------------------------------
* *MATO3-VA-110*
[ES] Para cualquier base denotamos los vectores base $`\vec{a_i}`$.
(ejemplo : vectores de la base convencionale (no ortonormales) de un cristal en física
@ -264,12 +328,15 @@ http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br>
We reserve the notation $`\vec{e_i}`$ for vectors of normal and orthonormal bases :< br >
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform& ievref=102-03-28.
--------------------------------------------------------------------------------
#### Características de una base / Caractéristiques d’une base et d’un repère / Characteristics of a base
--------------------------------------------------------------------------------
#### Características de una base / Caractéristiques d’une base et d’un repère / Characteristics of a base
* *MATO3-VA-120*
##### VA100 Base y ??? normales / Base et repère normés / Normal base and ????
##### Base y ??? normales / Base et repère normés / Normal base and ????
[ES] Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$
@ -285,6 +352,10 @@ http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.
$`||\overrightarrow{a}||=1\; ; \;||\overrightarrow{b}||=1\; ; \;||\overrightarrow{c}||=1`$ .
--------------------------------------------------------------------------------
* *MATO3-VA-130*
##### VA110 Base and ??? ortogonales / Base et repère orthogonaux / Orthogonal base and ???
[ES] Base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ y ??? $`(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})`$
@ -301,7 +372,12 @@ $`||\overrightarrow{a}||=1\; ; \;||\overrightarrow{b}||=1\; ; \;||\overrightarro
$`\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\; ; \;\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}\; ; \;\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}`$.
##### VA120 Base y ??? ortonormales / base et repère orthonormés / ???
--------------------------------------------------------------------------------
* *MATO3-VA-140*
##### Base y ??? ortonormales / base et repère orthonormés / ???
[ES] Base orthonormal $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / ??? $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$
@ -325,8 +401,11 @@ $`\delta_{i\,j}=1`$ si $`i=j\quad`$ et $`\quad\delta_{i\,j}=0`$ si $`i \ne j`$.
[EN]
--------------------------------------------------------------------------------
#### VA130 Regla de la mano derecha / règle de la main droite / right-hand rule
* *MATO3-VA-150*
#### Regla de la mano derecha / règle de la main droite / right-hand rule
[ES] Dos vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ distintos de cero, unitarios y ortogonales, forman
una base ortonormal $`(\vec{a},\vec{b})`$ de un plano en el espacio.
@ -364,15 +443,19 @@ la **règle des 3 doigts de la main droite**.
Fig "physics-mechanics-space-orientation-right-hand-rule-direction_L1200_horiz_vert.jpg" ready for use.
--------------------------------------------------------------------------------
* *MATO3-VA-200*
#### VA140 Repère orthonormé direct / indirect
#### Repère orthonormé direct / indirect
---------
--------------------------------------------------------------------------------
#### VA200 Producto escalar de dos vectores, y norma de un vector / Produit scalaire de 2 vecteurs, et norme d’un vecteur /
* *MATO3-VA-210*
#### Producto escalar de dos vectores, y norma de un vector / Produit scalaire de 2 vecteurs, et norme d’un vecteur /
##### VA200-1 v alable dans une base $`(\vec{a},\vec{b})`$ quelconque d'un plan $`\mathcal{P}`$
##### alable dans une base $`(\vec{a},\vec{b})`$ quelconque d'un plan $`\mathcal{P}`$
$`\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})`$
@ -390,16 +473,31 @@ $` = U_a\,V_a\,(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a})+U_a\,V_b\,(\overright
$`+U_b\,V_a\,(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})+U_b\,V_b\,(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b})`$< br >
$`= U_a\,V_a\,\overrightarrow{a}^2 + U_b\,V_b\,\overrightarrow{b}^2 + (U_a\,V_a+U_b\,V_a)\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})`$
##### VA210 Norma de un vector / norme d'un vecteur / vector magnitude
--------------------------------------------------------------------------------
* *MATO3-VA-220*
##### Norma de un vector / norme d'un vecteur / vector magnitude
[EN] magnitude = length
$`||\overrightarrow{U}||=\sqrt{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}}=\overrightarrow{U}^{\frac{1}{2}}`$
##### VA220 Vector unitario / Vecteur unitaire / Unit vector
--------------------------------------------------------------------------------
* *MATO3-VA-230*
##### Vector unitario / Vecteur unitaire / Unit vector
$`\overrightarrow{U}`$ est unitaire $`\quad\Longleftrightarrow\quad ||\overrightarrow{U}||=1`$
--------------------------------------------------------------------------------
* *MATO3-VA-240*
##### VA230 Producto escalar de dos vectores colineales / Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires / Scalar product of 2 collinear vectors
[EN] scalar product = dot product
@ -416,15 +514,22 @@ $`\;\Longrightarrow\left|\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{
\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=-\;||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||
\;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=\pi\end{array}\right.`$
--------------------------------------------------------------------------------
##### VA240 Producto escalar de dos vectores ortogonales / Produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux / Scalar product of two orthogonal vectors
* *MATO3-VA-250*
##### Producto escalar de dos vectores ortogonales / Produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux / Scalar product of two orthogonal vectors
$`\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad, \forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$
$`\overrightarrow{U}\perp\overrightarrow{V}\Longleftrightarrow\widehat{\overrightarrow{U},
\overrightarrow{V}}=\dfrac{\pi}{2}\Longleftrightarrow cos(\widehat{\overrightarrow{U},
\overrightarrow{V}})=0`$**$`\Longrightarrow\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=0`$**.
##### VA250 Producto escalar de dos vectores en una base ortonormal del espacio / Prduit scalaire de deux vecteurs 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Scalar product of 2 vectors in an orthonormal basis
--------------------------------------------------------------------------------
* *MATO3-VA-250*
##### Producto escalar de dos vectores en una base ortonormal del espacio / Prduit scalaire de deux vecteurs 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Scalar product of 2 vectors in an orthonormal basis
"$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée.
$`\quad\Longrightarrow`$
@ -432,8 +537,11 @@ $`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarro
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$
**$`\displaystyle\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + ... + U_n\,V_n = \sum_{i=1}^n\;U_i\,V_i`$**
--------------------------------------------------------------------------------
##### VA260 Cálculo del ángulo entre 2 vectores en una base ortonormal del espacio / Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Calculation of the angle between 2 vectors in an orthonormal basis
* *MATO3-VA-260*
##### Cálculo del ángulo entre 2 vectores en una base ortonormal del espacio / Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Calculation of the angle between 2 vectors in an orthonormal basis
Plano euclidiano / plan euclidien / euclidian space : $`n=3`$ :
@ -457,9 +565,11 @@ $`\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}
$`\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\quad`$ (rad).
----------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
* *MATO3-VA-270*
#### VA270 Producto vectorial de 2 vectores / Produit vectoriel de 2 vecteurs / Vector product of 2 vectors
#### Producto vectorial de 2 vectores / Produit vectoriel de 2 vecteurs / Vector product of 2 vectors
Selon http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform& ievref=102-03-36,
il faudrait mieux utiliser en France la notation $`\vec{U}\times\vec{V}`$ plutôt
@ -469,9 +579,11 @@ notre différence avec la notation anglosaxonne ?
L'étudiant, dans le mode échange, verra le même cours en parallèle dans 2 langues, et donc verra
les différences d'écriture mathémétiques.
----------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
##### VA280 Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.
* *MATO3-VA-280*
##### Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.
[ES]
@ -533,8 +645,11 @@ Physique relativiste :<br>
tenseur de courbure, tenseur énergie-impulsion, ...
-->
--------------------------------------------------------------------------------
* *MATO3-VA-300*
##### VA300 Componentes de un producto vectorial en base ortonormal / Composantes d'un produit vectoriel dans une base orthonormée / Components of a vector product in an orthonormal basis
##### Componentes de un producto vectorial en base ortonormal / Composantes d'un produit vectoriel dans une base orthonormée / Components of a vector product in an orthonormal basis
$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$
@ -569,8 +684,11 @@ U_1 & U_2 & U_3\\V_1 & V_2 & V_3\end{vmatrix}`$
$`=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrightarrow{e_2}`$
$`-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}`$
--------------------------------------------------------------------------------
#### VA310 Producto mixto de 2 vectores / Produit mixte de 3 vecteurs / Scalar triple product of 3 vectors
* *MATO3-VA-3100*
#### Producto mixto de 2 vectores / Produit mixte de 3 vecteurs / Scalar triple product of 3 vectors
[ES] Producto triple escala = producto mixto.
@ -598,7 +716,11 @@ $`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})
=-(\overrightarrow{U},\overrightarrow{W},\overrightarrow{V})
=-(\overrightarrow{W},\overrightarrow{V},\overrightarrow{U})`$
##### VA310-1 Componentes de un producto mixto en base ortonormal / Composantes d'un produit mixte dans une base orthonormée / Components of a triple product in an orthonormal basis
--------------------------------------------------------------------------------
* *MATO3-VA-320*
##### Componentes de un producto mixto en base ortonormal / Composantes d'un produit mixte dans une base orthonormée / Components of a triple product in an orthonormal basis
$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$
@ -617,8 +739,9 @@ $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})=\begin{vmatrix} U_1 & U_2 & U_3\\
V_1 & V_2 & V_3\\W_1 & W_2 & W_3\end{vmatrix}`$
$`=U_3 V_1 W_2 + U_1 V_2 W_3 + U_2 V_3 W_1 - U_2 V_1 W_3 - U_3 V_2 W_1 - U_1 V_3 W_2`$
* *MATO3-VA-321*
##### VA310-2 Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.
##### Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.
[ES]
