@ -317,15 +317,15 @@ Le vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ en coordonnées cartésiennes s'écrit en fon
* *CS220** *CS220*
La norme du vecteur $`\partial \overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$
La norme du vecteur $`d \overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$
est l'élément de longueur $`dl_x`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$ s'écrit :est l'élément de longueur $`dl_x`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$ s'écrit :
$`\partial \overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$
$`d \overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$
de même :de même :
$`\partial \overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}`$< br >
$`\partial \overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$
$`d \overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}`$< br >
$`d \overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$
----------------------------------------------------------------
@ -337,7 +337,7 @@ $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$ quand les coordonnées varient infinitésimalement des qu
$`dx`$, $`dy`$ y $`dz`$, et il s'écrit :$`dx`$, $`dy`$ y $`dz`$, et il s'écrit :
$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$
$`=\partial\overrightarrow{OM}_x+\partial\overrightarrow{OM}_y+\partial \overrightarrow{OM}_z`$
$`=d\overrightarrow{OM}_x+d\overrightarrow{OM}_y+d \overrightarrow{OM}_z`$
$`=\overrightarrow{dl_x}+\overrightarrow{dl_y}+\overrightarrow{dl_z}`$$`=\overrightarrow{dl_x}+\overrightarrow{dl_y}+\overrightarrow{dl_z}`$
$`=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$$`=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$
$`=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$$`=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$
@ -371,9 +371,9 @@ $`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$
* *CS250** *CS250*
Les 3 vecteurs $`\partial \overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$,
$`\quad\partial \overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ et
$`\quad\partial \overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2.
Les 3 vecteurs $`d \overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$,
$`\quad d \overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ et
$`\quad d \overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2.
$`\Longrightarrow`$ :$`\Longrightarrow`$ :
@ -400,19 +400,19 @@ $`\quad dS=dS_{yz}=dS_{zy}=dl_y\;dl_z=dy\;dz`$, **$`\mathbf{dS=dl_y\;dl_z=dy\;dz
et les **éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dS}`$** correspondants sont :et les **éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dS}`$** correspondants sont :
$`d\overrightarrow{S_{xy}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_x\land\partial \overrightarrow{OM}_y`$
$`d\overrightarrow{S_{xy}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_x\land d \overrightarrow{OM}_y`$
$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_y}`$$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_y}`$
$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_y\;\overrightarrow{e_y})`$$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_y\;\overrightarrow{e_y})`$
$`=\pm\; dl_x\;dl_y\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_y})`$$`=\pm\; dl_x\;dl_y\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_y})`$
$`= \pm \; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$$`= \pm \; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$
$`d\overrightarrow{S_{xz}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_x\land\partial \overrightarrow{OM}_z`$
$`d\overrightarrow{S_{xz}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_x\land d \overrightarrow{OM}_z`$
$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_z}`$$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_z}`$
$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$
$`=\pm\; dl_x\;dl_z\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_z})`$$`=\pm\; dl_x\;dl_z\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_z})`$
$`=\mp\; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$$`=\mp\; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$
$`d\overrightarrow{S_{yz}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_y\land\partial \overrightarrow{OM}_z`$
$`d\overrightarrow{S_{yz}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_y\land d \overrightarrow{OM}_z`$
$`=\pm\;\overrightarrow{dl_y}\land\overrightarrow{dl_z}`$$`=\pm\;\overrightarrow{dl_y}\land\overrightarrow{dl_z}`$
$`=\pm\; (dl_y\;\overrightarrow{e_y})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$$`=\pm\; (dl_y\;\overrightarrow{e_y})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$
$`=\pm\; dl_y\;dl_z\;(\overrightarrow{e_y}\land\overrightarrow{e_z})`$$`=\pm\; dl_y\;dl_z\;(\overrightarrow{e_y}\land\overrightarrow{e_z})`$
@ -505,9 +505,11 @@ $`M(\rho , \varphi , z)`$, **$`\mathbf{M(\rho , \varphi , z)}`$**
* *CS340** *CS340*
\- **Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cylindriques variant indépendamment dans les domaines $`\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[ `$ , $` \varphi\in[0,2\pi[`$ et $`z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty\,[ `$.
\- **Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cylindriques variant indépendamment
dans les domaines $`\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[ `$ ,
$`\varphi\in[0,2\pi[`$ et $`z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty\,[`$.
**$`\mathbf{ \rho\in\mathbb{R_+^{* }}=[0 ,+\infty[} `$ , $` \mathbf{ \varphi\in[0,2\pi[ }`$ , $`\mathbf{ z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty[ } `$**
**$`\mathbf{\rho\in\mathbb{R_+^{* }}=[0 ,+\infty[}`$ , $`\mathbf{ \varphi\in[0,2\pi[ }`$ , $`\mathbf{ z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty[ } `$**
----------------------------
@ -638,23 +640,23 @@ $`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\phi}=\rho\,d\varphi`$ , , **$`\mathbf{dl_{\varp
[ES] Cuando solo la coordenada $`\rho`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ aumenta[ES] Cuando solo la coordenada $`\rho`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ aumenta
infinitesimalmente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$)infinitesimalmente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$)
para llegar al punto $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, el vector de desplazamientopara llegar al punto $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, el vector de desplazamiento
$`\overrightarrow{MM'}=\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}`$ del punto $`M`$ es el vector
$`\overrightarrow{MM'}=d \overrightarrow{OM}_{\rho}`$ del punto $`M`$ es el vector
tangente a la trayectoria en el punto $`M`$, dirigido en la dirección del movimiento,tangente a la trayectoria en el punto $`M`$, dirigido en la dirección del movimiento,
que se escribe :que se escribe :
[FR] Lorsque seule la coordonnées $`\rho`$ d'un point $`M(\rho, \varphi, z)`$ s'accroît de façon [FR] Lorsque seule la coordonnées $`\rho`$ d'un point $`M(\rho, \varphi, z)`$ s'accroît de façon
infinitésimale entre les valeurs $`\rho`$ et $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$)infinitésimale entre les valeurs $`\rho`$ et $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$)
pour atteindre le point $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, le vecteur déplacement pour atteindre le point $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, le vecteur déplacement
$`\overrightarrow{MM'}=\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}`$ du point $`M`$ est le vecteur
$`\overrightarrow{MM'}=d \overrightarrow{OM}_{\rho}`$ du point $`M`$ est le vecteur
tangent à la trajectoire au point $`M`$, dirigé dans le sens du mouvement, qui s'écrit :tangent à la trajectoire au point $`M`$, dirigé dans le sens du mouvement, qui s'écrit :
[EN] When only the $`\rho`$ coordinate of a point $`M(x,y,z)`$ increases infinitesimally between[EN] When only the $`\rho`$ coordinate of a point $`M(x,y,z)`$ increases infinitesimally between
the values $`\rho`$ and $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$) to reach the pointthe values $`\rho`$ and $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$) to reach the point
$`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, the displacement vector$`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, the displacement vector
$`\overrightarrow{MM'}=\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}`$ of the point $`M`$ is the
$`\overrightarrow{MM'}=d \overrightarrow{OM}_{\rho}`$ of the point $`M`$ is the
tangent vector to the trajectory at point $`M`$ oriented in the direction of the movement. It writes :tangent vector to the trajectory at point $`M`$ oriented in the direction of the movement. It writes :
$`\overrightarrow{MM'}=\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \rho}\cdot d\rho`$
$`\overrightarrow{MM'}=d \overrightarrow{OM}_{\rho}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \rho}\cdot d\rho`$
[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (que indica la dirección y el sentido[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (que indica la dirección y el sentido
de desplazamiento del punto $`M`$ cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada $`\rho`$ se escribe:de desplazamiento del punto $`M`$ cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada $`\rho`$ se escribe:
@ -669,40 +671,40 @@ $`\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}}{||\partia
tambien / de même / similarly :tambien / de même / similarly :
$`\partial \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \varphi}\cdot d\varphi`$,
$`d \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \varphi}\cdot d\varphi`$,
$`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}||}`$< br > $`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}||}`$< br >
$`\partial \overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$,
$`d \overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$,
$`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$$`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$
* *CS390** *CS390*
[ES] La norma del vector $`\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
es el elemento escalar de linea $`dl_{\rho}`$, entonces el vector $`\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
[ES] La norma del vector $`d \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
es el elemento escalar de linea $`dl_{\rho}`$, entonces el vector $`d \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
se escribe :se escribe :
[FR] La norme du vecteur $`\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
est l'élément de longueur $`dl_{\rho}`$, donc le vecteur $`\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ s'écrit :
[FR] La norme du vecteur $`d \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
est l'élément de longueur $`dl_{\rho}`$, donc le vecteur $`d \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ s'écrit :
[EN] the norm (or length) of the vector $`\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
is the scalar line element $`dl_{\rho}`$, so the vector $`\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ writes :
[EN] the norm (or length) of the vector $`d \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
is the scalar line element $`dl_{\rho}`$, so the vector $`d \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ writes :
$`\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}
$`d \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}
=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$ , **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\rho}}=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$ , **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\rho}}=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
tambien / de même / similarly :tambien / de même / similarly :
$`\partial \overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ ,
$`d \overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ ,
**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}}`$****$`\mathbf{\overrightarrow{dl_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}}`$**
[ES] La norma del vector $`\partial \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$
[ES] La norma del vector $`d \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$
es el elemento escalar de linea $`dl_{\varphi}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ es el elemento escalar de linea $`dl_{\varphi}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
se escribe :se escribe :
[FR] La norme du vecteur $`\partial \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$
[FR] La norme du vecteur $`d \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$
est l'élément de longueur $`dl_{\varphi}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ s'écrit :est l'élément de longueur $`dl_{\varphi}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ s'écrit :
[EN] the norm (or length) of the vector $`\partial \overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}`$
[EN] the norm (or length) of the vector $`d \overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}`$
is the scalar line element $`dl_{\varphi}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ writes :is the scalar line element $`dl_{\varphi}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ writes :
$`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}$`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}
@ -728,7 +730,7 @@ $`d\rho`$, $`d\varphi`$ and $`dz`$,
and it writes :and it writes :
$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$
$`=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}+\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}+\partial \overrightarrow{OM}_z`$
$`=d\overrightarrow{OM}_{\rho}+d\overrightarrow{OM}_{\varphi}+d \overrightarrow{OM}_z`$
$`=\overrightarrow{dl_{\rho}}+\overrightarrow{dl_{\varphi}}+\overrightarrow{dl_z}`$$`=\overrightarrow{dl_{\rho}}+\overrightarrow{dl_{\varphi}}+\overrightarrow{dl_z}`$
$`=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$$`=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$
$`=d\rho\;\overrightarrow{e_x}+\rho\;d\varphi\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$$`=d\rho\;\overrightarrow{e_x}+\rho\;d\varphi\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$
@ -1003,51 +1005,51 @@ $`\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_z}}{dt^2} \quad = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\
* *CS460** *CS460*
[ES] La norma del vector $`\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
[ES] La norma del vector $`d \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
es el elemento escalar de linea $`dl_{\rho}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ es el elemento escalar de linea $`dl_{\rho}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$
se escribe :se escribe :
[FR] La norme du vecteur $`\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
[FR] La norme du vecteur $`d \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
est l'élément de longueur $`dl_{\rho}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ s'écrit :est l'élément de longueur $`dl_{\rho}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ s'écrit :
[EN] the norm (or length) of the vector $`\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
[EN] the norm (or length) of the vector $`d \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
is the scalar line element $`dl_{\rho}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ writes :is the scalar line element $`dl_{\rho}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ writes :
$`\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}
$`d \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}
=\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$=\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$
tambien / de même / similarly :tambien / de même / similarly :
$`\partial \overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$
$`d \overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$
[ES] La norma del vector $`\partial \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$
[ES] La norma del vector $`d \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$
es el elemento escalar de linea $`dl_{\varphi}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ es el elemento escalar de linea $`dl_{\varphi}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
se escribe :se escribe :
[FR] La norme du vecteur $`\partial \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$
[FR] La norme du vecteur $`d \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$
est l'élément de longueur $`dl_{\varphi}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ s'écrit :est l'élément de longueur $`dl_{\varphi}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ s'écrit :
[EN] the norm (or length) of the vector $`\partial \overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}`$
[EN] the norm (or length) of the vector $`d \overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}`$
is the scalar line element $`dl_{\varphi}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ writes :is the scalar line element $`dl_{\varphi}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ writes :
$`\partial \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}
$`d \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}
=\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}`$=\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
------------------------------------
* *CS470** *CS470*
[ES] Los 3 vectores $`\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$,
$`\quad\partial \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ y
$`\quad\partial \overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ son 2 a 2 ortogonales.
[ES] Los 3 vectores $`d \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$,
$`\quad d \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ y
$`\quad d \overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ son 2 a 2 ortogonales.
[FR] Les 3 vecteurs $`\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$,
$`\quad\partial \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ et
$`\quad\partial \overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2.
[FR] Les 3 vecteurs $`d \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$,
$`\quad d \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ et
$`\quad d \overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2.
[EN] The 3 vectors $`\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$,
$`\quad\partial \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ and
$`\quad\partial \overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ are 2 to 2 orthogonal.
[EN] The 3 vectors $`d \overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$,
$`\quad d \overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ and
$`\quad d \overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ are 2 to 2 orthogonal.
$`\Longrightarrow`$ :$`\Longrightarrow`$ :
@ -1081,17 +1083,17 @@ http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-07.<br>
[EN] and the corresponding **vector surface elements $`\overrightarrow{dA}`$** are :[EN] and the corresponding **vector surface elements $`\overrightarrow{dA}`$** are :
$`d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}\land\partial \overrightarrow{OM}_{\varphi}`$
$`d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}\land d \overrightarrow{OM}_{\varphi}`$
$`=\overrightarrow{dl_{\rho}}\land\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$$`=\overrightarrow{dl_{\rho}}\land\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$
$`= (dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})\land(dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})`$$`= (dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})\land(dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})`$
$`=dl_{\rho}\;dl_{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})`$$`=dl_{\rho}\;dl_{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})`$
$`=d\rho\;\rho\,d{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})`$< br > $`=d\rho\;\rho\,d{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})`$< br >
< br > $`d\overrightarrow{A_{\varphi z}}=\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}\land\partial \overrightarrow{OM}_z`$
< br > $`d\overrightarrow{A_{\varphi z}}=d\overrightarrow{OM}_{\varphi}\land d \overrightarrow{OM}_z`$
$`=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\land\overrightarrow{dl_z}`$$`=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\land\overrightarrow{dl_z}`$
$`= (dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})\land (dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$$`= (dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})\land (dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$
$`=dl_{\varphi}\;dl_z\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})`$$`=dl_{\varphi}\;dl_z\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})`$
$`=\rho\,d\varphi\;dz\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})`$< br > $`=\rho\,d\varphi\;dz\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})`$< br >
< br > $`d\overrightarrow{A_{z \rho}}=\partial\overrightarrow{OM}_z\land\partial \overrightarrow{OM}_{\rho}`$
< br > $`d\overrightarrow{A_{z \rho}}=d\overrightarrow{OM}_z\land d \overrightarrow{OM}_{\rho}`$
$`=\overrightarrow{dl_z}\land\overrightarrow{dl_{\rho}}`$$`=\overrightarrow{dl_z}\land\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
$`=(dl_z\;\overrightarrow{e_z})\land(dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})`$$`=(dl_z\;\overrightarrow{e_z})\land(dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})`$
$`=dl_z\;dl_{\rho}\;(\overrightarrow{e_z}\land\overrightarrow{e_{\rho}})`$.$`=dl_z\;dl_{\rho}\;(\overrightarrow{e_z}\land\overrightarrow{e_{\rho}})`$.
