9.1 KiB
$\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}$
$\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}$
Proposición 1
Definir las herramientas matemáticas necesarias para el nivel 3
con una primera clasificación para ordenar la lluvia de ideas (nconteo, geometría, etc.). No presagia títulos de capítulo.
No dude en crear una nueva clasificación si es necesario.
Las herramientas matemáticas de los niveles 1 y 2 $+$ :
! *Numeración, operaciones y funciones comunes *
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
-
nombre imaginaire $
i$
Ensemble des nombres imaginaires purs $\mathbb{I}$ : $c=i\,b$
Ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ :
$c=a+i\,b= |c|\,e^{\,i\,\theta}$,
avec $|c|=\sqrt{a^2 + b^2}$ et $\theta\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$
$c=a+i\,b= \mathcal{Re}(c)+i\,\mathcal{Im}(c)$ -
fonction puissance $
y^x$ -
fonction exponentielle $
e^x$
Euler $e^{\,i\theta}=\cos\theta+ i\sin\theta$
$\cos\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}+e^{\,-i\theta}}{2}$
** $\sin\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}-e^{\,-i\theta}}{2i}$** -
$
e^0=1 \quad , \quad$ $e^{\,i\frac{\pi}{2}}=i\quad , \quad$ $e^{\,i\pi}=-1\quad , \quad$, ... -
fonction logatithme $
log_p\,x$
propriétés fonction log, dont transformation produit en somme : $log_p\,xy=log_p,x+log_p,y$ fonction logatithme $log_{10}\,x$ en relation à la fonction puissance $10^x$
fonction logatithme népérien $Log\,x=ln\,x$ en relation à la fonction puissance $exp(x)=e^x$ -
notations réelle et notation complexe : $
\overrightarrow{U}=U_0\,\cos(k\,x-\omega t+\varphi)\overrightarrow{e}$
$\overrightarrow{\underline{U}}=U_0\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t+\varphi)}\overrightarrow{e}$ $\;=\underline{U_0}\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t)}\overrightarrow{e}$
$\overrightarrow{U}=\mathcal{Re}(\overrightarrow{\underline{U}})$
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Ensembles et logique
à faire
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Géométrie et coordonnées
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
-
Règle d'orientation de l'espace
Systèmes de coordonnées, bases et repères directs ou indirect -
Coordonnées, bases vectorielles et repères associées
bases et repères orthogonaux, normés, orthonormés, directs et indirects -
Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques
- avec repères et bases associés
- éléments infinitésimaux de longueur, de surface, de volume
- expressions des opérateurs $
\overrightarrow{grad}$, $div$ et $\overrightarrow{rot}$
-
matrice changement de base orthonormée directe :
- $
\overrightarrow{e_i}\longrightarrow \overrightarrow{e_j}'$ : $(a)$ - $
\overrightarrow{e_j}'\longrightarrow \overrightarrow{e_i}'$ : $(a')=(a)^t = (a)^{-1}$
- $
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Vecteurs et opérateurs, analyse vectorielle
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
Dans une base euclidienne (3D):
-
Produit scalaire $
\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}$ (notation $\wedge$ ou $\times$ ) -
Produit vectoriel $
\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}$ (notation $\wedge$ ou $\times$ ) -
Produit mixte $
(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})$ -
Opérateurs $
\overrightarrow{grad}$, $div$ et $\overrightarrow{rot}$ (notation $\overrightarrow{rot}$ ou $\overrightarrow{curl}$ ) et notation avec nabla (coordonnées cartésiennes) : $\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y} \overrightarrow{e_y}\dfrac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{e_z}$ -
Opérateurs Laplacien scalaire (coordonnées cartésiennes) $
\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$ $\;=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}$ -
Opérateur d'Alembertien scalaire (coordonnées cartésiennes)
-
$
\Box=\Delta-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}$ (pour les ondes) -
$
\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}\,V)=0$, lien avec
$\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=0\quad\Longrightarrow\quad \exists V\;,\;\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\,V$ -
$
div\,(\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{A}) =0$, lien avec
$div\,\overrightarrow{B}=0 \quad\Longrightarrow\quad \exists \overrightarrow{A}\;,\;\overrightarrow{B}=\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A}$
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Matrices
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
-
Matrices $
(n,m)$ : $\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix}$ -
Somme de matrice $
(n,m) + (n,m)$ -
Produit matriciel $
(n,m)\cdot (m,p) dot$ -
Matrice transposée d'une matrice carrée
-
Calcul matriciel
-
Déterminant d'une matrice carrée : $
\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Étude de fonctions
(CME-FR)
-
Passage de la notation $
f'(x_0)$ à $\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x_0}$
Passage de la notation $f'(x)$ à $\dfrac{df}{dx}$
...
de $f^{(n)}(x_0)$ à $\left.\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}\right|_{x_0}$
de $f^{(n)}(x)$ à $\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}$ -
fonction dérivée et fonction primitive.
-
intégrale simple
- indéfinie $
\displaystyle\int f(x)\,dx$ - définie $
\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx$
- indéfinie $
-
intégrale multiple (variables indépendantes)
- $
\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy$ - $
\displaystyle\iiint f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$
- $
-
différence entre :
- $
\displaystyle\int f(x)\,dx$ et $\oint f(x)\,dx$ - $
\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy$ et $\oiint f(x,y)\,dx\,dy$
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
- $
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Équations
(CME-FR)
- Résolution de systèmes d'équations par la méthode du déterminant.
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Équations
- à faire
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)