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Proposición 1
Definir las herramientas matemáticas necesarias para el nivel 2
con una primera clasificación para ordenar la lluvia de ideas (nconteo, geometría, etc.). No presagia títulos de capítulo.
No dude en crear una nueva clasificación si es necesario.
Las herramientas matemáticas de nivel 1 $+$ :
! *Numeración, operaciones y funciones comunes *
-
conjuntos de números
- enteros naturales $
\mathbb{N}$ (et $\mathbb{N}^*$) - enteros relativos $
\mathbb{Z}$ (et $\mathbb{Z}^*$) - numeros reales $
\mathbb{R}$ (et $\mathbb{R}^*,\mathbb{R}_+,\mathbb{R}_-, \mathbb{R}_+^*$,...) - ¿números racionales e irracionales? (¿No hay enlaces directos en física, sino un programa de matemáticas N2 o N3?)
- enteros naturales $
-
factorial de un número entero
-
funcion exponencial $
exp(x)=e^x$ -
$
log_p\,n$, definido como :
si $q=p^n$, entonces $\log_p(q)=n$, donde $n,p,q$ son enteros y $p,q$ positivos.
(necesidad de introducir elementos físicos importantes) -
introducción a $
i$ tal que $i^2=-1$ (como artificio de cálculo)
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(CME-FR) Buen dominio, con ejercicios de automatismo:
-
Funciones trigonométricas $
\sin$ , $\arcsin$ , $\cos$ , $\arcsin$ , $\tan$ , $\arctan$ -
Las relaciones de trigonometría :
- $
\sin(a+b)=\sin\,a\;\cos\,b + \sin\,b\;\cos\,a$ - $
\sin(a-b)=\sin\,a\;\cos\,b - \sin\,b\;\cos\,a$ - $
\cos(a+b)=\cos\,a\;\cos\,b - \sin\,b\;\sin\,a$ - $
\cos(a-b)=\cos\,a\;\cos\,b + \sin\,b\;\sin\,a$
et savoir retrouver les autres
- $
-
La identidad matemática notable : $
(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
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(XXX-YY) ...
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! *Conjuntos y lógica *
(CME-FR)
-
complementario a un conjunt $
A$ en $E$*, denotado $\mathbf{\complement_E A}$ -
Uso de $
\forall$ , $\exists$ , $\displaystyle\lim_{x\longrightarrow x_0}$
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(XXX-YY) ...
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! *Geometría y coordenadas *
(CME-FR)
-
Reglas para la orientación de un plano: sentido directo (en sentido antihorario) y sentido inverso (en el sentido de las agujas del reloj)
-
Coordenadas cartesianas (2D y 3D)
??? y base (2D)
componentes vectoriales de un vector (en 2D) -
Coordenadas polares: 2D $
(\rho,\varphi)$ y 3D $(\rho,\varphi, z)$
Saber posicionar un punto -
Coordenadas esféricas: 2D $
(\theta,\varphi)$ et 3D $(r,\theta,\varphi)$
diferencia con longitud, latitud, altura de coordenadas geográficas -
Proyección ortogonal (2D), en relación a las funciones seno y coseno y el producto escalar
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(XXX-YY) ...
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! Vecteurs et analyse vectorielle
(CME-FR)
-
Représentation intuitive géométrique des vecteurs (longueur, direction et sens)
ou alors dès le niveau 1? -
Addition et soustraction géométriques de vecteurs
ou alors dès le niveau 1? -
composantes d'un vecteur dans une base quelconque, orthogonale, orthonormée 2D
Dans une base euclidienne (2D):
-
produit scalaire de 2 vecteurs en relation avec l'opération de projection orthogonale sur un axe :
$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\lVert \overrightarrow{u} \rVert \cdot \lVert \overrightarrow{v} \rVert \cdot \cos\theta$ -
pour deux vecteurs unitaires et orthogonaux
$\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}=\delta_1^2$ -
pour deux vecteurs exprimés dans une base orthonormée
$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=u_x\,v_x+u_y\,v_y$ -
Norme d'un vecteur et expression dans un base orthonormée, en relation avec Pythagore
$`\lVert\overrightarrow{u}\rVert=\sqrt{u_x^2+u_y^2}=\sqrt{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}}$ -
Expression de l'angle en radian
$\theta=\dfrac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\lVert \overrightarrow{u} \rVert \cdot \lVert \overrightarrow{v}\rVert }$
! Étude de fonctions
-
Fonction réelle à une variable réelle $
f(x)$- Notion de dérivée en un point $
f'(x_o)$ en relation avec la notion de tangente. - Fonction dérivée $
f'(x)$
- Notion de dérivée en un point $
-
dérivée seconde dès ce niveau ? (méca, équilibre), ou alors seulement dans les parties "au-delà" ?
-
notion de primitive et d'intégrale simple dès ce niveau ?, ou alors seulement dans les parties "au-delà" ?
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(XXX-YY) ...
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! Équations
-
Équations du second degré : $
a\,x^2 + b\,x + c = 0$ -
Savoir poser en équations un problème qui relève du système d'équations
$\left\{\begin{array}{c} a_1\,x + b_1\,y = c_1 \\ a_2\,x + b_2\,y = c_2 \end{array}\right.$
et le résoudre (de façon non matricielle). -
Savoir poser en équations un problème qui relève du système d'équations
$\left\{\begin{array}{c} a_1\,x + b_1\,y + c_1\,z = d_1 \\ a_2\,x + b_2\,y + c_2\,z = d_2 \\ a_3\,x + b_3\,y + c_3\,z = d_3 \end{array}\right.$
et voir que la résolution (de façon non matricielle) est simple mais fastidieuse.
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