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$\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}$
$\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}$
Proposición 1
Definir las herramientas matemáticas necesarias para el nivel 4
Por ahora, solo una lista de necesidades en una primera clasificación para organizar un poco la lluvia de ideas (conjuntos y logica, geometría, etc.). No presagia títulos de capítulos.
No presagia el programa de matemáticas, pero permitirá de definir un programa de "herramientas matemáticas y conceptos físicos", que se construirá con los matemáticos.
Este tema "Herramientas matemáticas" será necesario, ya que será común a todos los temas de las ciencias experimentales. Cuando se utilizará una herramienta o concepto en el curso de un tema en particular, siempre será posible mostrar elementos de "Herramientas matemáticas" en modo paralelo.
No dude en crear una nueva clasificación si es necesario.
Las herramientas matemáticas de los niveles 1, 2 y 3 $+$ :
! *Numeración, operaciones y funciones comunes *
! *Conjuntos y lógica *
! *Geometrías y coordenadas *
(CME-FR)
- Coordenadas curvilíneas generalizadas, y
- coordenadas no ortogonales, no estandarizadas
- base natural (local) $
\overrightarrow{a_i}$ de un sistema de coordenadas $x^i$
$\overrightarrow{a_i}=\displaystyle\lim_{\delta x^i \rightarrow 0} \dfrac{\delta\overrightarrow{s}}{\delta x^i}$,
$\left(\overrightarrow{e_i}=\dfrac{\overrightarrow{a_i}}{\lVert \overrightarrow{a_i} \rVert}\right)$ - base dual $
\overrightarrow{a_i^{*}}=\overrightarrow{a^i}$- $
\longrightarrow$ Espacio de Fourier, cristalografía - $
\longrightarrow$ espacios no euclidianos ($\longrightarrow$ riemannianos $\longrightarrow$ los dos relatividades )
- $
- ccoordenadas contravariantes $
u^i$ y covariantes $u_i$ de un vector $\overrightarrow{u}=u^i\,\overrightarrow{a_i} =u_i\,\overrightarrow{a^i}$- $
\longrightarrow$ producto escalar $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=u^i\,v_j = u_i\,v^j$
- $
- nvariante local $
ds$, métrica local asociada con coordenadas
para terminar
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! Escalares-vectores-tensores; análisis vectorial y tensorial
(CME-FR)
Definición del operador vectorial Laplaciano
$\Delta\overrightarrow{E}=\overrightarrow{grad}(div\,\overrightarrow{E})-\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E})$
y expresión en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
- Tensores $
t$ de orden $n$ (se necesitan hasta el orden 4, para elasticidad y rigidez en mecánica), en un espacio euclidiano y en coordenadas cartesianas. Si $\overrightarrow{e_i} \overset{(a)}{\longrightarrow} \overrightarrow{e_j'}$ con $(a)$ matriz de transición entre dos bases cartesianas:- orden 1 : $
t'=\pm a_i\,t_i\quad$ ; $\quad(t')=(a)(t)$ (attention à la définition de (a) - orden 2 : $
t'=\pm a_i\,a_j\,t_{ij}\quad$ ; $\quad(t')=(a)(t)(a)^t$ (attention à la définition de (a) - orden 3 : $
t'=\pm a_i\,a_j\,a_k\,\,t_{ijk}$ - orden 4 : $
t'=\pm a_i\,a_j\,a_k\,a_l\,\,t_{ijkl}$
con signo $\pm$ según tensor polar o axial, y si (a) cambia el sentido de la base. (convenciones y escritura matemática por definir)
- orden 1 : $
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! Matrices
(CME-FR) Buen dominio, con ejercicios de automatización.
- Cálculo de una matriz inversa
- Diagonalización de una matriz cuadrada
- Cálculo de valores y vectores propias de una matriz cuadrada
- Traza de una matriz
- firma de una matriz
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! Ecuaciones diferenciales
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! Otros
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