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$\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}$
!!!! COURS EN CONSTRUCTION :
!!!! Non publié, non visible, NON VALIDÉ
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
! Thème :
! N3 : Magnétostatique / Application du théorème d'Ampère, forme intégrale et forme locale
! Guide pour établir les 3 parties : main, overview, beyond
!
! (suit le thème : Magnétostatique : Démonstration du théorème d'Ampère, forme intégrale et forme locale.)
Théorème d'Ampère : application
Que dit le théorème d'Ampère ?
Quand l'utiliser et quel intérêt ?
Le théorème d'Ampère permet un calcul simple de $\overrightarrow{B}$ créé dans tout l'espace lorsque la distribution spatiale de courant est hautement symétrique et invariante : les distributions usuelles sont un courant constant dans :
- un fil infini.
- un solénoïde infini.
- une nappe de courant.
- une bobine toroïdale.
Forme intégrale ou forme locale?
Intérêt et difficultés propres de la forme intégrale
-
Calcul du champ magnétique $
\overrightarrow{B}$ à partir de la distribution macroscopique des courants ( I ou $\overrightarrow{j}$) :
$\Longrightarrow$ toujours valable :
- même lors d'une modélisation 2D des courants (le profil du courant selon une direction spatiale est négligée (souvent une épaisseur).
- même lors d'une modélisation 1D des courants (le profil du courant selon deux directions spatiales est négligée (souvent une section).
$\Longrightarrow$ permet d'établir les relations de continuité de $\overrightarrow{B}$ à la traversée d'une densité surfacique de courant (2D) :
- discontinuité de la composante de $\overrightarrow{B}$ tangentielle à la surface.
- continuité de la composante de $\overrightarrow{B}$ perpendiculaire à la surface. -
Nécessite de bien visualiser dans l'espace la distribution de courant, pour choisir :
- le bon contour pour le calcul de la circulation de $\overrightarrow{B}$.
- la bonne surface associée pour le calcul flux de $\overrightarrow{j}$.
Intérêt et difficultés propres de la forme locale
-
Reproduit le profil de $
\overrightarrow{B}$ dans l'espace par intégration à partir des variations locale $\dfrac{\partial B_i}{\partial \alpha_j}$ en chaque point de l'espace, $\displaystyle\overrightarrow{B}=\sum_{i=1}^3 B_i\,\overrightarrow{e_{\alpha i}}$ étant exprimé dans un repère orthonormé $(\overrightarrow{e_{\alpha1}}, \overrightarrow{e_{\alpha2}},\overrightarrow{e_{\alpha3}})$
$\Longrightarrow$ chaque composante $B_i$ est connue à une constante d'intégration près.
$\Longrightarrow$ Il faut lever l'indétermination des constantes d'intégration par la connaissance de $\overrightarrow{B}$ en certains points grâce à des considérations de symétries (exemple $\overrightarrow{B}=0$) ou de continuité de $\overrightarrow{B}$ dans une modélisation 3D des courants. -
$
\Longrightarrow$ l'utilisation de la forme locale du théorème d'Ampère sera réservée à une modélisation 3D des courants.
Quelles sont les différentes étapes ?
Déterminer $\overrightarrow{B}$ en connaissant les courants.
Nous sommes en magnétostatique. Il faudrait préciser :
Déterminer $\overrightarrow{B}$ statique en connaissant les courants constants.
-
ETAPE 1 : Décrire mathématiquement la distribution spatiale de courants à l'origine du champ magnétique $
\overrightarrow{B}$, avec le vecteur densité volumique de courant $\overrightarrow{j}$ (modèle 3D).
Parfois simplifier le modèle représentatif :
- passage 3D vers 2D, en négligeant de façon justifiée une dimension spatiale, et en utilisant le vecteur densité surfacique de courant $\overrightarrow{j_S}$.
- passage de 3D vers 1D, en négligeant de façon justifiée deux dimensions spatiales, et en utilisant les éléments vectoriels de courant $I\cdot\overrightarrow{dl}$.
- autre : ...
Cette étape, indispensable dans le cadre d'un projet, est souvent déjà réalisée dans les énoncés d'exercices ou de problèmes de magnétostatique. -
Le théorème d'Ampère remplace un calcul direct qui serait très complexe, mais il exige pour cela d'obtenir des informations initiales sur le champ magnétique attendu.
Ces informations résultent des symétries et invariances de la distribution de courant.
$\Longrightarrow$ ETAPE 2 : Etude des symétries et invariances.
C'est une étape commune aux formes intégrale et locale du thèorème d'Ampère. -
ETAPE 3 : choix de la forme du théorème d'Ampère et énoncé mathématique.
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ETAPE 4 :
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ETAPE 5 :