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---title: Définir les outils mathématiques de niveau 3 : proposition 1published: trueroutable: truevisible: falselessons: - slug: define-234-mathematical-tools-p1 order: 2---
<!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->$`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$$`\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}`$
#### Proposition 1
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#### Définir les outils mathématiques requis au niveau 3
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avec une **première classification pour ordonner un peu** le brainstorming (numération, géométrie, etc).Elle *ne présage pas des titres de chapitres*.
N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire.
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Les *outils mathématiques de niveaux 1 et 2* **$`+`$** :
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NUMERATION, OPERATIONS ET FONCTIONS USUELLES------------------------------------------------------------------------------->! *Numération, opérations et fonction usuelles*
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
* nombre imaginaire **$`i`$** Ensemble des nombres imaginaires purs *$`\mathbb{I}`$* : **$`c=i\,b`$** Ensemble des nombres complexes $`\mathbb{C}`$ : **$`c=a+i\,b= |c|\,e^{\,i\,\theta}`$**, avec **$`|c|=\sqrt{a^2 + b^2}`$** et **$`\theta\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)`$** **$`c=a+i\,b= \mathcal{Re}(c)+i\,\mathcal{Im}(c)`$**
* fonction puissance $`y^x`$ * fonction exponentielle **$`e^x`$** Euler **$`e^{\,i\theta}=\cos\theta+ i\sin\theta`$** **$`\cos\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}+e^{\,-i\theta}}{2}`$** **$`\sin\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}-e^{\,-i\theta}}{2i}`$** <br> et fonctions hyperboliques **$`\cosh(x)=\dfrac{e^x-+e^{\,- x}}{2}`$** **$`\sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{\,- x}}{2}`$**
* **$`e^0=1 \quad , \quad`$****$`e^{\,i\frac{\pi}{2}}=i\quad , \quad`$****$`e^{\,i\pi}=-1\quad , \quad`$**, ...
* fonction logatithme **$`log_p\,x`$** propriétés fonction log, dont transformation produit en somme : **$`log_p\,xy`=log_p\,x+log_p\,y$** fonction logatithme **$`log_{10}\,x`$** en relation à la fonction puissance $`10^x`$ fonction logatithme népérien **$`Log\,x=ln\,x`$** en relation à la fonction puissance $`exp(x)=e^x`$
* notations réelle et notation complexe : **$`\overrightarrow{U}=U_0\,\cos(k\,x-\omega t+\varphi)\overrightarrow{e}`$** **$`\overrightarrow{\underline{U}}=U_0\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t+\varphi)}\overrightarrow{e}`$****$`\;=\underline{U_0}\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t)}\overrightarrow{e}`$** **$`\overrightarrow{U}=\mathcal{Re}(\overrightarrow{\underline{U}})`$**
RÉAGIR :... (XXX-YY)
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(XXX-YY) ...
RÉAGIR :... (XXX-YY)
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ENSEMBLES ET LOGIQUE------------------------------------------------------------------------------->! *Ensembles et logique*
à faire
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(XXX-YY) ...
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GÉOMÉTRIE ET COORDONNÉES------------------------------------------------------------------------------->! *Géométrie et coordonnées*
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
* Règle d'*orientation de l'espace* Systèmes de coordonnées, bases et repères *directs ou indirect*
* *Coordonnées, bases vectorielles et repères* associées bases et repères *orthogonaux, normés, orthonormés, directs et indirects*
* *Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques* * avec *repères et bases associés* * *éléments infinitésimaux* de longueur, de surface, de volume * expressions des *opérateurs* **$`\overrightarrow{grad}`$**, **$`div`$** et **$`\overrightarrow{rot}`$** * *matrice changement de base orthonormée directe* : * $`\overrightarrow{e_i}\longrightarrow \overrightarrow{e_j}'`$ : $`(a)`$ * $`\overrightarrow{e_j}'\longrightarrow \overrightarrow{e_i}'`$ : **$`(a')=(a)^t = (a)^{-1}`$**
RÉAGIR :... (XXX-YY)
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(XXX-YY) ...
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VECTEURS, OPERATEURS ET ANALYSE VECTORIELLE------------------------------------------------------------------------------->! *Vecteurs et opérateurs, analyse vectorielle*
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
*Dans une base euclidienne (3D)*:
* Produit scalaire **$`\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}`$** * Produit vectoriel **$`\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}`$** (notation $`\wedge`$ ou $`\times`$ )* Produit mixte **$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})`$**
* Opérateurs **$`\overrightarrow{grad}`$**, **$`div`$** et **$`\overrightarrow{rot}`$** (notation $`\overrightarrow{rot}`$ ou $`\overrightarrow{curl}`$ ) et notation avec nabla (coordonnées cartésiennes) : **$`\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y} \overrightarrow{e_y}\dfrac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{e_z}`$**
* Opérateurs Laplacien scalaire (coordonnées cartésiennes) **$`\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}`$** **$`\;=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}`$**
* Opérateur d'Alembertien scalaire (coordonnées cartésiennes)* **$`\Box=\Delta-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}`$** (pour les ondes)
* **$`\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}\,V)=0`$**, lien avec $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=0\quad\Longrightarrow\quad \exists V\;,\;\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\,V`$
* **$`div\,(\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{A}) =0`$**, lien avec $`div\,\overrightarrow{B}=0 \quad\Longrightarrow\quad \exists \overrightarrow{A}\;,\;\overrightarrow{B}=\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A}`$
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(XXX-YY) ...
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MATRICES------------------------------------------------------------------------------->! *Matrices*
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
* Matrices $`(n,m)`$ : **$`\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix}`$*** Somme de matrice **$`(n,m) + (n,m)`$*** Produit matriciel **$`(n,m)\cdot (m,p) dot`$*** Matrice transposée d'une matrice carrée* Calcul matriciel* Déterminant d'une matrice carrée : **$`\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}`$**
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FONCTIONS - CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL------------------------------------------------------------------------------->! *Fonctions - Calcul différentiel et intégral*
(CME-FR)
* Passage de la notation $`f'(x_0)`$ à **$`\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x_0}`$** Passage de la notation $`f'(x)`$ à **$`\dfrac{df}{dx}`$** ... de $`f^{(n)}(x_0)`$ à **$`\left.\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}\right|_{x_0}`$** de $`f^{(n)}(x)`$ à **$`\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}`$**
* fonction dérivée et fonction primitive.
* intégrale simple * indéfinie **$`\displaystyle\int f(x)\,dx`$** * définie **$`\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx`$**
* intégrale multiple (variables indépendantes) * **$`\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy`$** * **$`\displaystyle\iiint f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz`$**
* différence entre : * **$`\displaystyle\int f(x)\,dx`$** et **$`\oint f(x)\,dx`$** * **$`\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy`$** et **$`\oiint f(x,y)\,dx\,dy`$**
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ÉQUATIONS------------------------------------------------------------------------------->! *Équations*
(CME-FR)
* *Résolution de systèmes d'équations linéaires* par la *méthode du déterminant*.
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ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES------------------------------------------------------------------------------->! *Équations différentielles*
* équations différentielles linéaires d'ordre 1 ( pour concept de constante de temps,charge décharge condensateur) * par exemple : $`x(t)`$ est une fonction du temps**$`a\cdot\dfrac{dx}{dt}+b x=0`$** (la ou les notations utilisées ne sont pas définies ici) * puis avec second membre sinusoïdal **$`a\cdot\dfrac{dx}{dt}+b x=c`$**
* équations différentielles linéaires d'ordre 2 (pour étude des oscillateurs mécaniques ou électriques) * par exemple : $`x(t)`$ est une fonction du temps **$`a\cdot\dfrac{d^2 x}{dt^2}+b\cdot\dfrac{dx}{dt}+b\cdot x=0`$** (la ou les notations utilisées ne sont pas définies ici) * puis avec second membre sinusoïdal **$`a\cdot\dfrac{d^2 x}{dt^2}+b\cdot\dfrac{dx}{dt}+b\cdot x=d \cdot\cos(\omega t)`$**
* équation d'onde **$`\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\dfrac{1}{v}\cdot\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}`$**
* Système d'ordre 1 et de dimension 2 (une première approche dynamique des populations ou un cours transverse sur les systèmes) * **$`\left\{\begin{array} \dfrac{dx}{dt}=f(x,y)\\ \dfrac{dy}{dt}=g(x,y) \end{array}\right.`$** avec par exemple le modèle proies prédateurs de Lotka-Volterra : $`f(x,y)= a\cdot x -b\cdot xy`$ et $`f(x,y)= - c\cdot x +d\cdot xy`$ (à ce niveau 3?)
* **savoir mettre sous forme d'un système d'équations différentielles** une situation, même si *on ne le résoud pas*.
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AUTRES------------------------------------------------------------------------------->! *Autres*
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