courses/00.brainstorming-pedagogica.../40.collection-existing-peda.../10.mathematical-tools/10.vector-analysis/textbook.es.md

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title : Collection disparate d'éléments de cours (étape 1) : vocabulaire et équations
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!!!! *ATTENTION* :
!!!! Ce contenu n'est pas un cours validé !
!!!! Page non répertoriée

### IMPORTANTE / IMPORTANT

[ES] Por favor, *debes agregar* lo que haces en tu universidad, si no está en la lista. 
Comience cada nuevo "elemento del curso" con VA + número. Los números normalmente van
del 10 al 10. Esta notación permite insertar (21, 22, ...) elementos entre los ya 
existentes, para una progresión más lógica de los elementos.
Para lo que está escrito en su idioma nativo, *debes borrar y volver a escribir* si
usas otras palabras u otras explicaciones. Complete sus ecuaciones habituales 
si son diferentes de las ya escritas. Escriba sus comentarios entre <!-- y --> <br>
ejemplo: <!-- esto es un comentario -->
<! - this is a comment ->

[FR] *Il faut rajouter* ce que vous faites dans votre université, si ce n'est pas dans la liste. 
Commencer chaque nouvel "élément de cours" par VA+nombre. Les numéros vont normalement de 10 en 10.
Cette notation permet d'intercaler (21, 22, ...) des éléments entre ceux déjà existants,
pour une progression plus logique des éléments.
Pour ce qui est écrit dans votre langue natale, *il faut effacer et écrire de nouveau*
si vous utilisez d'autres mots ou d'autres expliactions. Compléter vos équations usuelles 
si elles sont différentes de celles déjà écrite. Ecrivez vos commentaire entre <!-- et --> <br>
exemple : <!-- ceci est un commentaire -->

[EN] *You must add* what you do in your university, if it is not in the list. Begin each 
new "course element" with VA + number. The numbers normally go from 10 to 10. This notation
allows to insert (21, 22, ...) elements between those already existing, for a more logical
progression of the elements.For what is written 
in your native language, *you must erase and rewrite* if you use other words or other explanations.
 Complete your usual equations if they are different from those already written. 
 Write your comments between <!-- et --> <br>
example: <!-- this is a comment -->

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"\<br>" impone un salto a la linea siguente.<br>
"\<br>" impose un retour à la ligne.<br>
"\<br>" impose a line break.

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[ES] Esta es una oportunidad, si lo deseamos, para estandarizar nuestros notación y vocabulario,<br> 
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102<br>
o para indicar en el texto la equivalencia con la norma internacional si
queremos mantener nuestras notaciones y vocabularios. Ejemplo :

[FR] C'est l'occasion, si nous le souhaitons, de normaliser notre notation et vocabulaire, <br>
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102<br>
ou d'indiquer dans le texte l'équivalence avec la norme internationale si
on souhaite garder nos notations et vocabulaires. Exemple :

[EN] This is an opportunity, if we wish, to standardize our notation and vocabulary, <br>
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102<br>
or to indicate in the text the equivalence with the international standard 
if we wish to keep our notations and terms. Example :

"élément scalaire de surface $`dA`$" au lieu de "surface élémentaire ou infinitésimale $`dS`$".

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[ES] La oportunidad también de que un matemático verifique la conformidad de expresiones
matemáticas lógicas. Ejemplo :

[FR] L'occasion aussi de faire vérifier par un mathématicien la conformité des expressions
mathématiques logiques. Exemple :

[EN] The opportunity also to have a mathematician verify the conformity of logical
mathematical expressions. Example :

$`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2`$$`\quad
\overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}`$

https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11

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## Colección de elementos del curso: conceptos, vocabulario y ecuaciones / Collection d'éléments de cours : Concepts, vocabulaire et équations / Collection of Course Elements: Concepts, Vocabulary and Equations


### Vectores, análisis vectorial / Vecteurs, analyse vectorielle / Vectors, vector analysis

(http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04)

##### VA10.Vectores en el espacio euclidiano / Vecteurs dans un espace euclidien / Vectors in Euclidean Space

[ES] 3 caracteristicas : norma, dirección y sentido ? 

[FR] 3 caractéristiques : norme, direction et sens 

[EN] 2 characteritics :  magnitude (or length) and direction.

ATENCIÓN / ATTENTION / BE CAREFUL :

[ES] matemáticamente, la palabra "dirección / direction / direction" no tiene el mismo significado en francés y español, y en inglés.

[FR] mathématiquement, le mot dirección / direction / direction" n'a pas le même sens en français et espagnol, et en anglais.

[EN] mathematically, the word "dirección / direction / direction" does not have the same meaning in French and Spanish, and in English.

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##### VA20 Significado de los vectores en mecánica / Signification des vecteurs en mécanique / Meaning of vectors in mechanics.

[ES] Los *vectores* pueden representar *diferentes cantidades físicas*. <br>
_ejemplo: vector de velocidad del punto M, y la fuerza que se aplica al punto M._

[FR] Les *vecteurs* peuvent représenter des *grandeurs physiques différentes*.<br>
_exemple : vecteur vitesse du point M, et la force qui s’applique sur le point M._

[EN] The *vectors* can represent *different physical quantities*. <br>
_example: velocity vector of point M, and the force that applies to point M._

[ES] Las *normas* de vectores correspondientes a diferentes cantidades físicas _(ejemplo: 
velocidad y fuerza)_ se expresan en *diferentes unidades* _(respectivamente: $`ms^{-1}`$ y $`N`$)_. 
Ellos *no se pueden comparar*.

[FR] Les *normes* de vecteurs correspondant à des grandeurs physiques différentes _(exemple :
vitesse et force)_ s’expriment dans des **unités différentes** _(respectivement : $`m.s^{-1}`$  
et  $`N`$)_. Elles *ne peuvent pas être comparées*.

[EN] The *magnitudes* of vectors corresponding to different physical quantities _(example: speed
and force)_ are expressed in *different units* _(respectively: $`ms^{-1}`$ and $`N`$)_. 
They *cannot be compared*.

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##### VA30 Vectores colineales y no colineales / Vecteurs colinéaires et non colinéaires / Collinear and non-collinear vectors

[ES] Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si tienen *igual dirección*.

[FR] Deux *vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$* sont **colinéaires** s’ils ont la *même direction* :

[EN] Two **vectors $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** are **collinear** if they lie on the *same line or parallel lines* :

<br>Il existe alors un nombre réel $`\alpha`$ tel que l’on peut écrire $`\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$<br>
" $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont colinéaires" $`\Longleftrightarrow \exists \alpha\in\mathbb{R}\quad\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$


[ES]  Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si non tienen *igual dirección*.

[FR] Deux **vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** sont **non colinéaires** s’ils ont des *directions différentes*.

[EN] Two **vectors $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** are **non collinear** if they lie on *non parallel lines* :

<br>Pour tout nombre réel $`\alpha`$ on peut écrire $`\overrightarrow{A} \ne \alpha\cdot\overrightarrow{B}`$.<br>
"$`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont non colinéaires" $`\Longleftrightarrow \forall\; \alpha\in\mathbb{R}`$$`\quad\overrightarrow{A} \ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
                                   
Fig "mechanics-vectors-collinear.png" ready for use.

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##### VA40 suma y resta de vectores / addition et soustraction de vecteurs / addition and subtraction of vectors

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##### VA50 multiplicación de un vector por un escalar / multiplication d'un vecteur par un scalaire / multiplication of a vector by a scalar

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#### VA60 vectores libres, vecores fijos / vecteurs libres, vecteurs liés / ...

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#### VA70Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space

##### VA70-1 en un plano $`\mathcal{P}`$ / dans un plan $`\mathcal{P}`$ / in a plane $`\mathcal{P}`$

Definición / Définition :

[ES] **2 vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ pertenecientes a un plano $`\mathcal{P}`$, no nulos, no colineales y ordonados**
en una secuencia $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forman una *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de este plano.

[FR] **2 vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ appartenant à un plan $`\mathcal{P}`$, non nuls, non colinéaires et ordonnés** 
dans une suite $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$  forment une *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de ce plan.

[EN] ...

Propiedad / Propriété :

[ES] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ es una base de un plano $`\mathcal{P}`$, entonces cualquier *vector $`\vec{V}`$* de 
$`\mathcal{P}`$ se descompone *de forma única* en una **combinación lineal** *de los vectores de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.

[FR] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ est une base d'un plan $`\mathcal{P}`$, alors tout *vecteur $`\vec{V}`$* de $`\mathcal{P}`$
se décompose de *façon unique* en une **combinaison linéaire** *des vecteurs de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.

[EN] ...

Escritura matemática / Écriture mathématique :

[ES] 

[FR]"$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})`$ est une base de $`\mathcal{P}`$"
$`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2`$$`\quad
\overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}`$

[EN]

Fig "mechanics-vector-base-plane_L1200.gif" ready for use.

##### VA70-2 en un espacio vectorial $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ / dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$ / in a vector space $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$

 
##### VA75

[ES] En matemáticas, una **secuencia** es un *conjunto ordenado de elementos*, llamados sus "términos".
y que están *indexados por números naturales*.

[FR] En mathématiques, une **suite** est un *ensemble ordonné d'éléments*, appelés ses "termes" 
et qui sont *indexées par les entiers naturels*.(le terme "n-uplet" n'est pas bon ...)

[EN] In mathematics, a **sequence** is an *ordered set of elements*, called its "terms"
and which are *indexed by natural numbers*.

##### VA80

[ES] *$`n`$ vectores ordenados* en una secuencia $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forman 
una **base de un espacio vectorial** $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ si *cualquier vector* de este 
espacio se descompone de *manera única en una combinación lineal* de los vectores $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.

[FR] *$`n`$ vecteurs ordonnés* dans une suite $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forment
une **base d'un espace vectoriel** $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$, si *tout vecteur* $`\vec{V}`$
de cet espace $`\mathcal{E}`$ se décompose de *façon unique* en une *combinaison linéaire* des vecteurs  
$`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.

[EN] *$`n`$ ordered vectors* in a sequence $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ form a 
**basis of a vector space** $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$ if *any vector* of this space decomposes in 
*a unique way* into a *linear combination* of the vectors $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.

[ES]

[FR]"$`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ est une base de $`\mathcal{E}`$"$`
\quad\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{E}`$$`\quad\exists ! (\alpha_1,\alpha_1,...;\alpha_1)\in\mathbb{R}^n`$$`\quad
\overrightarrow{V}=\alpha_1\cdot\overrightarrow{a_1}+\alpha_2\cdot\overrightarrow{a_2}+...+\alpha_n\cdot\overrightarrow{a_n}`$

[EN]

##### VA90

[ES] Para cualquier base denotamos los vectores base $`\vec{a_i}`$.
(ejemplo : vectores de la base convencionale (no ortonormales) de un cristal en física
del estado sólido/estructura de materiales) :<br>
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br>
Reservamos la notación $`\vec{e_i}`$ para las bases normales y ortonormales:<br>
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.

[FR] Pour un base quelconque nous notons les vecteurs de base $`\vec{a_i}`$.
(exemple des vecteurs de base conventionnelle (non orthonormée) d'un cristal,
en physique du solide/structure des matériaux) :<br>
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br>
Nous réservons la notation $`\vec{e_i}`$ pour les vecteurs des bases normées et orthonormée :<br>
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.

[EN] For any base we denote the base vectors $`\vec{a_i}`$.
(example of the conventional base (not orthonormal) of a crystal, in solid state
physics/structure of materials) :<br>
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br>
We reserve the notation $`\vec{e_i}`$ for vectors of normal and  orthonormal bases :<br>
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.


<!----------------------------------------------------------------
#### Sistemas de coordenadas / Systèmes de coordonnées - Repère de l’espace / Coordinate systems

IMPORTANTE / IMPORTANT

[ES] No veo en español o inglés la distinción entre "sistema de coordenadas" y
lo que llamamos en Francia el "repère" asociado. ¿Me equivoco? Si esta diferencia 
existe entre los tres idiomas, será importante explicarla en el curso.<br>
Definir un "repère" me parece importante para hacer la distinción entre
"repère" y marco de referencia...<br>
[FR] Je ne vois pas en espagnol ou en anglais la distinction entre "système de coordonnées" et
le repère associés. Je me trompe ? Si cette différence existent entre les trois langues,
l'expliciter dans le cours sera important.<br>
Définir la notion de repère me parait important pour faire la différence entre repère
et référentiel...
[EN] I don't see in Spanish or English the distinction between "coordinate system" and
what we call in France the associated "repère". I am wrong? f this difference exists
between the three languages, explaining it in the course will be important.<br>
To define a "repère" seems to me important to me to make the distinction between
"repère" and reference frame...


* [ES] En mecánica clásica (no relativista), *el tiempo y el espacio no* están *acoplados*.<br>
[FR] En mécanique classique (non relativiste) , *temps et espace* ne sont *pas couplés*.<br>
[EN] In classical mechanics (not relativistic), *time and space* are *not coupled*.


* [ES] *En el espacio*, la *posición de un punto M* se identifica a partir de un **punto O origen** del
espacio por el **vector $`\overrightarrow{OM}`$**.<br>
[FR] *Dans l’espace*, la *position d’un point M* est repérée à partir d’un **point O origine** de
l’espace par le **vecteur $`\overrightarrow{OM}`$**.<br>
[EN] *In space*, the *position of a point M* is marked from a **point origin O** of
the space by the **vector $`\overrightarrow{OM}`$**.<br>

* [ES] El *espacio clásico* de Newton tiene **3 dimensiones**. Esto significa que, desde el origen O del espacio,
la posición de cualquier punto M se puede definir de forma única mediante 
**3 números reales $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )`$**, llamados **coordenadas** (o coordenadas espaciales) 
del punto M. Escribimos $`M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.<br>
[FR] L’*espace classique de Newton* a **3 dimensions**. Cela signifie que, à partir de l’origine O de l’espace,
la position de tout point M peut-être définie de façon unique par **3 nombres réels $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )`$**
, appelés **coordonnées** (ou coordonnées spatiales) du point M. On écrit $`M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.<br>
[EN] The Newton's *classical space* has **3 dimensions**. This means that, from the origin O of space,
the position of any point M can be uniquely defined by **3 real numbers $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )`$**,
called **coordinates** (or spatial coordinates) of point M. We write $`M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.

* [ES] Si no nos referimos a un punto particular en el espacio, sino a un cualquier punto
que puede estar en cualquier lugar del espacio, entonces sus coordenadas son
variables reales, y simplemente escribimos $`M=M(\alpha, \beta, \gamma)`$.<br>
[FR] Si nous ne faisons pas référence à un point particulier de l'espace, mais à un point
quelconque pouvant se situer n'importe où dans l'espace, alors ses coordonnées sont des
variables réelles, et nous écrivons simplement $`M=M(\alpha, \beta, \gamma)`$.<br>
[EN] If we are not referring to a particular point in space, but to any point that can
be located anywhere in space, then its coordinates are real variables, and we simply write
$`M=M(\alpha, \beta, \gamma)`$.


* [ES] Hay *varias formas posibles de definir unas coordenadas espaciales*: Hablamos de 
** sistemas de coordenadas**.<br>
[FR] ]Il y a *plusieurs façons possible de définir des coordonnées spatiales* : On parle de
**systèmes de coordonnées**.<br>
[EN] There are *several possible ways to define spatial coordinates*: We speak of 
**coordinate systems**.

* [ES] Se definen caracteres alfanuméricos específicos para los sistemas de coordenadas comunes:<br>
\- *coordenades cartesianas* : **$`(x, y, z)`$ or $`(O, x_1, x_2, x_3)`$**<br>
\- *coordenades cilindricas* https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 :
**$`(\rho, \phi, z)`$** (o $`(r, \phi, z)`$ si hay una ambigüedad con $`\rho`$, 
por ejemplo si $`\rho`$ se usa para la densidad densidad de carga eléctrica).<br>
\- *coordenades esfèriques* : **$`(r, \theta, \phi)`$**<br>
[FR] Des caractères alphanumériques spécifiques sont définis pour les systèmes de coordonnées 
usuels :<br>
\- *cartésiennes* : **$`(x, y, z)`$ or $`(O, x_1, x_2, x_3)`$**<br>
\- *cylindriques* https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 :
**$`(\rho, \phi, z)`$** (ou $`(r, \phi, z)`$  si il y a une ambiguïté avec $`\rho`$, 
par exemple si $`\rho`$ est utilisé pour la charge (électrique) volumique).<br>
\- *sphériques* : **$`(r, \theta, \phi)`$**<br>
[EN] Specific alphanumeric characters are defined for some widely used coordinate systems :<br>
\- *cartesian* : **$`(x, y, z)`$ or $`(O, x_1, x_2, x_3)`$**<br>
\- *cylindrical* https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 :
**$`(\rho, \phi, z)`$** (or $`(r, \phi, z)`$ if there is an ambiguity with $`\rho`$, 
for example if $`\rho`$ is used for (electric) charge density).<br>
\- *spherical* : **$`(r, \theta, \phi)`$**<br>
<br>Par exemple à l'INSA au GP, on utilise $`(r, \theta, z)`$ et  $`(r, \theta, \phi)`$, ce qui
fait que l'angle $`\theta`$ en coordonnées cylindriques est définit comme l'angle $`\phi`$
en sphériques. C'est l'occasion de changer cela pour nous conformer aux normes, et pour redonner
de la simplicité dans l'apprentissage des systèmes de coordonnées.
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#### Características de una base / Caractéristiques d’une base et d’un repère / Characteristics of a base

##### VA100 Base y ??? normales / Base et repère normés / Normal base and ????

[ES] Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$

[FR] Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ et repère normé  $`(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$

[EN] Normal base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$

[ES] Los vectores de una **base normal** son *vectores de norma uno* : vectores unitarios.

[FR] Les vecteurs d'une **base normée** et d'un repère normé sont des *vecteurs de norme unité* : vecteurs unitaires.

[EN] The vectors of a **normal base** ???? (I am not sure at all here...) are *vectors with a magnitude 1* (1 in the unit system).

$`||\overrightarrow{a}||=1\; ; \;||\overrightarrow{b}||=1\; ; \;||\overrightarrow{c}||=1`$ .

##### VA110 Base and ??? ortogonales / Base et repère orthogonaux / Orthogonal base and ???

[ES] Base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ y ???  $`(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ 

[FR] Base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ et repère  $`(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})`$

[EN] Base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ and ???  $`(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ 

[ES] Los vectores de una **base ortongonale** son *vectores perpendiculares dos a dos*.

[FR] Les vecteurs d'une **base** ou d'un **repère orthogonal** sont des *vecteurs orthogonaux 2 à 2*.

[EN] The vectors of the **orthogonal base** are *orthogonal 2 to 2 vectors*

$`\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\; ; \;\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}\; ; \;\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}`$.

##### VA120 Base y ??? ortonormales / base et repère orthonormés / ???

[ES] Base orthonormal $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / ??? $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$

[FR] Base orthonormée $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / repère orthonormé $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$

[EN] ??? $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / ??? $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$

[ES]

[FR] orthonormé = **ortho**+*normé* :<br>
\- ortho : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \vec{e_i}\perp\vec{e_j}`$.<br>
\- normé : $`\forall \vec{e_i} \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\} \quad ||\vec{e_i}||=1`$.

[EN]

[ES]

[FR] orthonormé : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \overrightarrow{e_i}\cdot\overrightarrow{e_j}=\delta_{i\,j}`$<br>
avec le **symbole e Kronecker $`\delta_{i\,j}`$** défini par :<br>
$`\delta_{i\,j}=1`$ si $`i=j\quad`$ et $`\quad\delta_{i\,j}=0`$ si $`i \ne j`$.

[EN]


#### VA130 Regla de la mano derecha  / règle de la main droite / right-hand rule 

[ES] Dos vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ distintos de cero, unitarios y ortogonales, forman
una base ortonormal $`(\vec{a},\vec{b})`$ de un plano en el espacio.

[FR] ]Deux vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ non nuls, unitaires et orthogonaux forment
une base orthonormée $`(\vec{a},\vec{b})`$  d'un plan dans l'espace.

[FR]
 

[ES] Esta base $`(\vec{a},\vec{b})`$ se puede completar con un tercer vector $`\ve{c}`$, unitario
 y perpendicular a $`\vec{a}`$ y a $`\vec{b}`$, para formar una base ortonormal
$`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ del espacio.

[FR] Cette base $`(\vec{a},\vec{b})`$ peut être complétée par un troisième vecteur $`\vec{c}`$, unitaire 
 et perpendiculaire à $`\vec{a}`$  et à $`\vec{b}`$, pour former une base orthonormée 
$`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ de l'espace.

[EN]

[ES] Este tercer vector $`\vec{c}`$ perpendicular a los vectores $`\vec{a}`$ y
  $`\vec{b}`$ tiene **una dirección**, la 
línea recta normal (perpendicular) al plano $`\mathcal{P}`$, pero hay **dos sentidos posibles** 
para este vector $`\vec{c}`$.<br>
Estos dos posibles sentidos se distinguen por una *regla de orientación del espacío*: la
**regla de los 3 dedos de la mano derecha**.

[FR] Ce troisième vecteur $`\vec{c}`$ perpendiculaire à la fois aux vecteurs  $`\vec{a}`$  et
 $`\vec{b}`$ possède **une direction**, la *droite normale (perpendiculaire)  au plan
 $`\mathcal{P}`$, mais il y a **deux sens possibles** pour ce vecteur $`\vec{c}`$.<br>
Ces deux sens possibles sont distingués par une *règle d’orientation de l’espace* : 
la **règle des 3 doigts de la main droite**.

[EN]

Fig "physics-mechanics-space-orientation-right-hand-rule-direction_L1200_horiz_vert.jpg" ready for use.


#### VA140 Repère orthonormé direct / indirect 

---------

####  VA200 Producto escalar de dos vectores, y norma de un vector / Produit scalaire de 2 vecteurs, et norme d’un vecteur /


##### VA200-1 valable dans une base $`(\vec{a},\vec{b})`$ quelconque d'un plan $`\mathcal{P}`$

$`\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})`$

$`\Longrightarrow`$ commutativité : 
$`\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})\in\mathcal{P}^2\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{U}`$

$`\Longrightarrow`$ associativité : 
$`\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})\in\mathcal{P}^3`$
$`\quad\overrightarrow{U}\cdot(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{W}`$

$`\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{U}=U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b}`$<br>
$`\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{V}=V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b}`$<br>
$`\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=(U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b})\cdot (V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b})`$<br>
$` = U_a\,V_a\,(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a})+U_a\,V_b\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})`$
$`+U_b\,V_a\,(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})+U_b\,V_b\,(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b})`$<br>
$`= U_a\,V_a\,\overrightarrow{a}^2 + U_b\,V_b\,\overrightarrow{b}^2 + (U_a\,V_a+U_b\,V_a)\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})`$

##### VA210 Norma de un vector / norme d'un vecteur / vector magnitude

[EN] magnitude = length

$`||\overrightarrow{U}||=\sqrt{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}}=\overrightarrow{U}^{\frac{1}{2}}`$

##### VA220 Vector unitario / Vecteur unitaire / Unit vector

$`\overrightarrow{U}`$ est unitaire $`\quad\Longleftrightarrow\quad ||\overrightarrow{U}||=1`$

##### VA230 Producto escalar de dos vectores colineales / Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires / Scalar product of 2 collinear vectors

[EN] scalar product = dot product

$`\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{V}`$ sont colinéaires
$`\quad\Longleftrightarrow\quad (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{0,\pi\}`$
$`\quad\Longleftrightarrow\quad cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{-1,+1\}`$

$`\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{V}`$ sont colinéaires 
$`\;\Longrightarrow\left|\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=+\;||\overrightarrow{U}||\cdot
||\overrightarrow{V}||\;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=0 
\\ \,
\\
 \overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=-\;||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||
 \;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=\pi\end{array}\right.`$ 
 

##### VA240 Producto escalar de dos vectores ortogonales / Produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux / Scalar product of two orthogonal vectors

$`\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad, \forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$
$`\overrightarrow{U}\perp\overrightarrow{V}\Longleftrightarrow\widehat{\overrightarrow{U},
\overrightarrow{V}}=\dfrac{\pi}{2}\Longleftrightarrow cos(\widehat{\overrightarrow{U},
\overrightarrow{V}})=0`$**$`\Longrightarrow\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=0`$**.

##### VA250 Producto escalar de dos vectores en una base ortonormal del espacio / Prduit scalaire de deux vecteurs 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Scalar product of 2 vectors in an orthonormal basis

"$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée.
$`\quad\Longrightarrow`$
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ 
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$  
**$`\displaystyle\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + ... + U_n\,V_n = \sum_{i=1}^n\;U_i\,V_i`$**


##### VA260 Cálculo del ángulo entre 2 vectores en una base ortonormal del espacio / Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Calculation of the angle between 2 vectors in an orthonormal basis

Plano euclidiano / plan euclidien / euclidian space : $`n=3`$ :

$`\left.\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot 
cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}) \\
\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3\end{array}\right|`$
$`\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=\dfrac{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}}
{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}`$
$`\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=\dfrac{U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3}
{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}`$
**$`\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}= arcos\left(\dfrac{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}}
{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}\right)`$**
**$`\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}= arcos\left(\dfrac{U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3}
{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}\right)`$**

[ES] El ángulo se da en valor no algebraico y se expresa en radianes:

[FR] L'angle est donné en valeur non algébrique et exprimé en radian :

[ES] The angle is given in non-algebraic value and expressed in radians:

$`\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\quad`$ (rad).

----------------------------

#### VA270 Producto vectorial de 2 vectores / Produit vectoriel de 2 vecteurs / Vector product of 2 vectors

Selon http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-36,
il faudrait mieux utiliser en France la notation $`\vec{U}\times\vec{V}`$ plutôt
que $`\vec{U}\land\vec{V}`$.
On le fait pour le cours en français, ou alors on garde notre notation en expliquant
notre différence avec la notation anglosaxonne ?
L'étudiant, dans le mode échange, verra le même cours en parallèle dans 2 langues, et donc verra
les différences d'écriture mathémétiques.

----------------------------

##### VA280 Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.

[ES]  

[FR] Le produit vectoriel de deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$ non nuls et non 
colinéaires de l'espace, noté $`\vec{U}\land\vec{V}`$ est un vecteur $`\vec{W}`$ :<br>
\- de norme $`||\overrightarrow{W}||=||\overrightarrow{U}|\cdot||\overrightarrow{V}|\cdot sin(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})`$<br>
(l'angle est donné en valeur non algébrique et exprimé en radian : $`\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\;`$ (rad) ).<br>
\- de direction perpendiculaire au plan définit par les deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$
: $`\overrightarrow{W}\perp\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{W}\perp\overrightarrow{V}`$<br>
\- de sens donné par la règle de la main droite : si le sens du premier vecteur $`\vec{U}`$ 
est indiqué par le pouce, le sens du deuxième vecteur $`\vec{V}`$ par l'index, alors le sens du
produit vectoriel $`\vec{W}=\vec{U}\land\vec{V}`$ est donné par le majeur.

[EN] 

[ES]   

[FR] La norme $`||\vec{U}\land\vec{V}||`$ du produit vectoriel de deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$ a pour valeur numérique
l'aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$.

[EN]     .

[ES]  

[FR] On note que, du fait de l'utilisation une fois (ou d'un nombre impair de fois) d'une (même) règle d'orientation 
de l'espace dans sa définition, le produit vectoriel est anti-commutatif :<br>
$`\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}=\,-\,\overrightarrow{V}\land\overrightarrow{U}`$.

[EN]

[ES]  

[FR] Le produit vectoriel est distributif par rapport à l'addition de deux vecteurs :<br>
$`\overrightarrow{U}\land\,(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})=
\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{W}`$.

[EN]

<!--
##### En relation avec les symétries ...

Le produit scalaire de deux vecteurs vraies (ou polaires) est un vecteur axial (ou pseudo vecteur)...

##### Pour un chemin sur les 4 niveaux ...

Scalaire = tenseur de rang 0, vecteur = tenseur de rang 1, tenseurs de rang 2, 3, 4 ...
tenseur polaires et tenseurs axiaux ...

Physique classique :<br>
grandeurs physique : rang 0 polaire : température,...
grandeurs physique : rang 1 polaire : position, vitesse, accélération, force, champ électrique...<br>
grandeurs physique : rang 1 axial : moment d'un force, vitesse angulaire, champ magnétique...<br>
grandeurs physique : rang 2 polaire : contrainte, déformation, ...<br>
propriété physique : rang 1 polaire : effet pyroélectrique,  ...<br>
propriété physique : rang 2 polaire : dilatation themique, ...<br>
propriété physique : rang 3 polaire : effet piézoélectrique, ...<br>
propriété physique : rang 4 polaire : élasticité, rigidité, ...<br>
Physique relativiste :<br>
tenseur de courbure, tenseur énergie-impulsion, ...
-->


##### VA300 Componentes de un producto vectorial en base ortonormal / Composantes d'un produit vectoriel dans une base orthonormée / Components of a vector product in an orthonormal basis

$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ 
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$  

[FR] For the expression of a vector $`\vec{U}`$ in the base $`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$,
we shouldn't we use (http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04) : <br>
$`\overrightarrow{U}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$ 
instead of $`\overrightarrow{U}=\left|\begin{array}{l}U_1\\U_2\\U_3\end{array}\right.`$ as we do at INSA ?

[ES] ... 

[FR] méthode des produits en croix :

[EN] ...

$`\forall\overrightarrow{U}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$
$`\quad\forall\overrightarrow{V}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$
$`\quad\vec{U}\land\vec{V}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}\land\begin{pmatrix}V_1\\V_2\\V_3\end{pmatrix}`$
$`=\begin{pmatrix}U_2 V_3 - U_3 V_2\\U_3 V_1 - U_1 V_3\\U_1 V_2 - U_2 V_1\end{pmatrix}`$
$`=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrightarrow{e_2}`$
$`-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}`$


[ES]  

[FR] 

[EN] method similar to the sum used to obtain the determinant of a matrix :<br>
<br>$`\vec{U}\land\vec{V}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_1}&\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3}\\
U_1 & U_2 & U_3\\V_1 & V_2 & V_3\end{vmatrix}`$
$`=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrightarrow{e_2}`$
$`-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}`$


#### VA310 Producto mixto de 2 vectores / Produit mixte de 3 vecteurs / Scalar triple product of 3 vectors

[ES] Producto triple escala = producto mixto.

[FR] Produit mixte.

[EN] Scalar triple product = triple product.

[ES] :

[FR] Le produit mixte de 3 vecteurs ordonnés $`\vec{U}`$, $`\vec{V}`$ et $`\vec{W}`$, 
noté $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ est le scalaire (pseudo-scalaire) défini par :<br>

[EN] :

$`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot (\overrightarrow{V}\land\overrightarrow{W})`$

Propiedades / Prppriétés / Properties :

$`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})
=(\overrightarrow{V},\overrightarrow{W},\overrightarrow{U})
=(\overrightarrow{W},\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})`$

$`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})
=-\,(\overrightarrow{V},\overrightarrow{U},\overrightarrow{W})
=-(\overrightarrow{U},\overrightarrow{W},\overrightarrow{V})
=-(\overrightarrow{W},\overrightarrow{V},\overrightarrow{U})`$

##### VA310-1 Componentes de un producto mixto en base ortonormal / Composantes d'un produit mixte dans une base orthonormée / Components of a triple product in an orthonormal basis

$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ 
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$  
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{W}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{W}=\sum_{i=1}^n\;VW_i\cdot\vec{e_i}`$  

[ES] :

[FR] Le produit mixte $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ se calcule comme le déterminant 
de la matrice formée par les coordonnées ordonnées en ligne des trois vecteurs 
$`\vec{U}`$, $`\vec{V}`$ et $`\vec{W}`$ ordonnés en colonne :

[EN] :

$`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})=\begin{vmatrix} U_1 & U_2 & U_3\\
V_1 & V_2 & V_3\\W_1 & W_2 & W_3\end{vmatrix}`$
$`=U_3 V_1 W_2 + U_1 V_2 W_3 + U_2 V_3 W_1 - U_2 V_1 W_3 - U_3 V_2 W_1 - U_1 V_3 W_2`$


##### VA310-2 Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.

[ES] 

[FR] Le module du produit mixte de trois vecteurs $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ 
donne le volume du parallélépipède construit à partir des trois vecteurs appliqués en un même point de l'espace.

[EN]

Figure à créer.

<!--------------------

#### Différentielle d'un vecteur

Por INSA / pour l'INSA / for INSA :

![](vector-differential_PolyINSA.png)

Consédérons un vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ susceptible d'évoluer dans le temps, à la fois
en direction et en norme. Entre un instant $`t`$ et $`t+dt`$ (avec $`dt`$ une variation
infinitésimale du temps) le vecteur a varié d'une quantité $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$
que l'on appelle la différentielle du vecteur $`\vec{OM}`$. Ainsi on peut écrire :<br>

$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t)`$

La figure ci-contre représente les vecteurs $`\overrightarrow{OM}(t+dt)`$, $`\overrightarrow{OM}(t)`$
et $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$. 

Plutôt que d'utiliser les vecteurs de base "conventionnels" $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y}`$, 
nous allons exprimer l'ensemble des vecteurs dans la base $`\overrightarrow{e_{||}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\perp}}`$.

Le vecteur $`\overrightarrow{E_{||}}`$ est parallèle à $`\overrightarrow{OM}`$ à l'instant
$`t`$ de sorte que $`\overrightarrow{OM}=||\overrightarrow{OM}|| \cdot\overrightarrow{e_{||}}`$.
De la même manière le vecteur $`\overrightarrow{E_{\perp}}`$ est perpendiculaire à $`\overrightarrow{OM}`$ à l'instant
$`t`$. Ici nous considérons le cas général dans lequel le vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ 
a pu, pendant le temps $`dt`$, à la fois s'allonger et tourner d'un angle infinitésimal
$`\Psi`$ (avec $`\Psi=\Psi(t+dt)-\Psi(t)`$).

Nous décomposons le vecteur $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$ de la manière suivante (conférer figure) :

$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}
+d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}`$

Dans la limite où $`\Psi`$ tend vers $`0`$, $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$ 
va s’aligner avec $`\overrightarrow{e_{||}}`$. Dans cette situation,
$`\left|\left|d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}\right|\right|`$ correspond 
simplement à l’allongement du vecteur $`\overrightarrow{OM}`$. Ainsi 
$`\left|\left|d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}\right|\right|=\left|\left|d
\overrightarrow{OM}(t)\right|\right|`$.
Par construction, le vecteur $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}`$ va 
s’aligner avec le vecteur unitaire $`\overrightarrow{e_T}`$ (toujours dans la limite
où $`\Psi`$ tend vers $`0`$). En utilisant le triangle rectangle, nous déduisons que
sa norme vaut :<br>
$`\left|\left|d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}\right|\right|
= \left|\left|d\overrightarrow{OM}(t)\right|\right|\cdot tan (d\Psi)`$
$`= \left|\left|d\overrightarrow{OM}(t)\right|\right|\cdot d\Psi`$.
Ainsi, la différentielle du vecteur $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$
s'écrit de la manière suivante :

$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=d\left|\left|\overrightarrow{OM}(t)_{\perp}\right|\right|
\cdot \overrightarrow{e_{||}}\,+\,\left|\left|\overrightarrow{OM}(t)_{\perp}\right|\right|
\cdot d\Psi\cdot\overrightarrow{e_{\perp}}`$

La différentielle d'un vecteur peut aussi être calculée directement à partir de son 
expression analytique. Considérons l'exemple suivant : 

$`\overrightarrow{OM}(t)=A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}+B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}`$

Ce vecteur est exprimé dans la base des vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$ 
et $`\overrightarrow{e_y})`$ qui sont "fixes" dans le référentiel d'observation. 
Les coordonnées $`A(t)`$ et $`B(t)`$ dépendent du temps avec, par exemple
$`A(t)=t^2`$, et $`B(t)=4t`$. La différentielle n'étant qu'une "simple" opération
de soustraction vectorielle, elle est distributive de sorte que :

$`d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)=d\left(A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}\right)
+d\left(B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right)`$
$`=d\left(A(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_x}
+d\left(B(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_y}`$
$`+A(t)\cdot d\overrightarrow{e_x} + B(t)\cdot d\overrightarrow{e_y}`$

Or les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y})`$ sont fixes, 
on a donc :

$`d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)=d\left(A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}\right)
+d\left(B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right)`$
$`=d\left(A(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_x}
+d\left(B(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_y}`$
$`=d\left(t^2\right)\cdot\overrightarrow{e_x}
+d\left(4t\right)\cdot\overrightarrow{e_y}`$
$`2\,t\,dt\cdot\overrightarrow{e_x}
+4\,dt\cdot\overrightarrow{e_y}`$


#### Dérivée d’un vecteur par rapport au temps

Por INSA / pour l'INSA / for INSA :

$`\displaystyle\dfrac{d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)}{dt}
=\lim_{dt\rightarrow 0}
\left(
\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t))}{dt}
\right)`$


##### Propongo el siguiente escrito (a discutir) / Je propose l'écriture suivante (à débattre) / I propose the following writing (to be discussed)

* [ES] En la escritura de una ecuación, vemos con relativa frecuencia vemos el error de tipo :<br>
[FR] Dans l'écriture d'une équation, nous voyons relativement souvent l'erreur de type :<br>
[EN] In the expression of an equation, we relatively often see the type of error :<br>
<br> $`d ... = \int ... d...`$<br>
[ES] En una parte del curso "Atención" (fondo rojo), deberíamos explicar esto.<br>
[FR] Dans une partie de cours "Attention" (fond rouge), nous devrions expliquer cela.<br>
[EN] In a part of the course "Attention" (red background), we should explain this.

* [ES] Si $`xxx`$ es una cantidad física escalar o vectorial, propongo que $`dxxx`$ significa una 
variación infinitesimal de esta cantidad y $`\Delta xxx`$ una variación macroscópica.<br>
[FR] Si $`xxx`$ est une grandeur physique scalaire ou vectorielle, je propose que $`dxxx`$ signifie 
une variation infinitésimale de cette grandeur, et d$`\Delta xxx`$ une variation macrosocpique.<br>
[EN] If $`xxx`$ is a scalar or vector physical quantity, I propose that $`dxxx`$ means an infinitesimal
variation of this quantity, and $`\Delta xxx`$ a macrosocpic variation.<br>
<br> Ainsi
<br> $`\displaystyle\dfrac{d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)}{dt}
=\lim_{dt\rightarrow 0}
\left(
\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t))}{dt}
\right)`$
<br>deviendrait<br>
<br> $`\displaystyle\dfrac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}
=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}
\left(
\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+\Delta t)-\overrightarrow{OM}(t))}{\Delta t}
\right)`$
$`=\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t)}{dt}`$<br>
<br>
[ES] En las expresiones anteriores, también simplificaría la escritura. Algunos ejemplos :<br>
[FR] Sur les expressions ci-dessus, cela permettrait aussi de simplifier l'écriture. Quelques exemples : :<br>
[EN] On the expressions above, it would also simplify the writing. Some examples :


* Asi / ainsi / thus :<br>
$`d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)=d\left(A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}\right)
+d\left(B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right)`$
$`=d\left(A(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_x}
+d\left(B(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_y}`$
$`+A(t)\cdot d\overrightarrow{e_x} + B(t)\cdot d\overrightarrow{e_y}`$<br>
se convertiría en / deviendrait / would become :<br>
$`d\overrightarrow{OM}(t)=d\left[A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}+B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right]`$
$`=d\left[A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}\right]+d\left[B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right]`$
$`=dA(t)\cdot\overrightarrow{e_x}+A(t)\cdot d\overrightarrow{e_x}
+d(B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}+ B(t)\cdot d\overrightarrow{e_y}`$

* Asi / ainsi / thus :<br>
$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}
+d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}`$<br>
se convertiría en / deviendrait / would become :<br>
$`d\overrightarrow{OM}(t)=d\overrightarrow{OM}_{||}(t)
+d\overrightarrow{OM}_{\perp}(t)`$<br>
con / avec / with <br>
$`\overrightarrow{OM}_{||}=(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{e_{||}})\,\overrightarrow{e_{||}}\quad`$ and 
$`\quad\overrightarrow{OM}_{\perp}=(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{e_{\perp}})\,\overrightarrow{e_{\perp}}`$ 
-->