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@@ -110,7 +110,8 @@ où $`\overrightarrow{dS_M}`$ est le vecteur surface élémentaire, vecteur perp
 Les équations (1) et (2) restant valables en tout point de l'espace, je peux omettre
 de préciser le point, et écrire plus simplement 
 
-$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{n}
+$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}
+\cdot \overrightarrow{n}
 =\lim_{C \to 0}\; \dfrac{\oint_C \overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{dl}}
 {\iint_{S \leftrightarrow C} dS}\hspace{1 cm}`$ (3)
 
@@ -132,37 +133,52 @@ composantes cartésiennes $`(X_M, Y_M, Z_M)`$  s'écrit
 $`\overrightarrow{X_M} = X_M \cdot \overrightarrow{e_x} + Y_M \cdot \overrightarrow{e_y}+
 X_M \cdot \overrightarrow{e_z}`$
 
-Je vais tester la circulation du champ vectoriel  dans les trois directions indiquées
-par les vecteurs unitaires . Pour l'étude de la composante de  selon z (composante
-d'expression mathématique  ), je choisis dans le plan perpendiculaire à  et passant
+Je vais tester la circulation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ dans les 
+trois directions indiquées par les vecteurs unitaires 
+$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$. Pour l'étude 
+de la composante de $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ selon z (composante 
+d'expression mathématique $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{e_z}`$ ),
+je choisis dans le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_z}`$ et passant
 par M le contour infinitésimal à l'expression la plus simple : le petit rectangle 
-ABCD de côtés parallèles aux vecteurs  et , de centre M et de côtés  et J'oriente 
-ce rectangle infinitésimal ABCD selon la règle de la main droite, le pouce tendu 
-en direction et sens du vecteur . Ainsi, ii le vecteur  pointe vers mon oeil, alors
-le sens d'orientation du rectangle ABCD est le sens trigonométrique direct (sens
-inverse des aiguilles d'une montre).
-
-Le  champ vectoriel  est un champ de vecteurs dont je connais les expressions
-
-Je connais l'expression analytique du champ vectoriel , c'est à dire les expressions
-analytique des composantes 
-
-Je connais les composantes  du vecteur  au point M. Pour établir le champ rotationnel, 
-je dois obtenir une expression analytique de ce champ en tout point de l'espace. 
-La circulation de  sur ABDC est la somme des circulations de  sur chacune des quatre 
-branches AB, BC, CD et DA. 
-
-Soit la branche AB de centre P et dont l'ensemble des points admettent comme 
-coordonnée selon x. L'orientation du rectangle élémentaire impose que le déplacement
-élémentaire  de A vers b s'écrit
-
-
-
-Au premier ordre, le vecteur au point P est le vecteur moyen du champ sur la branche
-AB, et son expression en fonction des composantes de  et du déplacement élémentaire
-pour passer de M en P est
-
-
+ABCD de côtés parallèles aux vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y}`$,
+de centre M et de côtés $`dl_x=dx`$ et $`dl_y=dy`$. J'oriente ce rectangle infinitésimal
+ABCD selon la règle de la main droite, le pouce tendu en direction et sens du vecteur
+$`\overrightarrow{n}`$. Ainsi, si le vecteur $`\overrightarrow{e_z}`$ pointe vers 
+mon oeil, alors le sens d'orientation du rectangle ABCD est le sens trigonométrique
+direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
+
+Je connais l'expression analytique du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$, c'est 
+à dire les expressions analytique des composantes. 
+
+Je connais les composantes cartésiennes $`(X_M, Y_M, Z_M)`$ du vecteur $`\overrightarrow{X_M}`$
+au point M. Pour établir le champ rotationnel, je dois obtenir une expression analytique
+de ce champ en tout point de l'espace. La circulation de  sur ABDC est la somme des circulations
+de $`\overrightarrow{X}`$ sur chacune des quatre branches AB, BC, CD et DA. 
+
+Soit la branche AB de centre P et dont l'ensemble des points admettent $`x_M-\dfrac{dx}{2}`$ 
+comme coordonnée selon x. L'orientation du rectangle élémentaire impose que le déplacement
+élémentaire $`\overrightarrow{dl_{AB}}`$ de A vers b s'écrit
+
+$`\overrightarrow{dl_{AB}}=-dy \cdot \overrightarrow{e_y}`$
+
+Au premier ordre, le vecteur $`\overrightarrow{X_P}`$ au point P est le vecteur moyen 
+du champ sur la branche AB, et son expression en fonction des composantes de $`\overrightarrow{X_M}`$
+et du déplacement élémentaire pour passer de M en P est
+
+$`\displaystyle \overrightarrow{X_P}
+=
+\left[X_M+\left.\dfrac{\partial X}{\partial x}\right|_M \cdot 
+\left(-\dfrac{dx}{2}\right)
+  \right] \cdot \overrightarrow{e_x}
++
+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot 
+\left(-\dfrac{dx}{2}\right)
+  \right] \cdot \overrightarrow{e_y}
++
+\left[Z_M+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial x}\right|_M \cdot 
+\left(-\dfrac{dx}{2}\right)
+  \right] \cdot \overrightarrow{e_z}
+  `$
 
 Le calcul de la circulation élémentaire de  sur la branche AB me donne