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@ -42,31 +42,35 @@ $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ du champ vectoriel $`\overrightarro |
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Un champ vectoriel, par définition, s'étend dans les trois directions de l'espace. |
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A priori, sauf dans des cas spécifiques très simples, la direction autour de |
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laquelle une composante tournante du champ vectoriel est non visible et inconnue. |
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Je ne peux donc que tester la composante rotation du champ vectoriel en un point M |
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Je ne peux donc que tester la composante rotation du champ vectoriel |
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$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ en un point M |
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et autour d'un axe arbitraire représenté par un vecteur unitaire . |
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Je considère, dans le plan perpendiculaire à au point P, un contour fermé C |
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entourant le point M. Je choisi comme sens positif de circulation sur ce contour C |
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le sens positif conventionnel donné par la règle de la main droite : si mon pouce |
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tendu indique la direction du vecteur , alors l'orientation de les quatre autres |
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doigts indique le sens positif de rotation. La circulation du champ vectoriel le |
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long du contour C s'écrit |
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Je considère, dans le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{n}`$ au point P, |
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un contour fermé C entourant le point M. Je choisi comme sens positif de circulation |
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sur ce contour C le sens positif conventionnel donné par la règle de la main droite : |
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si mon pouce tendu indique la direction du vecteur $`\overrightarrow{n}`$, alors |
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l'orientation de les quatre autres doigts indique le sens positif de rotation. |
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La circulation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ le long du contour C s'écrit |
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$`\oint_{C} \overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{dl}`$ |
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Ce contour C inscrit dans un plan délimite une surface plane d'aire S |
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$`S = \iint_{S \leftrightarrow C} dS`$ |
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Je diminue maintenant la taille de ce contour entourant le point M, de ce fait la |
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longueur l du contour C et l'aire S de la surface plane délimitée par C tendent |
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toutes deux vers zéro. Par définition, la limite lorsque S tend vers zéro du rapport |
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"circulation de le long du contour C" par "l'aire S de la surface plane délimitée |
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par C" donne la composante dans la direction d'un vecteur appelé rotationnel du |
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champ vectoriel au point M. L'écriture mathématique de cette définition est beaucoup |
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plus simple : |
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(1) |
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"circulation de $`\overrightarrow{X}`$ le long du contour C" par "l'aire S de la |
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surface plane délimitée par C" donne la composante dans la direction $`\overrightarrow{n}`$ |
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d'un vecteur appelé rotationnel du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ au point M. |
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L'écriture mathématique de cette définition est beaucoup plus simple : |
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$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{n} |
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= |
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\lim_{\substack{S \to 0 \\ en\,M}} \: \dfrac{\oint_C \overrightarrow{X} \cdot |
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\overrightarrow{dl}}{\iint_{S \leftrightarrow C} dS}`$ (1) |
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Ainsi, si le plan dans lequel s'effectue la rotation du champ vectoriel au voisinage |
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de M est bien le plan perpendiculaire à , alors le vecteur indique bien la direction |
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