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@@ -7,6 +7,7 @@ visible: false
 
 <!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->
 $`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$
+$`\def\Ltau{\Large{\tau}\normalsize}`$
 $`\def\Sopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$
 $`\def\Sclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
 $`\def\Ssclosed{\mathscr{S}_{\scriptsize\bigcirc}}`$
@@ -228,7 +229,33 @@ $`\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}=\int_{\Omega_S} K\c
 \-   pour une *distribution discrète de sources* : **$`\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\sum_i \overrightarrow{X}_i}`$**.<br>
 \-   pour une *distribution continue de sources* : **$`\displaystyle\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\int d\overrightarrow{X}}`$**.<br>
 
-##### La surface fermée ne contient une distribution de sources
+#### Que devient le flux à travers une surface fermée contenant plusieurs sources de champ ?
+
+
+* Soit **$`S`$** une **surface fermée** dans l'espace démilitant un *volume $`\tau`$*.
+
+* Si $`S`$  contient en un point $`P_1`$ une **unique source $`x_1`$** créant une champ vectoriel $`\overrightarrow{X_1}`$ central décroissant en $`1/r^2`$, le flux $`\Phi_{X_1}`$ de $`\overrightarrow{X_1}`$ à travers $`S`$ s'écrit :<br>
+**$`\mathbf{\Phi_{X_1}=\oiint_S \overrightarrow{X_1}\cdot\overrightarrow{dS}=4\pi\,K\, x_1}`$**
+
+* Si $`S`$  contient en un autre point $`P_2`$ une **unique autre source $`x_2`$**, de même le flux flux $`\Phi_{X_2}`$ s'écrit :<br>
+**$`\mathbf{\Phi_{X_2}=\oiint_S \overrightarrow{X_1}\cdot\overrightarrow{dS}=4\pi\,K\, x_2}`$**
+
+
+* Si les sources **$`x_1`$ et $`x_2`$ existent simultanément**, alors le *théorème de superposition* dit qu'en tout point de l'espace, le champ électrostatique total $`\overrightarrow{X}`$ est la somme des champs $`\overrightarrow{X_1}`$ et $`\overrightarrow{X_2}`$ :<br>
+*$`\overrightarrow{X}=\overrightarrow{X_1}+\overrightarrow{X_2}`$*<br>
+$`\Longrightarrow`$ le flux total de $`\overrightarrow{X}`$ à travers $`S`$ s'écrit :<br>
+$`\Phi_{X}=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}`$
+$`\quad=\oiint_S (\overrightarrow{X_1}+\overrightarrow{X_2})\cdot\overrightarrow{dS}`$
+$`\quad=\oiint_S \overrightarrow{X_1}\cdot\overrightarrow{dS}+\oiint_S \overrightarrow{X_2}\cdot\overrightarrow{dS}`$
+**$`\mathbf{\Phi_{X}=4\pi\,K\,(s_1+s_2)}$**
+
+
+* Ce résultat *se généralise facilement* à tout nombre entier de sources discrètes $`x_i`$ ou à une distribution continue de densité volumique $`\rho_x(\overrightarrow{r})`$<br>
+\- pour *n sources discrètes* :
+**$`\displaystyle\mathbf{\quad\Phi_{X}=4\pi\,K\,\sum_{i=1}^n s_i}`$**<br>
+\- pour une *densité volumique $`\mathbf{\rho_x(\overrightarrow{r})}`$* :
+**$`\displaystyle\mathbf{\quad\Phi_{X}=4\pi\,K\,\iiint_{\Ltau} \rho_x(\overrightarrow{r})\cdot d\tau}`$**
+
 
 #### Que dit le théorème de Gauss intégral en électrostatique ?
 
@@ -257,7 +284,7 @@ C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$.
 
 * L'électromagnétisme généralise aux champs électrique et magnétiques créés par des particules chargées immobile ou en mouvement.
 
-##### Le théorème de Gauss en électrostatique
+##### Le théorème de Gauss intégral en électrostatique
 
 * Soit une *distribution de charges maintenues immobiles* dans l'espace.
 
@@ -266,6 +293,23 @@ Le flux $`\Phi_E`$ du vecteur champ électrique à travers toute *surface fermé
 est égal à la *charge totale $`Q_{int}`$ contenue à l'intérieur de $`S`$* divisée par la constante électrique $`\epsilon_0`$.<br>
 <br>**$`\mathbf{\Phi_E=\oiint_S \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}}`$**
 
+
+
+##### Quelles sont les différentes expression de $`Q_{int}`$ rencontrées?
+
+* Pour *n charges discrètes $`q_i`$* dans le volume $`\tau`$ :<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\sum_{i=1}^n q_i}`$**
+
+* Pour une *densité volumique de charge $`\mathbf{\rho(\overrightarrow{r})}`$* (cas de la réalité 3D à l'échelle d'observation) :<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\iiint_{\Ltau} \rho(\overrightarrow{r}) \cdot d\tau }`$**
+
+
+* Lorsque les charges sont réparties sur une surface $`S`$ (2D $`\Longleftrightarrow`$ une épaisseur 1D est négligée) avec une *densité surfacique de charge $`\mathbf{\sigma}`$* :<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\iint_{S\cap\Ltau} \sigma(\overrightarrow{r}) \cdot dS }`$**
+
+*  Lorsque les charges sont réparties sur un fil $`\Gamma`$ (1D $`\Longleftrightarrow`$ une section 2D est négligée) avec une *densité linéïque de charge $`\mathbf{\lambda}`$* :<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\int_{\Gamma\cap\Ltau} \lambda(\overrightarrow{r}) \cdot dl }`$**
+
 ---
 
 ![](Gauss_theorem_signification_electrostatics_L800.gif)
@@ -297,7 +341,7 @@ C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$.
 
 
 
-##### Théorème de Gauss en gravitation
+##### Théorème de Gauss intégral en gravitation
 
 * Soit une *distribution de masses* dans l'espace.
 
@@ -429,15 +473,15 @@ div\,\overrightarrow{E}}`$**$`\mathbb{\;=\dfrac{d\Phi_E}{d\tau}}`$**$`\;\mathbf{
 * En coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphérique, **chaque élément de surface fermée $`dS`$** dans le volume se décompose en *6 éléments de surface ouverte $`d\Sigma_i`$* : <br>
 **$`\mathbf{dS=\sum_{i=1}^6 d\Sigma_i}`$**
 
-* **A l'intérieur du volume $`\tau`$**, tout élément de surface ouverte $`d\Sigma_i`$ appartient à 2  élément de volume $`d\tau_1`$ et $`d\tau_2`$. Selon l'élément de volume considéré, *$`\mathbf{d\Sigma_i}`$ est représenté par les vecteurs $`\overrightarrow{\Sigma_1}`$ ou $`\overrightarrow{\Sigma_2}`$* qui sont opposés :<br>
-**$`\mathbf{\overrightarrow{\Sigma_1}=-\,\overrightarrow{\Sigma_2}}`$**
+* **A l'intérieur du volume $`\tau`$**, tout élément de surface ouverte $`d\Sigma_{int}`$ appartient à 2 élément de volume $`d\tau_1`$ et $`d\tau_2`$. Selon l'élément de volume considéré, un même élément de surface ouverte intérieure *$`\mathbf{d\Sigma_{int}}`$ est représenté par les vecteurs $`\overrightarrow{\Sigma}_{int,1}`$ ou $`\overrightarrow{\Sigma}_{int,2}`$* qui sont opposés :<br>
+**$`\mathbf{\overrightarrow{\Sigma}_{int,2}=-\,\overrightarrow{\Sigma}_{int,1}}`$**
 
-* $`\Longrightarrow`$ les flux élémentaires *$`\mathbf{d\Phi_1=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma_1}}`$* et *$`\mathbf{d\Phi_2=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma_2}}`$* correspondants <!--du champ $`\overrightarrow{X}`$ à travers un même élément de surface $`d\Sigma_i`$ considéré du point de vue des deux éléments de volume $`d\tau_1`$ et $`d\tau_2`$ auxquels il appartient--> sont opposés : <br>
-**$`\mathbf{d\Phi_1=\,-\,d\Phi_1}`$**
+* $`\Longrightarrow`$ les flux élémentaires *$`\mathbf{d\Phi_{int,1}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{int,1}}`$* et *$`\mathbf{d\Phi_{int,2}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{int,2}}`$* correspondants <!--du champ $`\overrightarrow{X}`$ à travers un même élément de surface $`d\Sigma_i`$ considéré du point de vue des deux éléments de volume $`d\tau_1`$ et $`d\tau_2`$ auxquels il appartient--> sont opposés : <br>
+**$`\mathbf{d\Phi_{int,2}=\,-\,d\Phi_{int,1}}`$**
 
 ---
 
-![](ostrogradsky_flux_nul_element_volume_interior.gif)
+![](ostrogradsky_flux_nul_element_volume_interior_2.gif)
 
 ---
 
@@ -445,11 +489,22 @@ div\,\overrightarrow{E}}`$**$`\mathbb{\;=\dfrac{d\Phi_E}{d\tau}}`$**$`\;\mathbf{
 
 * Tout **élément de volume $`d\tau`$ en contact avec l'extérieur** *possède un élément de surface $`d\Sigma_{ext}`$*. qui appartient à la frontière entre l'intérieur du volume et l'extérieur.
 
-* Tout élément de surface $`d\Sigma_{ext}`$ n'appartient qu'à un unique élement de volume $`d\tau`$ du volume $`\tau`$ :<br>
-$`\Longrightarrow`$ lui est associé un **unique élément vectoriel de surface $`\overrightarrow{d\Sigma_{ext}}`$** *orienté de l'intérieur vers l'extérieur*.
+* L'ensemble des $`d\Sigma_{ext}`$ est la surface fermée $`S`$ délimitant le volume $`\tau`$ :<br>
+$`\S=\oiint `d\Sigma_{ext}`$
+
+* $`\Longrightarrow`$ le **flux $`\mathbf{\Phi_{ext}}`$** de $`\overrightarrow{X}`$ à travers l'ensemble des $`\overrightarrow{d\Sigma_{ext}}`$ est le flux $`\mathbf{\Phi_X}`$ de $`\overrightarrow{X}`$ à travers la surface fermée $`S`$ délimitant le volume $`\tau`$ :<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{\Phi_{ext}=\int d\Phi_{ext}=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{dS}}`$**
+
+---
 
+![](ostrogradsky_flux_nul_element_volume_interior_10.jpg)
+
+---
 
 
+* **Théorème de Green-Ostrogradsky**<br>
+= théorème de la divergence :<br>
+**$`\mathbf{\displaystyle\iiint_{\tau \leftrightarrow S} div\,\overrightarrow{X}\cdot d\tau = \oiint_{S \leftrightarrow \Ltau}\overrightarrow{X}\cdot dS}`$**
 
 
 ---
@@ -458,6 +513,12 @@ $`\Longrightarrow`$ lui est associé un **unique élément vectoriel de surface
 
 ---
 
+* Tout élément de surface $`d\Sigma_{ext}`$ n'appartient qu'à un unique élement de volume $`d\tau`$ du volume $`\tau`$ :<br>
+$`\Longrightarrow`$ lui est associé un **unique élément vectoriel de surface $`\overrightarrow{d\Sigma}_{ext}`$** *orienté de l'intérieur vers l'extérieur*.
+
+* $`\Longrightarrow`$ le *flux élémentaire correspondant $`d\Phi_{ext}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{ext}`$*   <!--du champ $`\overrightarrow{X}`$ à travers un même élément de surface $`d\Sigma_i`$ considéré du seul point de vue de l'élément $`d\tau`$--> est en général non nul : <br>
+*en général*, **$`\mathbf{d\Phi_{ext}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{ext}}\ne 0`$**
+
 * **Théorème de Green-Ostrogradsky**<br>
 = théorème de la divergence :<br>
 **$`\mathbf{\displaystyle\iiint_{\tau \leftrightarrow S} div\,\overrightarrow{E}\cdot d\tau = \oiint_{S \leftrightarrow \tau}\overrightarrow{E}\cdot dS}`$**