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title: Définir les outils mathématiques de niveau 3 : proposition 1 |
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routable: true |
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visible: false |
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lessons: |
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- slug: define-234-mathematical-tools-p1 |
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order: 2 |
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<!--caligraphie de l'intégrale double curviligne--> |
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$`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$ |
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$`\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}`$ |
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#### Proposition 1 |
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#### Définir les outils mathématiques requis au niveau 3 |
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avec une **première classification pour ordonner un peu** le brainstorming (numération, géométrie, etc). |
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Elle *ne présage pas des titres de chapitres*. |
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N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire. |
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Les *outils mathématiques de niveaux 1 et 2* **$`+`$** : |
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NUMERATION, OPERATIONS ET FONCTIONS USUELLES |
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! *Numération, opérations et fonction usuelles* |
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(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation |
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* nombre imaginaire **$`i`$** |
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Ensemble des nombres imaginaires purs *$`\mathbb{I}`$* : **$`c=i\,b`$** |
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Ensemble des nombres complexes $`\mathbb{C}`$ : |
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**$`c=a+i\,b= |c|\,e^{\,i\,\theta}`$**, |
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avec **$`|c|=\sqrt{a^2 + b^2}`$** et **$`\theta\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)`$** |
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**$`c=a+i\,b= \mathcal{Re}(c)+i\,\mathcal{Im}(c)`$** |
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* fonction puissance $`y^x`$ |
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* fonction exponentielle **$`e^x`$** |
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Euler **$`e^{\,i\theta}=\cos\theta+ i\sin\theta`$** |
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**$`\cos\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}+e^{\,-i\theta}}{2}`$** |
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** $`\sin\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}-e^{\,-i\theta}}{2i}`$** |
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* **$`e^0=1 \quad , \quad`$** |
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**$`e^{\,i\frac{\pi}{2}}=i\quad , \quad`$** |
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**$`e^{\,i\pi}=-1\quad , \quad`$**, ... |
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* fonction logatithme **$`log_p\,x`$** |
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propriétés fonction log, dont transformation produit en somme : **$`log_p\,xy`=log_p\,x+log_p\,y$** |
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fonction logatithme **$`log_{10}\,x`$** en relation à la fonction puissance $`10^x`$ |
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fonction logatithme népérien **$`Log\,x=ln\,x`$** en relation à la fonction puissance $`exp(x)=e^x`$ |
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* notations réelle et notation complexe : |
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**$`\overrightarrow{U}=U_0\,\cos(k\,x-\omega t+\varphi)\overrightarrow{e}`$** |
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**$`\overrightarrow{\underline{U}}=U_0\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t+\varphi)}\overrightarrow{e}`$** |
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**$`\;=\underline{U_0}\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t)}\overrightarrow{e}`$** |
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**$`\overrightarrow{U}=\mathcal{Re}(\overrightarrow{\underline{U}})`$** |
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RÉAGIR : |
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... (XXX-YY) |
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(XXX-YY) ... |
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RÉAGIR : |
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... (XXX-YY) |
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ENSEMBLES ET LOGIQUE |
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! *Ensembles et logique* |
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à faire |
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RÉAGIR : |
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... (XXX-YY) |
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(XXX-YY) ... |
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RÉAGIR : |
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... (XXX-YY) |
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GÉOMÉTRIE ET COORDONNÉES |
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! *Géométrie et coordonnées* |
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(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation |
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* Règle d'*orientation de l'espace* |
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Systèmes de coordonnées, bases et repères *directs ou indirect* |
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* *Coordonnées, bases vectorielles et repères* associées |
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bases et repères *orthogonaux, normés, orthonormés, directs et indirects* |
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* *Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques* |
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|
* avec *repères et bases associés* |
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* *éléments infinitésimaux* de longueur, de surface, de volume |
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* expressions des *opérateurs* **$`\overrightarrow{grad}`$**, **$`div`$** et **$`\overrightarrow{rot}`$** |
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* *matrice changement de base orthonormée directe* : |
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* $`\overrightarrow{e_i}\longrightarrow \overrightarrow{e_j}'`$ : $`(a)`$ |
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* $`\overrightarrow{e_j}'\longrightarrow \overrightarrow{e_i}'`$ : **$`(a')=(a)^t = (a)^{-1}`$** |
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RÉAGIR : |
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... (XXX-YY) |
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(XXX-YY) ... |
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RÉAGIR : |
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... (XXX-YY) |
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VECTEURS, OPERATEURS ET ANALYSE VECTORIELLE |
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! *Vecteurs et opérateurs, analyse vectorielle* |
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(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation |
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*Dans une base euclidienne (3D)*: |
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* Produit scalaire **$`\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}`$** (notation $`\wedge`$ ou $`\times`$ ) |
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* Produit vectoriel **$`\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}`$** (notation $`\wedge`$ ou $`\times`$ ) |
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|
* Produit mixte **$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})`$** |
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* Opérateurs **$`\overrightarrow{grad}`$**, **$`div`$** et **$`\overrightarrow{rot}`$** (notation $`\overrightarrow{rot}`$ ou $`\overrightarrow{curl}`$ ) |
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et notation avec nabla (coordonnées cartésiennes) : |
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|
**$`\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y} |
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\overrightarrow{e_y}\dfrac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{e_z}`$** |
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|
* Opérateurs Laplacien scalaire (coordonnées cartésiennes) |
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**$`\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}`$** |
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**$`\;=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}`$** |
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* Opérateur d'Alembertien scalaire (coordonnées cartésiennes) |
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* **$`\Box=\Delta-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}`$** (pour les ondes) |
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|
* **$`\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}\,V)=0`$**, lien avec |
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$`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=0\quad\Longrightarrow\quad \exists V\;,\;\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\,V`$ |
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|
* **$`div\,(\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{A}) =0`$**, lien avec |
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$`div\,\overrightarrow{B}=0 \quad\Longrightarrow\quad \exists \overrightarrow{A}\;,\;\overrightarrow{B}=\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A}`$ |
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RÉAGIR : |
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... (XXX-YY) |
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(XXX-YY) ... |
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RÉAGIR : |
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... (XXX-YY) |
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MATRICES |
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! *Matrices* |
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(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation |
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* Matrices $`(n,m)`$ : **$`\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix}`$** |
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|
* Somme de matrice **$`(n,m) + (n,m)`$** |
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|
* Produit matriciel **$`(n,m)\cdot (m,p) dot`$** |
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|
* Matrice transposée d'une matrice carrée |
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|
* Calcul matriciel |
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|
* Déterminant d'une matrice carrée : |
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**$`\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}`$** |
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RÉAGIR : |
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|
... (XXX-YY) |
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(XXX-YY) ... |
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RÉAGIR : |
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|
... (XXX-YY) |
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FONCTIONS - CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL |
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! *Étude de fonctions* |
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(CME-FR) |
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* Passage de la notation $`f'(x_0)`$ à **$`\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x_0}`$** |
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Passage de la notation $`f'(x)`$ à **$`\dfrac{df}{dx}`$** |
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... |
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|
de $`f^{(n)}(x_0)`$ à **$`\left.\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}\right|_{x_0}`$** |
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|
de $`f^{(n)}(x)`$ à **$`\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}`$** |
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* fonction dérivée et fonction primitive. |
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* intégrale simple |
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* indéfinie **$`\displaystyle\int f(x)\,dx`$** |
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|
* définie **$`\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx`$** |
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* intégrale multiple (variables indépendantes) |
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* **$`\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy`$** |
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* **$`\displaystyle\iiint f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz`$** |
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* différence entre : |
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* **$`\displaystyle\int f(x)\,dx`$** et **$`\oint f(x)\,dx`$** |
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* **$`\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy`$** et **$`\oiint f(x,y)\,dx\,dy`$** |
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RÉAGIR : |
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... (XXX-YY) |
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(XXX-YY) ... |
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RÉAGIR : |
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... (XXX-YY) |
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ÉQUATIONS |
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! *Équations* |
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(CME-FR) |
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* *Résolution de systèmes d'équations* par la *méthode du déterminant*. |
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RÉAGIR : |
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... (XXX-YY) |
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(XXX-YY) ... |
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RÉAGIR : |
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... (XXX-YY) |
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<!------------------------------------------------------------------------------ |
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ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES |
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! *Équations* |
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* à faire |
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RÉAGIR : |
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... (XXX-YY) |
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--------------------- |
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(XXX-YY) ... |
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RÉAGIR : |
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... (XXX-YY) |
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<!------------------------------------------------------------------------------ |
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|
AUTRES |
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(XXX-YY) |
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|
... |
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RÉAGIR : |
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... (XXX-YY) |
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--------------------- |
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(XXX-YY) ... |
||||
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RÉAGIR : |
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... (XXX-YY) |
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------------------ |
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