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Claude Meny 5 years ago
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12.temporary_ins/70.wave-optics/10.interferences/cheatsheet.fr.md
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@ -114,9 +114,8 @@ Le *champ électrique résultant* est :
* _Expression en notation réelle :_ * _Expression en notation réelle :_
$`\overrightarrow{E_{tot}}(\overrightarrow{r},t)
= A_1 \cdot cos (\omega t-\phi_1)\cdot \overrightarrow{e_1}
\;`$$`+\;A_2 \cdot cos (\omega t-\phi_2)\cdot \overrightarrow{e_2}`$
$`\overrightarrow{E_{tot}}(\overrightarrow{r},t)= A_1 \cdot cos (\omega t-\phi_1)\cdot \overrightarrow{e_1}\;`$
$`+\;A_2 \cdot cos (\omega t-\phi_2)\cdot \overrightarrow{e_2}`$
* _Expression en notation complexe :_ * _Expression en notation complexe :_
@ -145,10 +144,15 @@ $`I_{tot}= \dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; [A_1^2 \cdot cos^2 (\omega t-\phi_1)\cdot
$`I_{tot} $`I_{tot}
= \dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; ||\overrightarrow{E}||`$$` = \dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; ||\overrightarrow{E}||`$$`
= \dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{E^*}`$$`
= A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1} `$$`+ A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}`$$`+2 \,A_1 \, A_2\; \overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}`$
= \dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{E^*}`$
$`= A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1} `$
$`+ A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}`$
$`+2 \,A_1 \, A_2\; \overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}`$
$`\quad\quad = A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1} `$$`+ A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2} `$$`+ \,A_1 \, A_2\;e^{i(\phi_1-\phi_2)} \;\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2} `$$`+ \,A_2 \, A_1\;e^{i(\phi_2-\phi_1)} \;\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_1}`$
$`\quad\quad = A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1} `$
$`+ A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2} `$
$`+ \,A_1 \, A_2\;e^{i(\phi_1-\phi_2)} \;\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}`$
$`+ \,A_2 \, A_1\;e^{i(\phi_2-\phi_1)} \;\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_1}`$
-------------------- --------------------
@ -162,7 +166,9 @@ Il n'y a *pas interférence* entre ces deux ondes.
* Si les deux ondes ont des **polarisations rectilignes non orthogonales $`(\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}) =cos \Phi `$**, telles que , alors * Si les deux ondes ont des **polarisations rectilignes non orthogonales $`(\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}) =cos \Phi `$**, telles que , alors
$`I_{tot}=A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1}+A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}`$$`+2 \,A_1\,A_2\,cos(\phi_1 - \phi_2)=I_1 + I_2 `$$`+ \,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2) \cdot cos \Phi`$
$`I_{tot}=A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1}+A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}`$
$`+2 \,A_1\,A_2\,cos(\phi_1 - \phi_2)=I_1 + I_2`$
$`+ \,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2) \cdot cos \Phi`$
Un *terme d'interférence $`\,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2) \cdot cos \Phi`$* apparait. Un *terme d'interférence $`\,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2) \cdot cos \Phi`$* apparait.
@ -170,7 +176,9 @@ Un *terme d'interférence $`\,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2) \cdot c
* Si les deux ondes ont des **polarisations rectilignes dans la même direction $`(\overrightarrow{e_1} = \overrightarrow{e_2}) `$** alors $`cos\, \Phi = 1`$ et : * Si les deux ondes ont des **polarisations rectilignes dans la même direction $`(\overrightarrow{e_1} = \overrightarrow{e_2}) `$** alors $`cos\, \Phi = 1`$ et :
$`I_{tot}= A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1}+A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}`$$`+2 \,A_1\,A_2\,cos(\phi_1 - \phi_2)=I_1 + I_2 `$$`+ \,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2)`$
$`I_{tot}= A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1}+A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}`$
$`+2\,A_1\,A_2\,cos(\phi_1 - \phi_2)=I_1 + I_2`$
$`+\,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2)`$
Le *terme d'interférence* se limite à *$`\,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2)`$*. Le *terme d'interférence* se limite à *$`\,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2)`$*.
@ -178,7 +186,9 @@ Le *terme d'interférence* se limite à *$`\,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 -
* Si les deux ondes ont une **même amplitude $`A`$** et des **polarisations rectilignes dans la même direction $`(\overrightarrow{e_1} = \overrightarrow{e_2}) `$** alors : * Si les deux ondes ont une **même amplitude $`A`$** et des **polarisations rectilignes dans la même direction $`(\overrightarrow{e_1} = \overrightarrow{e_2}) `$** alors :
$`I_{tot}=A^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1}+A^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}`$$`+2 \,A^2\,cos(\phi_1 - \phi_2)=2 \;I \cdot [\,1`$$`+ cos(\phi_1 - \phi_2)]`$
$`I_{tot}=A^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1}+A^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}`$
$`+2 \,A^2\,cos(\phi_1 - \phi_2)=2 \;I \cdot [\,1`$
$`+ cos(\phi_1 - \phi_2)]`$
Ce sont les *meilleures conditions de réalisation et d'observation*. Ce sont les *meilleures conditions de réalisation et d'observation*.
@ -228,12 +238,13 @@ Le *terme entre parenthèse* forment une **progression géométrique de raison $
Si *j'applique ce résultat* concernant les suites géométriques pour calculer le terme d'**amplitude totale résultante** de la superposition des ondes considérées, j'obtiens Si *j'applique ce résultat* concernant les suites géométriques pour calculer le terme d'**amplitude totale résultante** de la superposition des ondes considérées, j'obtiens
$`\underline{A_{tot}}=A\cdot \dfrac{e^{i\,N\,\phi}-1}{e^{i\,\phi}-1}`$$`=\dfrac{(1-cos\,N\phi)+i\,sin\, N\phi}{(1-cos\,\phi)+i\,sin\,\phi}`$
$`\underline{A_{tot}}=A\cdot \dfrac{e^{i\,N\,\phi}-1}{e^{i\,\phi}-1}`$
$`\;=\dfrac{(1-cos\,N\phi)+i\,sin\, N\phi}{(1-cos\,\phi)+i\,sin\,\phi}`$
L'**intensité résultante** est alors L'**intensité résultante** est alors
$`I_{tot}=\underline{A_{tot}}\,\underline{A^*_{tot}}=|\,A^2\,|`$ $`I_{tot}=\underline{A_{tot}}\,\underline{A^*_{tot}}=|\,A^2\,|`$
$`=A^2\cdot\dfrac{(1-cos^2\,N\phi)`$$`+sin^2\,N\phi}{(1-cos^2\,\phi)+sin^2\,\phi}`$
$`=A^2\cdot\dfrac{(1-cos^2\,N\phi)+sin^2\,N\phi}{(1-cos^2\,\phi)+sin^2\,\phi}`$
$`I_{tot}=A^2\cdot\dfrac{1-2\cos\,N\phi+cos^2\,N\phi+sin^2\,N\phi}{1-2\cos\,\phi+cos^2\,\phi+sin^2\,\phi}`$ $`I_{tot}=A^2\cdot\dfrac{1-2\cos\,N\phi+cos^2\,N\phi+sin^2\,N\phi}{1-2\cos\,\phi+cos^2\,\phi+sin^2\,\phi}`$
$`= A^2\cdot\dfrac{2-2\cos\,N\phi}{2-2\cos\,\phi}`$ $`= A^2\cdot\dfrac{2-2\cos\,N\phi}{2-2\cos\,\phi}`$

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