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Update 12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/30.gauss-theorem-demonstration/20.overview/cheatsheet.fr.md

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Claude Meny 5 years ago
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@ -74,7 +74,7 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
* Il *permet d'établir l'équation de conservation* de toute grandeur physique. * Il *permet d'établir l'équation de conservation* de toute grandeur physique.
* Dans la limite ou une surface de Gauss tend vers 0, il *permet de définir la notion de divergence* qui quantifie une propriété locale de tout champ vectoriel :<br>
* Dans la limite où une surface de Gauss tend vers 0, il *permet de définir la notion de divergence* qui quantifie une propriété locale de tout champ vectoriel :<br>
$`\Longrightarrow`$ le théorème de Gauss aura une expression locale. $`\Longrightarrow`$ le théorème de Gauss aura une expression locale.
* Cette notion de divergence est l'*une des trois notions essentielles* (avec le gradient et le rotationnel) *pour décrire les lois de la physique* au niveau universitaire. <!--, et notamment les équations de Maxwell qui décrivent l'électromagnétisme.--> * Cette notion de divergence est l'*une des trois notions essentielles* (avec le gradient et le rotationnel) *pour décrire les lois de la physique* au niveau universitaire. <!--, et notamment les équations de Maxwell qui décrivent l'électromagnétisme.-->
@ -182,7 +182,7 @@ $`\Longrightarrow`$ :<br>
##### Flux d'un champ vectoriel à travers une surface ##### Flux d'un champ vectoriel à travers une surface
* $`\Phi_X=\int d\Phi_X`$
* $`\displaystyle\Phi_X=\int d\Phi_X`$
* flux à travers une *surface ouverte* : **$`\displaystyle\mathbf{\Phi_X=\iint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**. * flux à travers une *surface ouverte* : **$`\displaystyle\mathbf{\Phi_X=\iint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**.
@ -232,14 +232,14 @@ Flux d'un champ de force centrale en $`1/r^2`$ à travers une surface fermée
* Partant de $`O`$, toute demi-droite $`\Delta`$ en direction de la surface $`S`$ traverse $`S`$ un nombre pair de fois . * Partant de $`O`$, toute demi-droite $`\Delta`$ en direction de la surface $`S`$ traverse $`S`$ un nombre pair de fois .
* Observé dans un même angle solide $`d\Omega`$ centré autour de $`\Delta`$, le flux élémentaire total * Observé dans un même angle solide $`d\Omega`$ centré autour de $`\Delta`$, le flux élémentaire total
$`d\Phi_{\Delta}`$ est égale à la somme d'un nombre pair $`2n`$ de flux élémentaires $`d\Phi_i`$ d'égales valeurs absolues.
$`d\Phi_{\Delta}`$ est égal à la somme d'un nombre pair $`2n`$ de flux élémentaires $`d\Phi_i`$ d'égales valeurs absolues.
* Dans une moitié des cas : $`0<\widehat{\overrightarrow{X}\overrightarrow{dS}}<\pi/2 \Longrightarrow d\Phi_i>0`$,<br> * Dans une moitié des cas : $`0<\widehat{\overrightarrow{X}\overrightarrow{dS}}<\pi/2 \Longrightarrow d\Phi_i>0`$,<br>
dans l'autre moitié : $`\pi/2<\widehat{\overrightarrow{X}\overrightarrow{dS}}<\pi \Longrightarrow d\Phi_i<0`$<br> dans l'autre moitié : $`\pi/2<\widehat{\overrightarrow{X}\overrightarrow{dS}}<\pi \Longrightarrow d\Phi_i<0`$<br>
<br>$`\Longrightarrow`$*$`\;d\Phi_{\Delta}=\sum d\Phi_i=0`$*. <br>$`\Longrightarrow`$*$`\;d\Phi_{\Delta}=\sum d\Phi_i=0`$*.
* *$`\Longrightarrow`$ Le flux $`\Phi_X`$ à travers toute surface fermée qui ne contient pas la source de $`X`$ est nul* :<br> * *$`\Longrightarrow`$ Le flux $`\Phi_X`$ à travers toute surface fermée qui ne contient pas la source de $`X`$ est nul* :<br>
<br>**$`\mathbf{\Phi_X=\int_S d\Phi_{\Delta} =\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}=0}`$**
<br>**$`\mathbf{\Phi_X=\displaystyle\int_S d\Phi_{\Delta} =\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}=0}`$**
![](Flux_surface_exterior_Gauss_integral_theorem_1_L800.jpg) ![](Flux_surface_exterior_Gauss_integral_theorem_1_L800.jpg)
@ -251,7 +251,7 @@ dans l'autre moitié : $`\pi/2<\widehat{\overrightarrow{X}\overrightarrow{dS}}<\
* Partant de $`O`$, toute demi-droite $`\Delta`$ en direction de la surface $`S`$ traverse $`S`$ un nombre impair de fois . * Partant de $`O`$, toute demi-droite $`\Delta`$ en direction de la surface $`S`$ traverse $`S`$ un nombre impair de fois .
* Observé dans un même angle solide $`d\Omega`$ centré autour de $`\Delta`$, le flux élémentaire total * Observé dans un même angle solide $`d\Omega`$ centré autour de $`\Delta`$, le flux élémentaire total
$`d\Phi_{\Delta}`$ est égale à la somme d'un nombre impair $`2n+1`$ de flux élémentaires $`d\Phi_i`$ d'égales valeurs absolues.
$`d\Phi_{\Delta}`$ est égal à la somme d'un nombre impair $`2n+1`$ de flux élémentaires $`d\Phi_i`$ d'égales valeurs absolues.
* $`2n`$ flux élémentaires s'annulent, et le flux élémentaire total $`d\Phi_{\Delta}`$ est égal au flux restant :<br> * $`2n`$ flux élémentaires s'annulent, et le flux élémentaire total $`d\Phi_{\Delta}`$ est égal au flux restant :<br>
<br>$`\Longrightarrow`$**$`\; d\Phi_{\Delta}=\sum d\Phi_i=K\cdot x\cdot d\Omega\quad`$**, <br>$`\Longrightarrow`$**$`\; d\Phi_{\Delta}=\sum d\Phi_i=K\cdot x\cdot d\Omega\quad`$**,
@ -272,7 +272,7 @@ $`\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}=\int_{\Omega_S} K\c
#### Qu'est-ce que le théorème de superposition ? #### Qu'est-ce que le théorème de superposition ?
* La présence ou non d'autre sources n'influence pas le champ $`\overrightarrow{X}_{tot}`$ créé chaque une source élémentaire. Donc le champ total $` X`$ créé par une distribution de sources élémentaires est la somme des champs $`X`$ créé par chacune des sources élémentaires.
* La présence ou non d'autre sources n'influence pas le champ $`\overrightarrow{X}_{tot}`$ créé par une source élémentaire. Donc le champ total $` X`$ créé par une distribution de sources élémentaires est la somme des champs $`X`$ créé par chacune des sources élémentaires.
* $`\Longrightarrow`$ :<br> * $`\Longrightarrow`$ :<br>
\- pour une *distribution discrète de sources* : **$`\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\sum_i \overrightarrow{X}_i}`$**.<br> \- pour une *distribution discrète de sources* : **$`\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\sum_i \overrightarrow{X}_i}`$**.<br>
\- pour une *distribution continue de sources* : **$`\displaystyle\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\int d\overrightarrow{X}}`$**.<br> \- pour une *distribution continue de sources* : **$`\displaystyle\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\int d\overrightarrow{X}}`$**.<br>
@ -293,7 +293,7 @@ $`\Longrightarrow`$ le flux total de $`\overrightarrow{X}`$ à travers $`S`$ s'
$`\Phi_{X}=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}`$ $`\Phi_{X}=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}`$
$`\quad=\oiint_S (\overrightarrow{X_1}+\overrightarrow{X_2})\cdot\overrightarrow{dS}`$ $`\quad=\oiint_S (\overrightarrow{X_1}+\overrightarrow{X_2})\cdot\overrightarrow{dS}`$
$`\quad=\oiint_S \overrightarrow{X_1}\cdot\overrightarrow{dS}+\oiint_S \overrightarrow{X_2}\cdot\overrightarrow{dS}`$<br> $`\quad=\oiint_S \overrightarrow{X_1}\cdot\overrightarrow{dS}+\oiint_S \overrightarrow{X_2}\cdot\overrightarrow{dS}`$<br>
**$`\mathbf{\Phi_{X}=4\pi\,K\,(s_1+s_2)}$**
**$`\mathbf{\Phi_{X}=4\pi\,K\,(x_1+x_2)}`$**
* Ce résultat *se généralise facilement* à tout nombre entier de sources discrètes $`x_i`$ ou à une distribution continue de densité volumique $`\rho_x(\overrightarrow{r})`$<br> * Ce résultat *se généralise facilement* à tout nombre entier de sources discrètes $`x_i`$ ou à une distribution continue de densité volumique $`\rho_x(\overrightarrow{r})`$<br>
\- pour *n sources discrètes* : \- pour *n sources discrètes* :
@ -305,7 +305,7 @@ $`\quad=\oiint_S \overrightarrow{X_1}\cdot\overrightarrow{dS}+\oiint_S \overrigh
##### L'interaction électrostatique ##### L'interaction électrostatique
* La **charge électrique**, de symbole **$`q`$**, est la grandeur physique $`x`$ qui *caractérise la sensibilté d'un corps à l'interaction électrostatique* (et plus généralement l'interaction électromagnétique).
* La **charge électrique**, de symbole **$`q`$**, est la grandeur physique $`x`$ qui *caractérise la sensibilté d'un corps à l'interaction électrostatique* (et plus généralement à l'interaction électromagnétique).
* La charge $`q`$ peut être **négative ou positive**. * La charge $`q`$ peut être **négative ou positive**.
@ -319,14 +319,14 @@ où $`\overrightarrow{E_{1,M_2}}`$ est le champ électrostatique créé par la p
$`\overrightarrow{E}_{1\rightarrow 2}=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}\cdot q_1\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}`$<br> $`\overrightarrow{E}_{1\rightarrow 2}=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}\cdot q_1\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}`$<br>
C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$. C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$.
* Le **champ électrostatique** créé en tout point $`M`$ de l'espace par une particule de charge $'q`$ immobile en un point $`O`$ s'écrit :<br>
* Le **champ électrostatique** créé en tout point $`M`$ de l'espace par une particule de charge $`q`$ immobile en un point $`O`$ s'écrit :<br>
**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}\cdot q\cdot \dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM^3}}`$** **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}\cdot q\cdot \dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM^3}}`$**
##### Quel est le lien entre électrostatique et électromagnétisme ? ##### Quel est le lien entre électrostatique et électromagnétisme ?
* L'électrostatique décrit le champ électrique créé par des particules chargées immobile. * L'électrostatique décrit le champ électrique créé par des particules chargées immobile.
* L'électromagnétisme généralise aux champs électrique et magnétiques créés par des particules chargées immobile ou en mouvement.
* L'électromagnétisme généralise aux champs électrique et magnétiques créés par des particules chargées immobiles ou en mouvement.
##### Le théorème de Gauss intégral en électrostatique ##### Le théorème de Gauss intégral en électrostatique
@ -372,9 +372,9 @@ où $`G`$ est la constante universelle de la gravitation.<br>
C'est une *force centrale décroissant en $`1/r^2`$*$`\quad\Longrightarrow`$ le théorème de Gauss s'applique. C'est une *force centrale décroissant en $`1/r^2`$*$`\quad\Longrightarrow`$ le théorème de Gauss s'applique.
* Cette force se réécrit :<br> * Cette force se réécrit :<br>
$`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}=m_2\cdot \overrightarrow{\Gamma_{1,M_2}}`$<br>
où $`\overrightarrow{\Gamma_{1,M_2}}`$ est le champ gravitationnel créé par le corps en $`M_1`$ au point $`M_2`$ :<br>
$`\overrightarrow{\Gamma}_{1\rightarrow 2}=\;G\cdot m_1\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}`$<br>
$`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}=m_2\cdot \mathcal{\overrightarrow{G}}_{M_1,M_2}}`$<br>
où $`\mathcal{\overrightarrow{G}}_{M_1,M_2}`$ est le champ gravitationnel créé par le corps en $`M_1`$ au point $`M_2`$ :<br>
$`\mathcal{\overrightarrow{G}}_{M_1,M_2}_{1\rightarrow 2}=\;G\cdot m_1\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}`$<br>
C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$. C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$.
* Dans le cadre de la physique classique, le **champ gravitationnel $`\mathcal{\overrightarrow{G}}`$** créé en tout point $`M`$ de l'espace par un corps de masse $'m`$ situé un point $`O`$ s'écrit :<br> * Dans le cadre de la physique classique, le **champ gravitationnel $`\mathcal{\overrightarrow{G}}`$** créé en tout point $`M`$ de l'espace par un corps de masse $'m`$ situé un point $`O`$ s'écrit :<br>

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