Update textbook.en.md

12.temporary_ins/05.coordinates-systems/30.cylindrical-coordinates/10.main/textbook.en.md

@@ -37,11 +37,13 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
 ! If we use different mathematical notations in the 3 languages, each language
 ! keep its rating. The course display in "exchange" mode allows the student to compare
 ! vocabulary, and mathematical notations.
+!
+! For this part "main" of a course, this gives for example:
 
 
 ### Cylindrical coordinates
 
-#### Definition of coordinates and definition domains
+#### Definition of coordinates and their definition domains
 
 ! For example, this course element denoted * CS300 *:
 
@@ -103,10 +105,12 @@ in $`z_M`$ on the $`Oz`$ axis will be $`(z_M, 0, 0)`$.
 
 * *CS320*
 
-! *Remarque :* Les deux premières coordonnées cylindriques d'un point $`M`$ sont les coordonnées polaires du point $`m_{xy}`$ dans le plan $`xOy`$ (plan $`z=0`$). Ce sont aussi les coordonnées polaires du point $`M`$ dans le plan $`z=z_M`$.
+! *Note :* The first two cylindrical coordinates of a point $`M`$ are the polar coordinates
+of the point $`m_{xy}`$ in the plane $`xOy`$ (plan $`z=0`$). They are also the polar 
+coordinates of the poin $`M`$ in the plane $`z=z_M`$.
 
-\- Les coordonnées **$`\rho`$ **et **$`z`$** sont des *longueurs*, dont l'*unité S.I.* est le mètre, de symbole *$`m`$*.<br>
-\- La coordonnée **$`\varphi`$** est un angle, dont  l'*unité S.I.* est le radian, de symbole *$`rad`$*.
+\- The coordinates **$`\rho`$ **et **$`z`$** are *lengths*, whose l'*S.I. unit* is the meter, of symbol *$`m`$*.<br>
+\- The coordinate **$`\varphi`$** is an angle, whose l'*S.I. unit* is the radian, of symbol *$`rad`$*.
 
 **Unités S.I. : $`\rho\;(m)`$ , $`\varphi\;(rad)`$ , $`z\;(m)`$**
 
@@ -114,8 +118,16 @@ in $`z_M`$ on the $`Oz`$ axis will be $`(z_M, 0, 0)`$.
 
 * *CS330*
 
-\- Tout point $`M`$ de l'espace, excepté le point origine $`O`$,  est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cylindriques.<br>
-\- Au point origine $`O`$ est attribué les coordonnées cylindriques $`(0 , 0 , 0)`$.
+\- [ES] Cualquier punto $`M`$ en el espacio, excepto el punto de origen $`O`$, se 
+identifica de manera única por un único triplete compuesto por sus 3 coordenadas cilíndricas. <br>
+\- [FR] Tout point $`M`$ de l'espace, excepté le point origine $`O`$,  est repéré de 
+façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cylindriques.<br>
+\- [EN] Any point $`M`$ in space, except the origin point $`O`$, is identified 
+in a unique way by one and only one triplet made up of its 3 cylindrical coordinates. <br>
+
+\- [ES] En el punto de origen $`O`$ se le asignan las coordenadas cilíndricas $`(0,0,0)`$.
+\- [FR] Au point origine $`O`$ est attribué les coordonnées cylindriques $`(0,0,0)`$.
+\- [EN] At the origin point $`O`$ is assigned the cylindrical coordinates $`(0,0,0)`$.
 
 \- Escribimos / on écrit / we write : $`M(\rho_M,\varphi_M,z_M)`$
 
@@ -127,8 +139,14 @@ $`M(\rho , \varphi , z)`$, **$`\mathbf{M(\rho , \varphi , z)}`$**
 
 * *CS340*
 
+\- **Todo el espacio** está cubierto por coordenadas cilíndricas que varían independientemente
+en los dominios :
 \- **Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cylindriques variant indépendamment 
-dans les domaines $`\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[ `$  ,  
+dans les domaines :
+\- **All space** is covered by  the independently varying cylindrical coordinates
+in the domains :
+
+$`\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[ `$  ,  
 $`\varphi\in[0,2\pi[`$ et $`z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty\,[`$.
 
 **$`\mathbf{\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[}`$ , $`\mathbf{ \varphi\in[0,2\pi[ }`$ ,  $`\mathbf{ z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty[ } `$**
@@ -140,38 +158,38 @@ $`\varphi\in[0,2\pi[`$ et $`z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty\,[`$.
 
 ! <details markdown=1>
 ! <summary>
-! Notations sur les ensembles de nombres réels 
+! Notations on the sets of real numbers
 ! </summary>
-! * le symbole $`\infty`$ désigne l'infini.
-! * $`\mathbb{R}`$ : ensemble des nombres réels :
+! * the symbol $`\infty`$ denores infinity.
+! * $`\mathbb{R}`$ : set of the real numbers :
 ! $`\mathbb{R}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\}\;=\;]-\infty , +\infty\,[`$.
-! * $`\mathbb{R}^{*}`$ : ensemble des nombres réels non nuls : 
+! * $`\mathbb{R}^{*}`$ : set of the non-zero real numbers : 
 ! $`\mathbb{R}^{*}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x\ne 0\}\; = \; ]-\infty , 0\,[ \;\cup\; ]\,0 , + \infty\,[`$.
-! * $`\mathbb{R}_+`$ : ensemble des nombres réels positifs : 
+! * $`\mathbb{R}_+`$ : set of the positive real numbers : 
 ! $`\mathbb{R}_+\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x \ge 0\}\; = \; [\,0 , + \infty\,[`$.
-! * $`\mathbb{R}_+`$ : ensemble des nombres réels négatifs : 
+! * $`\mathbb{R}_+`$ : set of the negative real numbers : 
 ! $`\mathbb{R}_+\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x \ge 0\}\; = \; ]-\infty , 0\,]`$.
-! * $`\mathbb{R}_+^{*}`$ : ensemble des nombres réels positifs non nuls : 
+! * $`\mathbb{R}_+^{*}`$ : set of the non-zero positive real numbers : 
 ! $`\mathbb{R}_+^{*}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x \le 0\}\; = \; ]\,0 , + \infty\,[ `$.
-! * $`\mathbb{R}_{-}^{*}`$ : ensemble des nombres réels négatifs non nuls : 
+! * $`\mathbb{R}_{-}^{*}`$ : set of the non-zero negative real numbers : 
 ! $`\mathbb{R}_{-}^{*}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x > 0\,]\;= \; ]-\infty , 0\,[ `$.
 !
 !    --------
-! * {...} indique un ensemble d'éléments.
-! *  la liste, le texte ou l'expression logique ... précise les éléments de l'ensemble.
-! *  on peut donner un nom à l'ensemble : exemple : A={...}.
-! *  le symbole " $`|`$ " signifie "tel que". Exemple :<br>
-!    $`\{x\in\mathbb{R} | x \lt 0\}`$ désigne lensemble des nombre réels x, tels que $`x \lt 0`$.
+! * {...} indicates a set of elements.
+! * the list, the text or the logical expression in "..." specifies the elements of the set.
+! * we can give a name to the set : example : A={...}.
+! * the symbol " $`|`$ " means "such as". Example :<br>
+!    $`\{x\in\mathbb{R} | x \lt 0\}`$ designates the set of the real numbers x, such as $`x\lt 0`$.
 !
 !   -------
-!  Les intervalles par l'exemple :
-! * $` [2 , 3] `$ : intervalle des nombres réels compris entre 2 et 3, 2 et 3 étant inclus.
-! * $` ]2 , 3[ `$ : intervalle des nombres réels compris entre 2 et 3, 2 et 3 étant exclus.
-! * $` [2 , 3[ `$ : intervalle des nombres réels compris entre 2 et 3, 2 étant inclus et 3 exclus.
-! * $` ]2 , 3 ]`$ : intervalle des nombres réels compris entre 2 et 3, 2 étant exclus et 3 inclus.
-! * fait appel à la notion mathématique de limite.
-! * L'infini est toujours exclu, on ne peut jamais l'atteindre, il ne peut pas être inclus :<br>
-! $`]-\infty`$ et pas $`\require{cancel}\xcancel{[-\infty}`$ , $`+\infty[`$ et pas $`\require{cancel}\xcancel{+\infty]}`$
+!  The intervals, using examples: :
+! * $` [2 , 3] `$ : range of real numbers between 2 and 3, 2 and 3 being included.
+! * $` ]2 , 3[ `$ : range of real numbers between 2 and 3, 2 and 3 being excluded.
+! * $` [2 , 3[ `$ : range of real numbers between 2 and 3, 2 being included and 3 excluded.
+! * $` ]2 , 3 ]`$ : range of real numbers between 2 and 3, 2 being excluded and 3 included.
+! * uses the mathematical notion of limit.
+! * Infinity is always excluded, we can never reach it, it cannot be included :<br>
+! $`]-\infty`$ and not $`\require{cancel}\xcancel{[-\infty}`$ , $`+\infty[`$ and not $`\require{cancel}\xcancel{+\infty]}`$
 !
 ! </details>
 
@@ -199,9 +217,9 @@ Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelcon
 $`M(\rho, \varphi, z)`$ , **$`\mathbf{M(\rho, \varphi, z)}`$** -->
 
 
-#### Base vectorielle et repère de l'espace associés
+#### Cylindrical vector base and associated  ... ?
 
-##### Variation d'une coordonnée et longueur du parcours associée
+##### Variation of a coordinate and associated path length
 
 * *CS360* 
 
@@ -256,7 +274,7 @@ $`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\phi}=\rho\,d\varphi`$ , , **$`\mathbf{dl_{\varp
 
 <br>$`dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}`$ , **$`\mathbf{dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}}`$**
 
-#### Base vectorielle et repère de l'espace associés
+##### Cylindrical vector base and associated  ... ?
 
 * *CS380*