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title: 'nouveau cours : synthèse' |
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### Le miroir |
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#### Qu'est-ce qu'un miroir ? |
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##### Objectif |
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* premier : **réfléchir** la lumière, **focaliser ou disperser la lumière**. |
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* ultime : **réaliser des images**, seul ou comme composant en série dans un système optique. |
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##### Principe physique |
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* utilise le **phénomène de réflexion**, décrit par la loi de la réflexion. |
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##### Constitution |
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* **surface** plane ou courbe (sphérique pour les plus simples à réaliser, |
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parabolique ou elliptique) **polie** finement de façon qu'en chaque point de sa surface, |
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son état de surface ne dévie de sa forme théorique que d'une distance inférieure à |
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$`\lambda/10`$ ($`\lambda`$ étant la longueur d'onde dans le vide de la lumière devant |
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être réfléchie). Pour accroître fortement sa réflectivité (pourcentage d'intensité lumineuse |
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réflechie par rapport à l'intensité lumineuse totale incidente), la surface est |
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**le plus souvent métallisée**. |
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##### Intérêt en optique |
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* **L'un des plus importants composants optiques simples**, utilisé *seul ou |
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combiné en série* avec d'autres composants optiques dans des d'instruments optiques : |
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certains objectifs d'appareils photographiques, télescopes. |
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#### Pourquoi étudier les miroirs plans et sphériques ? |
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* Les **miroirs plans et sphériques** sont *techniquement les plus simples à réaliser*, |
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aussi sont-ils les *plus communs et moins chers*. |
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* En optique paraxial, les propriétés optiques d'un **miroir plan** sont celles |
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d'un *miroir sphérique dont le rayon de courbure tend vers l'infini*. |
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##### Miroir plan, miroirs sphériques concaves et convexes |
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Fig. 1. Miroir a) plan b) concave c) convexe |
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#### Les miroirs plans et sphériques sont-ils stigmatiques ? |
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##### Stigmatisme rigoureux dun miroir plan |
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* Un miroir plan est **rigoureusement stigmatique*. |
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* Objet et image sont symétriques de chaque côté de la surface du miroir plan<br> |
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$`\Longrightarrow`$ Un objet réel donne une image virtuelle.<br> |
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Un objet virtuel donne une image réelle. |
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##### Non stigmatisme du miroir sphérique |
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* En chaque point d'un miroir sphérique, la loi de la réflexion s'applique. |
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* Un miroir sphérique est non stigmatique : tous les rayons (ou leurs prolongements) |
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issus d'un point objet, après réflexion ne convergent généralement pas vers un point image |
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(voir Fig. 2.) |
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* Un miroir sphérique à angle d'ouverture limité (angle $`\alpha`$ (rad) diminué sur les Fig. 3. et 4.) et utilisé de telle façon que les angles d'incidence restent petits |
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en tout point de sa surface (voir Fig. 4.) réalise les conditions de stigmatisme approché. |
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Fig. 2. Non stigmatisme du miroir sphérique |
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Fig. 3. Mais quand nous diminuons l'angles d'ouverture du miroir (valeur de $`\alpha`$ en rad) |
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<br> |
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Fig. 4 . et limitons l'utilisation du miroir de telle façon que les angles d'incidence restent |
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petits, alors un point image peut-être presque déterminé : le miroir devient quasi-stigmatique. |
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##### Conditions de Gauss / approximation paraxiale et stigmatisme approché |
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* Quand un miroir sphérique est utilisé dans les conditions suivantes, dites **conditions de Gauss** :<br> |
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\- Les *angles d'incidence restent petits*<br> |
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(les rayons incidents sont faiblement inclinés par rapport à l'axe optique, et interceptent la surface |
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sphérique du miroir au voisinage de l'axe optique),<br> |
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alors le miroir sphérique peut être considéré comme *quasi- stigmatique*, et ainsi |
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*peut être utilisé pour construire des images optiques*. |
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* Mathematiquement, quand un angle $`i`$ est petit ($`i < or \approx 10 ^\circ`$), |
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les approximations suivantes peuvent être faites :<br> |
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$`sin(i) \approx tg(i) \approx \i`$ (rad), et $`cos(i) \approx 1`$. |
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* L'optique géométrique limitée aux conditions de Gauss s'appelle l'**optique gaussienne** ou **optique paraxiale**. |
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#### Le miroir sphérique mince (optique paraxiale) |
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* Nous appelons **miroir sphérique mince** un *miroir sphérique utilisé dans les conditions de Gauss*. |
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##### Etude analytique (en optique paraxiale) |
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* **Relation de conjugaison du miroir sphérique mince** :<br><br> |
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$`\dfrac{1}{\overline{SA_{ima}}}+\dfrac{1}{\overline{SA_{obj}}}=\dfrac{2}{\overline{SC}}`$ (equ.1) |
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* **Expression du grandissement transversal** :<br><br> |
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$`\overline{\gamma_t}=-\dfrac{\overline{SA_{ima}}}{\overline{SA_{obj}}}`$ (equ.2) |
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Tu connais $`\overline{SA_{obj}}`$, tu calcules $`\overline{SA_{ima}}`$ en utilisant (equ. 1) |
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puis $`\overline{\gamma_t}`$ avec (equ.2), et déduis $`\overline{A_{ima}B_{ima}}`$. |
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! *UTILE 1* :<br> |
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! La relation de conjugaison et l'expression du grandissement transversal pour un miroir plan |
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! s'obtiennent en réécrivant ces deux équations pour un miroir sphérique dans la limite |
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! $`|\overline{SC}|\longrightarrow\infty`$.<br> |
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! Tu obtiens alors : $`\overline{SA_{ima}}= - \overline{SA_{obj}}`$ et |
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! $`\overline{\gamma_t}=+1`$. |
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! *UTILE 2* :<br> |
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! *Tu peux retrouver les équations* de conjugaison et du grandissement transverse *pour un miroir sphérique ou plan |
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et pour un dioptre plan, directement à partir de celles du dioptre sphérique*, en considérant les analogies suivantes :<br> |
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! - pour passer du dioptre au miroir : $`n_{eme}=-n_{inc}`$<br> |
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! (pour mémoriser : milieu d'incidence = milieu d'émergence, donc même vitesse de propagation apparente de la lumière, mais le |
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sens de propagation est inversé après la réflexion sur le miroir)<br> |
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! - pour passer du sphérique au plan : $`|\overline{SC}|\longrightarrow\infty`$ <br> |
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! Tu retrouves bien pour un miroir plan : $`\overline{SA_{ima}}= - \overline{SA_{obj}}`$ and $`\overline{M_T}=+1`$ |
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##### Etude graphique |
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*1 - Déterminer les points focaux objet et image* |
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Les position des points focaux objet F et image F’ se déduisent facilement de la relation de conjugaison (equ. 1). |
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* Distance focale image $`\overline{OF'}`$ : $`\left(|\overline{OA_{obj}}|\rightarrow\infty\Rightarrow A_{ima}=F'\right)`$<br><br> |
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(equ.1) $`\Longrightarrow\dfrac{1}{\overline{SF'}}=\dfrac{2}{\overline{SC}}\Longrightarrow\overline{SF'}=\dfrac{\overline{SC}}{2}`$ |
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* Distance focale objet $`\overline{OF}`$ : $`\left(|\overline{OA_{ima}}|\rightarrow\infty\Rightarrow A_{obj}=F\right)`$<br><br> |
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(equ.2) $`\Longrightarrow\dfrac{1}{\overline{SF}}=\dfrac{2}{\overline{SC}}\Longrightarrow\overline{SF}=\dfrac{\overline{SC}}{2}`$ |
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*2 - Représentation du miroir sphérique mince* |
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* **Axe optique = axe de symétrie de révolution** du miroir, **orienté** positivement dans le sens de la lumière incidente. |
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* Représentation du miroir sphérique mince :<br><br> |
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\-**sègment de droite**, perpendiculaire à l'axe optique, centré sur l'axe avec une *indication symbolique de la courbure de la surface du miroir* sur ses bords, et une *zone sombre ou hachurée du côté de la face non réfléchissante* du miroir.<br><br> |
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\-**sommet S**, qui indique la position du miroir sur l'axe optique.<br><br> |
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\-**point nodal C = centre de courbure**.<br><br> |
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\-**point focal objet F** et **point focal image F’**. |
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##### Exemples de constructions géométriques, avec résultats analytiques pour t'entraîner. |
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[Clique ici pour l'animation Geogebra](https://www.geogebra.org/m/jwgy9q7z) |
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* avec des **objets réels** |
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Fig. 5. Miroir concave avec objet situé entre moins l'infini et C. |
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Fig. 6. Miroir concave avec objet situé entre C et F/F’ |
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Fig. 7. Miroir concave avec objet situé entre F/F’ et S |
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Fig. 8. Miroir convexe |
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