Add new file

00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/vector-analysis/textbool.es.md

@@ -0,0 +1,740 @@
+---
+title : Collection disparate d'éléments de cours (étape 1) : vocabulaire et équations
+published : false
+visible : false
+---
+
+!!!! *ATTENTION* :
+!!!! Ce contenu n'est pas un cours validé !
+!!!! Page non répertoriée
+
+### IMPORTANTE / IMPORTANT
+
+[ES] Por favor, *debes agregar* lo que haces en tu universidad, si no está en la lista. 
+Para lo que está escrito en su idioma nativo, *debes borrar y volver a escribir* si
+usas otras palabras u otras explicaciones. Complete sus ecuaciones habituales 
+si son diferentes de las ya escritas. Escriba sus comentarios entre <!-- y --> <br>
+ejemplo: <!-- esto es un comentario -->
+<! - this is a comment ->
+
+[FR] *Il faut rajouter* ce que vous faites dans votre université, si ce n'est pas dans la liste. 
+Pour ce qui est écrit dans votre langue natale, *il faut effacer et écrire de nouveau*
+si vous utilisez d'autres mots ou d'autres expliactions. Compléter vos équations usuelles 
+si elles sont différentes de celles déjà écrite. Ecrivez vos commentaire entre <!-- et --> <br>
+exemple : <!-- ceci est un commentaire -->
+
+[EN] *You must add* what you do in your university, if it is not in the list. For what is written 
+in your native language, *you must erase and rewrite* if you use other words or other explanations.
+ Complete your usual equations if they are different from those already written. 
+ Write your comments between <!-- et --> <br>
+example: <!-- this is a comment -->
+
+---
+
+"\<br>" impone un salto a la linea siguente.<br>
+"\<br>" impose un retour à la ligne.<br>
+"\<br>" impose a line break.
+
+---
+
+[ES] Esta es una oportunidad para estandarizar nuestros notación y vocabulario,<br> 
+http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102<br>
+o para indicar en el texto la equivalencia con la norma internacional si
+queremos mantener nuestras notaciones y vocabularios. Ejemplo :
+
+[FR] C'est l'occasion de normaliser notre notation et vocabulaire, <br>
+http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102<br>
+ou d'indiquer dans le texte l'équivalence avec la norme internationale si
+on souhaite garder nos notations et vocabulaires. Exemple :
+
+[EN] This is an opportunity to standardize our notation and vocabulary, <br>
+http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102<br>
+or to indicate in the text the equivalence with the international standard 
+if we wish to keep our notations and terms. Example :
+
+"élément scalaire de surface $`dA`$" au lieu de "surface élémentaire ou infinitésimale $`dS`$".
+
+---
+
+[ES] La oportunidad también de que un matemático verifique la conformidad de expresiones
+matemáticas lógicas. Ejemplo :
+
+[FR] L'occasion aussi de faire vérifier par un mathématicien la conformité des expressions
+mathématiques logiques. Exemple :
+
+[EN] The opportunity also to have a mathematician verify the conformity of logical
+mathematical expressions. Example :
+
+$`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2`$$`\quad
+\overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}`$
+
+https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11
+
+---
+
+## Colección de elementos del curso: conceptos, vocabulario y ecuaciones / Collection d'éléments de cours : Concepts, vocabulaire et équations / Collection of Course Elements: Concepts, Vocabulary and Equations
+
+
+### Vectores, análisis vectorial / Vecteurs, analyse vectorielle / Vectors, vector analysis
+
+(http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04)
+
+##### Vectores en el espacio euclidiano / Vecteurs dans un espace euclidien / Vectors in Euclidean Space
+
+[ES] 3 caracteristicas : norma, dirección y sentido ? <br>
+[FR] 3 caractéristiques : norme, direction et sens <br>
+[EN] 2 characteritics :  magnitude (or length) and direction.
+
+ATENCIÓN / ATTENTION / BE CAREFUL :
+[ES] matemáticamente, la palabra "dirección / direction / direction" no tiene el mismo significado en francés y español, y en inglés.
+[FR] mathématiquement, le mot dirección / direction / direction" n'a pas le même sens en français et espagnol, et en anglais.
+[EN] mathematically, the word "dirección / direction / direction" does not have the same meaning in French and Spanish, and in English.
+
+##### Significado de los vectores en mecánica / Signification des vecteurs en mécanique / Meaning of vectors in mechanics.
+
+* [ES] Los *vectores* pueden representar *diferentes cantidades físicas*. <br>
+_ejemplo: vector de velocidad del punto M, y la fuerza que se aplica al punto M._<br>
+[FR] Les *vecteurs* peuvent représenter des *grandeurs physiques différentes*.<br>
+_exemple : vecteur vitesse du point M, et la force qui s’applique sur le point M._<br>
+[EN] The *vectors* can represent *different physical quantities*. <br>
+_example: velocity vector of point M, and the force that applies to point M._
+
+* [ES] Las *normas* de vectores correspondientes a diferentes cantidades físicas _(ejemplo: 
+velocidad y fuerza)_ se expresan en *diferentes unidades* _(respectivamente: $`ms^{-1}`$ y $`N`$)_. 
+Ellos *no se pueden comparar*.<br>
+[FR] Les *normes* de vecteurs correspondant à des grandeurs physiques différentes _(exemple :
+vitesse et force)_ s’expriment dans des **unités différentes** _(respectivement : $`m.s^{-1}`$  
+et  $`N`$)_. Elles *ne peuvent pas être comparées*.<br>
+[EN] The *magnitudes* of vectors corresponding to different physical quantities _(example: speed
+and force)_ are expressed in *different units* _(respectively: $`ms^{-1}`$ and $`N`$)_. 
+They *cannot be compared*.
+
+##### Vectores colineales y no colineales / Vecteurs colinéaires et non colinéaires / Collinear and non-collinear vectors
+
+* [ES] Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si tienen *igual dirección*.<br>
+[FR] Deux *vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$* sont **colinéaires** s’ils ont la *même direction* :<br>
+[EN] Two **vectors $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** are **collinear** if they lie on the *same line or parallel lines* :<br>
+<br>Il existe alors un nombre réel $`\alpha`$ tel que l’on peut écrire $`\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$<br>
+" $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont colinéaires" $`\Longleftrightarrow \exists \alpha\in\mathbb{R}\quad\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
+
+
+* [ES]  Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si non tienen *igual dirección*.<br>
+[FR] Deux **vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** sont **non colinéaires** s’ils ont des *directions différentes*.<br>
+[EN] Two **vectors $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** are **non collinear** if they lie on *non parallel lines* :<br>
+<br>Pour tout nombre réel $`\alpha`$ on peut écrire $`\overrightarrow{A} \ne \alpha\cdot\overrightarrow{B}`$.<br>
+"$`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont non colinéaires" $`\Longleftrightarrow \forall\; \alpha\in\mathbb{R}`$$`\quad\overrightarrow{A} \ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
+                                   
+Fig "mechanics-vectors-collinear.png" ready for use.
+
+#### addition et soustraction de vecteurs
+
+
+#### vecteurs lié&s, vecteurs libres
+
+                                                     
+#### Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space
+
+#####  en un plano $`\mathcal{P}`$ / dans un plan $`\mathcal{P}`$ / in a plane $`\mathcal{P}`$
+
+* Definición / Définition :<br>
+[ES] **2 vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ pertenecientes a un plano $`\mathcal{P}`$, no nulos, no colineales y ordonados**
+en una secuencia $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forman una *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de este plano.<br>
+[FR] **2 vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ appartenant à un plan $`\mathcal{P}`$, non nuls, non colinéaires et ordonnés** 
+dans une suite $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$  forment une *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de ce plan.<br>
+[EN] ...
+
+* Propiedad / Propriété :<br>
+[ES] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ es una base de un plano $`\mathcal{P}`$, entonces cualquier *vector $`\vec{V}`$* de 
+$`\mathcal{P}`$ se descompone *de forma única* en una **combinación lineal** *de los vectores de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.<br>
+[FR] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ est une base d'un plan $`\mathcal{P}`$, alors tout *vecteur $`\vec{V}`$* de $`\mathcal{P}`$
+se décompose de *façon unique* en une **combinaison linéaire** *des vecteurs de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.<br>
+[EN] ...
+
+* Écriture mathématique :<br>
+"$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})`$ est une base de $`\mathcal{P}`$"
+$`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2`$$`\quad
+\overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}`$
+
+Fig "mechanics-vector-base-plane_L1200.gif" ready for use.
+
+##### en un espacio vectorial $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ / dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$ / in a vector space $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$
+
+ 
+* [ES] En matemáticas, una **secuencia** es un *conjunto ordenado de elementos*, llamados sus "términos".
+y que están *indexados por números naturales*.<br>
+[FR] En mathématiques, une **suite** est un *ensemble ordonné d'éléments*, appelés ses "termes" 
+et qui sont *indexées par les entiers naturels*.(le terme "n-uplet" n'est pas bon ...)<br>
+[EN] In mathematics, a **sequence** is an *ordered set of elements*, called its "terms"
+and which are *indexed by natural numbers*.
+
+
+* [ES] *$`n`$ vectores ordenados* en una secuencia $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forman 
+una **base de un espacio vectorial** $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ si *cualquier vector* de este 
+espacio se descompone de *manera única en una combinación lineal* de los vectores $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.<br>
+[FR] *$`n`$ vecteurs ordonnés* dans une suite $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forment
+une **base d'un espace vectoriel** $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$, si *tout vecteur* $`\vec{V}`$
+de cet espace $`\mathcal{E}`$ se décompose de *façon unique* en une *combinaison linéaire* des vecteurs  
+$`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.<br>
+[EN] *$`n`$ ordered vectors* in a sequence $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ form a 
+**basis of a vector space** $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$ if *any vector* of this space decomposes in 
+*a unique way* into a *linear combination* of the vectors $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.
+
+* "$`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ est une base de $`\mathcal{E}`$"$`
+\quad\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{E}`$$`\quad\exists ! (\alpha_1,\alpha_1,...;\alpha_1)\in\mathbb{R}^n`$$`\quad
+\overrightarrow{V}=\alpha_1\cdot\overrightarrow{a_1}+\alpha_2\cdot\overrightarrow{a_2}+...+\alpha_n\cdot\overrightarrow{a_n}`$
+
+* [ES] Para cualquier base denotamos los vectores base $`\vec{a_i}`$.
+(ejemplo : vectores de la base convencionale (no ortonormales) de un cristal en física
+del estado sólido/estructura de materiales) :<br>
+http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br>
+Reservamos la notación $`\vec{e_i}`$ para las bases normales y ortonormales:<br>
+http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.<br>
+<br>[FR] Pour un base quelconque nous notons les vecteurs de base $`\vec{a_i}`$.
+(exemple des vecteurs de base conventionnelle (non orthonormée) d'un cristal,
+en physique du solide/structure des matériaux) :<br>
+http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br>
+Nous réservons la notation $`\vec{e_i}`$ pour les vecteurs des bases normées et orthonormée :<br>
+http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.<br>
+<br>[EN] For any base we denote the base vectors $`\vec{a_i}`$.
+(example of the conventional base (not orthonormal) of a crystal, in solid state
+physics/structure of materials) :<br>
+http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br>
+We reserve the notation $`\vec{e_i}`$ for vectors of normal and  orthonormal bases :<br>
+http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.
+
+
+
+#### Sistemas de coordenadas / Systèmes de coordonnées - Repère de l’espace / Coordinate systems
+
+IMPORTANTE / IMPORTANT
+
+[ES] No veo en español o inglés la distinción entre "sistema de coordenadas" y
+lo que llamamos en Francia el "repère" asociado. ¿Me equivoco? Si esta diferencia 
+existe entre los tres idiomas, será importante explicarla en el curso.<br>
+Definir un "repère" me parece importante para hacer la distinción entre
+"repère" y marco de referencia...<br>
+[FR] Je ne vois pas en espagnol ou en anglais la distinction entre "système de coordonnées" et
+le repère associés. Je me trompe ? Si cette différence existent entre les trois langues,
+l'expliciter dans le cours sera important.<br>
+Définir la notion de repère me parait important pour faire la différence entre repère
+et référentiel...
+[EN] I don't see in Spanish or English the distinction between "coordinate system" and
+what we call in France the associated "repère". I am wrong? f this difference exists
+between the three languages, explaining it in the course will be important.<br>
+To define a "repère" seems to me important to me to make the distinction between
+"repère" and reference frame...
+
+
+* [ES] En mecánica clásica (no relativista), *el tiempo y el espacio no* están *acoplados*.<br>
+[FR] En mécanique classique (non relativiste) , *temps et espace* ne sont *pas couplés*.<br>
+[EN] In classical mechanics (not relativistic), *time and space* are *not coupled*.
+
+
+* [ES] *En el espacio*, la *posición de un punto M* se identifica a partir de un **punto O origen** del
+espacio por el **vector $`\overrightarrow{OM}`$**.<br>
+[FR] *Dans l’espace*, la *position d’un point M* est repérée à partir d’un **point O origine** de
+l’espace par le **vecteur $`\overrightarrow{OM}`$**.<br>
+[EN] *In space*, the *position of a point M* is marked from a **point origin O** of
+the space by the **vector $`\overrightarrow{OM}`$**.<br>
+
+* [ES] El *espacio clásico* de Newton tiene **3 dimensiones**. Esto significa que, desde el origen O del espacio,
+la posición de cualquier punto M se puede definir de forma única mediante 
+**3 números reales $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )`$**, llamados **coordenadas** (o coordenadas espaciales) 
+del punto M. Escribimos $`M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.<br>
+[FR] L’*espace classique de Newton* a **3 dimensions**. Cela signifie que, à partir de l’origine O de l’espace,
+la position de tout point M peut-être définie de façon unique par **3 nombres réels $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )`$**
+, appelés **coordonnées** (ou coordonnées spatiales) du point M. On écrit $`M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.<br>
+[EN] The Newton's *classical space* has **3 dimensions**. This means that, from the origin O of space,
+the position of any point M can be uniquely defined by **3 real numbers $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )`$**,
+called **coordinates** (or spatial coordinates) of point M. We write $`M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.
+
+* [ES] Si no nos referimos a un punto particular en el espacio, sino a un cualquier punto
+que puede estar en cualquier lugar del espacio, entonces sus coordenadas son
+variables reales, y simplemente escribimos $`M=M(\alpha, \beta, \gamma)`$.<br>
+[FR] Si nous ne faisons pas référence à un point particulier de l'espace, mais à un point
+quelconque pouvant se situer n'importe où dans l'espace, alors ses coordonnées sont des
+variables réelles, et nous écrivons simplement $`M=M(\alpha, \beta, \gamma)`$.<br>
+[EN] If we are not referring to a particular point in space, but to any point that can
+be located anywhere in space, then its coordinates are real variables, and we simply write
+$`M=M(\alpha, \beta, \gamma)`$.
+
+
+* [ES] Hay *varias formas posibles de definir unas coordenadas espaciales*: Hablamos de 
+** sistemas de coordenadas**.<br>
+[FR] ]Il y a *plusieurs façons possible de définir des coordonnées spatiales* : On parle de
+**systèmes de coordonnées**.<br>
+[EN] There are *several possible ways to define spatial coordinates*: We speak of 
+**coordinate systems**.
+
+* [ES] Se definen caracteres alfanuméricos específicos para los sistemas de coordenadas comunes:<br>
+\- *coordenades cartesianas* : **$`(x, y, z)`$ or $`(O, x_1, x_2, x_3)`$**<br>
+\- *coordenades cilindricas* https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 :
+**$`(\rho, \phi, z)`$** (o $`(r, \phi, z)`$ si hay una ambigüedad con $`\rho`$, 
+por ejemplo si $`\rho`$ se usa para la densidad densidad de carga eléctrica).<br>
+\- *coordenades esfèriques* : **$`(r, \theta, \phi)`$**<br>
+[FR] Des caractères alphanumériques spécifiques sont définis pour les systèmes de coordonnées 
+usuels :<br>
+\- *cartésiennes* : **$`(x, y, z)`$ or $`(O, x_1, x_2, x_3)`$**<br>
+\- *cylindriques* https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 :
+**$`(\rho, \phi, z)`$** (ou $`(r, \phi, z)`$  si il y a une ambiguïté avec $`\rho`$, 
+par exemple si $`\rho`$ est utilisé pour la charge (électrique) volumique).<br>
+\- *sphériques* : **$`(r, \theta, \phi)`$**<br>
+[EN] Specific alphanumeric characters are defined for some widely used coordinate systems :<br>
+\- *cartesian* : **$`(x, y, z)`$ or $`(O, x_1, x_2, x_3)`$**<br>
+\- *cylindrical* https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 :
+**$`(\rho, \phi, z)`$** (or $`(r, \phi, z)`$ if there is an ambiguity with $`\rho`$, 
+for example if $`\rho`$ is used for (electric) charge density).<br>
+\- *spherical* : **$`(r, \theta, \phi)`$**<br>
+<br>Par exemple à l'INSA au GP, on utilise $`(r, \theta, z)`$ et  $`(r, \theta, \phi)`$, ce qui
+fait que l'angle $`\theta`$ en coordonnées cylindriques est définit comme l'angle $`\phi`$
+en sphériques. C'est l'occasion de changer cela pour nous conformer aux normes, et pour redonner
+de la simplicité dans l'apprentissage des systèmes de coordonnées.
+
+
+#### Características de una base / Caractéristiques d’une base et d’un repère / Characteristics of a base
+
+##### Base normal / Base et repère normés / (Normal base ????)
+
+* [ES] Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$<br>
+[FR] Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ et repère normé  $`(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$<br>
+[EN] Normal base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$<br>
+
+* [ES] Los vectores de una **base normal** son *vectores de norma uno* : vectores unitarios.<br>
+[FR] Les vecteurs d'une **base normée** et d'un repère normé sont des *vecteurs de norme unité* : vecteurs unitaires.<br>
+[EN] The vectors of a **normal base** ???? (I am not sure at all here...) are *vectors with a magnitude 1* (1 in the unit system).
+
+*  $`||\overrightarrow{a}||=1\; ; \;||\overrightarrow{b}||=1\; ; \;||\overrightarrow{c}||=1`$ .
+
+##### Base ortogonal / Base et repère orthogonaux / Orthogonal base
+
+* Base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ et repère  $`(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ 
+
+* [ES] Los vectores de una **base ortongonale** son *vectores perpendiculares dos a dos*.<br>
+[FR] Les vecteurs d'une **base** ou d'un **repère orthogonal** sont des *vecteurs orthogonaux 2 à 2*.<br>
+[EN] The vectors of the **orthogonal base** or of the coordinate system are *orthogonal 2 to 2 vectors*
+
+*  $`\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\; ; \;\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}\; ; \;\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}`$.
+
+##### Base ortonormal / base et repère orthonormés / 
+
+* Base orthonormée $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / repère orthonormé $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$
+
+* orthonormé = **ortho**+*normé* :<br>
+\- ortho : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \vec{e_i}\perp\vec{e_j}`$.<br>
+\- normé : $`\forall \vec{e_i} \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\} \quad ||\vec{e_i}||=1`$.
+
+* orthonormé : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \overrightarrow{e_i}\cdot\overrightarrow{e_j}=\delta_{i\,j}`$<br>
+avec le **symbole e Kronecker $`\delta_{i\,j}`$** défini par :<br>
+$`\delta_{i\,j}=1`$ si $`i=j\quad`$ et $`\quad\delta_{i\,j}=0`$ si $`i \ne j`$
+
+
+
+#### Regla de la mano derecha  / règle de la main droite / right-hand rule 
+
+* Dos vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ distintos de cero, unitarios y ortogonales, forman
+una base ortonormal $`(\vec{a},\vec{b})`$ de un plano en el espacio.
+* Deux vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ non nuls, unitaires et orthogonaux forment
+une base orthonormée $`(\vec{a},\vec{b})`$  d'un plan dans l'espace.
+ 
+
+* [ES] Esta base $`(\vec{a},\vec{b})`$ se puede completar con un tercer vector $`\ve{c}`$, unitario
+ y perpendicular a $`\vec{a}`$ y a $`\vec{b}`$, para formar una base ortonormal
+$`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ del espacio.<br>
+<br> [FR] Cette base $`(\vec{a},\vec{b})`$ peut être complétée par un troisième vecteur $`\vec{c}`$, unitaire 
+ et perpendiculaire à $`\vec{a}`$  et à $`\vec{b}`$, pour former une base orthonormée 
+$`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ de l'espace.
+
+* Este tercer vector $`\vec{c}`$ perpendicular a los vectores $`\vec{a}`$ y
+  $`\vec{b}`$ tiene **una dirección**, la 
+línea recta normal (perpendicular) al plano $`\mathcal{P}`$, pero hay **dos sentidos posibles** 
+para este vector $`\vec{c}`$.<br>
+Estos dos posibles sentidos se distinguen por una *regla de orientación del espacío*: la
+**regla de los 3 dedos de la mano derecha**.<br>
+<br> Ce troisième vecteur $`\vec{c}`$ perpendiculaire à la fois aux vecteurs  $`\vec{a}`$  et
+ $`\vec{b}`$ possède **une direction**, la *droite normale (perpendiculaire)  au plan
+ $`\mathcal{P}`$, mais il y a **deux sens possibles** pour ce vecteur $`\vec{c}`$.<br>
+Ces deux sens possibles sont distingués par une *règle d’orientation de l’espace* : 
+la **règle des 3 doigts de la main droite**.
+
+Fig "physics-mechanics-space-orientation-right-hand-rule-direction_L1200_horiz_vert.jpg" ready for use.
+
+
+#### Repère orthonormé direct / indirect 
+
+---------
+
+####  Producto escalar de dos vectores, y norma de un vector / Produit scalaire de 2 vecteurs, et norme d’un vecteur /
+
+
+##### valable dans une base $`(\vec{a},\vec{b})`$ quelconque d'un plan $`\mathcal{P}`$
+
+$`\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})`$
+
+$`\Longrightarrow`$ commutativité : 
+$`\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})\in\mathcal{P}^2\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{U}`$
+
+$`\Longrightarrow`$ associativité : 
+$`\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})\in\mathcal{P}^3`$
+$`\quad\overrightarrow{U}\cdot(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{W}`$
+
+$`\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{U}=U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b}`$<br>
+$`\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{V}=V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b}`$<br>
+$`\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=(U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b})\cdot (V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b})`$<br>
+$` = U_a\,V_a\,(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a})+U_a\,V_b\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})`$
+$`+U_b\,V_a\,(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})+U_b\,V_b\,(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b})`$<br>
+$`= U_a\,V_a\,\overrightarrow{a}^2 + U_b\,V_b\,\overrightarrow{b}^2 + (U_a\,V_a+U_b\,V_a)\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})`$
+
+##### Norma de un vector / norme d'un vecteur / vector magnitude
+
+[EN] magnitude = length
+
+$`||\overrightarrow{U}||=\sqrt{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}}=\overrightarrow{U}^{\frac{1}{2}}`$
+
+##### Vector unitario / Vecteur unitaire / Unit vector
+
+$`\overrightarrow{U}`$ est unitaire $`\quad\Longleftrightarrow\quad ||\overrightarrow{U}||=1`$
+
+##### Producto escalar de dos vectores colineales / Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires / Scalar product of 2 collinear vectors
+
+[EN] scalar product = dot product
+
+$`\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{V}`$ sont colinéaires
+$`\quad\Longleftrightarrow\quad (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{0,\pi\}`$
+$`\quad\Longleftrightarrow\quad cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{-1,+1\}`$
+
+$`\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{V}`$ sont colinéaires 
+$`\;\Longrightarrow\left|\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=+\;||\overrightarrow{U}||\cdot
+||\overrightarrow{V}||\;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=0 
+\\ \,
+\\
+ \overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=-\;||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||
+ \;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=\pi\end{array}\right.`$ 
+ 
+
+##### Producto escalar de dos vectores ortogonales / Produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux / Scalar product of two orthogonal vectors
+
+$`\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad, \forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$
+$`\overrightarrow{U}\perp\overrightarrow{V}\Longleftrightarrow\widehat{\overrightarrow{U},
+\overrightarrow{V}}=\dfrac{\pi}{2}\Longleftrightarrow cos(\widehat{\overrightarrow{U},
+\overrightarrow{V}})=0`$**$`\Longrightarrow\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=0`$**.
+
+##### Producto escalar de dos vectores en una base ortonormal del espacio / Prduit scalaire de deux vecteurs 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Scalar product of 2 vectors in an orthonormal basis
+
+"$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée.
+$`\quad\Longrightarrow`$
+$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ 
+$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$  
+**$`\displaystyle\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + ... + U_n\,V_n = \sum_{i=1}^n\;U_i\,V_i`$**
+
+
+##### Cálculo del ángulo entre 2 vectores en una base ortonormal del espacio / Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Calculation of the angle between 2 vectors in an orthonormal basis
+
+Plano euclidiano / plan euclidien / euclidian space : $`n=3`$ :
+
+$`\left.\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot 
+cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}) \\
+\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3\end{array}\right|`$
+$`\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=\dfrac{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}}
+{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}`$
+$`\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=\dfrac{U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3}
+{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}`$
+**$`\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}= arcos\left(\dfrac{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}}
+{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}\right)`$**
+**$`\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}= arcos\left(\dfrac{U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3}
+{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}\right)`$**
+
+L'angle est donné en valeur non algébrique et exprimé en radian :
+$`\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\quad`$ (rad).
+
+#### Producto vectorial de 2 vectores / Produit vectoriel de 2 vecteurs / Vector product of 2 vectors
+
+Selon http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-36,
+il faudrait mieux utiliser en France la notation $`\vec{U}\times\vec{V}`$ plutôt
+que $`\vec{U}\land\vec{V}`$.
+On le fait pour le cours en français, ou alors on garde notre notation en expliquant
+notre différence avec la notation anglosaxonne ?
+
+##### Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.
+
+* [ES]  .<br>
+[FR] Le produit vectoriel de deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$ non nuls et non 
+colinéaires de l'espace, noté $`\vec{U}\land\vec{V}`$ est un vecteur $`\vec{W}`$ :<br>
+\- de norme $`||\overrightarrow{W}||=||\overrightarrow{U}|\cdot||\overrightarrow{V}|\cdot sin(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})`$<br>
+(l'angle est donné en valeur non algébrique et exprimé en radian : $`\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\;`$ (rad) ).<br>
+\- de direction perpendiculaire au plan définit par les deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$
+: $`\overrightarrow{W}\perp\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{W}\perp\overrightarrow{V}`$<br>
+\- de sens donné par la règle de la main droite : si le sens du premier vecteur $`\vec{U}`$ 
+est indiqué par le pouce, le sens du deuxième vecteur $`\vec{V}`$ par l'index, alors le sens du
+produit vectoriel $`\vec{W}=\vec{U}\land\vec{V}`$ est donné par le majeur.<br>
+[EN] .
+
+* [ES]   .<br>
+[FR] La norme $`||\vec{U}\land\vec{V}||`$ du produit vectoriel de deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$ a pour valeur numérique
+l'aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$.<br>
+[EN]     .
+
+* [ES]  .<br>
+[FR] On note que, du fait de l'utilisation une fois (ou d'un nombre impair de fois) d'une (même) règle d'orientation 
+de l'espace dans sa définition, le produit vectoriel est anti-commutatif :<br>
+$`\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}=\,-\,\overrightarrow{V}\land\overrightarrow{U}`$.<br>
+[EN]
+
+* [ES]  .<br>
+[FR] Le produit vectoriel est distributif par rapport à l'addition de deux vecteurs :<br>
+$`\overrightarrow{U}\land\,(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})=
+\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{W}`$.<br>
+[EN]
+
+##### En relation avec les symétries ...
+
+Le produit scalaire de deux vecteurs vraies (ou polaires) est un vecteur axial (ou pseudo vecteur)...
+
+##### Pour un chemin sur les 4 niveaux ...
+
+Scalaire = tenseur de rang 0, vecteur = tenseur de rang 1, tenseurs de rang 2, 3, 4 ...
+tenseur polaires et tenseurs axiaux ...
+
+Physique classique :<br>
+grandeurs physique : rang 0 polaire : température,...
+grandeurs physique : rang 1 polaire : position, vitesse, accélération, force, champ électrique...<br>
+grandeurs physique : rang 1 axial : moment d'un force, vitesse angulaire, champ magnétique...<br>
+grandeurs physique : rang 2 polaire : contrainte, déformation, ...<br>
+propriété physique : rang 1 polaire : effet pyroélectrique,  ...<br>
+propriété physique : rang 2 polaire : dilatation themique, ...<br>
+propriété physique : rang 3 polaire : effet piézoélectrique, ...<br>
+propriété physique : rang 4 polaire : élasticité, rigidité, ...<br>
+Physique relativiste :<br>
+tenseur de courbure, tenseur énergie-impulsion, ...
+
+
+##### Componentes de un producto vectorial en base ortonormal / Composantes d'un produit vectoriel dans une base orthonormée / Components of a vector product in an orthonormal basis
+
+$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée
+$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ 
+$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$  
+
+* [FR] For the expression of a vector $`\vec{U}`$ in the base $`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$,
+we shouldn't we use (http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04) : <br>
+$`\overrightarrow{U}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$ or $`\overrightarrow{U}=\begin{bmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{bmatrix}`$
+instead of $`\overrightarrow{U}=\left|\begin{array}{l}U_1\\U_2\\U_3\end{array}\right.`$ as we do at INSA ?
+
+* [ES]  <br>
+[FR] méthode des produits en croix :<br>
+[EN] <br>
+$`\forall\overrightarrow{U}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$
+$`\quad\forall\overrightarrow{V}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$
+$`\quad\vec{U}\land\vec{V}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}\land\begin{pmatrix}V_1\\V_2\\V_3\end{pmatrix}`$
+$`\begin{pmatrix}U_2 V_3 - U_3 V_2\\U_3 V_1 - U_1 V_3\\U_1 V_2 - U_2 V_1\end{pmatrix}`$
+$`=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrightarrow{e_2}`$
+$`-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}`$
+
+
+* [ES]  <br>
+[FR] <br>
+[EN] method similar to the sum used to obtain the determinant of a matrix :<br>
+<br>$`\vec{U}\land\vec{V}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_1}&\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3}\\
+U_1 & U_2 & U_3\\V_1 & V_2 & V_3\end{vmatrix}`$
+$`=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrightarrow{e_2}`$
+$`-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}`$
+
+
+#### Producto mixto de 2 vectores / Produit mixte de 3 vecteurs / Scalar triple product of 3 vectors
+
+* [ES] Producto triple escala = producto mixto.<br>
+[FR] Produit mixte.<br>
+[EN] Scalar triple product = triple product.
+
+* [ES] :<br>
+[FR] Le produit mixte de 3 vecteurs ordonnés $`\vec{U}`$, $`\vec{V}`$ et $`\vec{W}`$, 
+noté $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ est le scalaire (pseudo-scalaire) défini par :<br>
+[EN] :<br>
+$`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot (\overrightarrow{V}\land\overrightarrow{W})`$
+
+* 	Propiedades / Prppriétés / Properties :<br>
+<br> $`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})
+=(\overrightarrow{V},\overrightarrow{W},\overrightarrow{U})
+=(\overrightarrow{W},\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})`$<br>
+<br> $`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})
+=-\,(\overrightarrow{V},\overrightarrow{U},\overrightarrow{W})
+=-(\overrightarrow{U},\overrightarrow{W},\overrightarrow{V})
+=-(\overrightarrow{W},\overrightarrow{V},\overrightarrow{U})`$
+
+##### Componentes de un producto mixto en base ortonormal / Composantes d'un produit mixte dans une base orthonormée / Components of a triple product in an orthonormal basis
+
+$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée
+$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ 
+$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$  
+$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{W}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{W}=\sum_{i=1}^n\;VW_i\cdot\vec{e_i}`$  
+* [ES] :<br>
+[FR] Le produit mixte $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ se calcule comme le déterminant 
+de la matrice formée par les coordonnées ordonnées en ligne des trois vecteurs 
+$`\vec{U}`$, $`\vec{V}`$ et $`\vec{W}`$ ordonnés en colonne :<br>
+[EN] :<br>
+<br>$`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})=\begin{vmatrix} U_1 & U_2 & U_3\\
+V_1 & V_2 & V_3\\W_1 & W_2 & W_3\end{vmatrix}`$
+$`=U_3 V_1 W_2 + U_1 V_2 W_3 + U_2 V_3 W_1 - U_2 V_1 W_3 - U_3 V_2 W_1 - U_1 V_3 W_2`$
+
+
+##### Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.
+
+[ES] <br>
+[FR] Le module du produit mixte de trois vecteurs $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ 
+donne le volume du parallélépipède construit à partir des trois vecteurs appliqués en un même point de l'espace.<br>
+[EN]
+
+Figure à créer.
+
+#### Différentielle d'un vecteur
+
+Por INSA / pour l'INSA / for INSA :
+
+![](vector-differential_PolyINSA.png)
+
+Consédérons un vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ susceptible d'évoluer dans le temps, à la fois
+en direction et en norme. Entre un instant $`t`$ et $`t+dt`$ (avec $`dt`$ une variation
+infinitésimale du temps) le vecteur a varié d'une quantité $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$
+que l'on appelle la différentielle du vecteur $`\vec{OM}`$. Ainsi on peut écrire :<br>
+
+$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t)`$
+
+La figure ci-contre représente les vecteurs $`\overrightarrow{OM}(t+dt)`$, $`\overrightarrow{OM}(t)`$
+et $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$. 
+
+Plutôt que d'utiliser les vecteurs de base "conventionnels" $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y}`$, 
+nous allons exprimer l'ensemble des vecteurs dans la base $`\overrightarrow{e_{||}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\perp}}`$.
+
+Le vecteur $`\overrightarrow{E_{||}}`$ est parallèle à $`\overrightarrow{OM}`$ à l'instant
+$`t`$ de sorte que $`\overrightarrow{OM}=||\overrightarrow{OM}|| \cdot\overrightarrow{e_{||}}`$.
+De la même manière le vecteur $`\overrightarrow{E_{\perp}}`$ est perpendiculaire à $`\overrightarrow{OM}`$ à l'instant
+$`t`$. Ici nous considérons le cas général dans lequel le vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ 
+a pu, pendant le temps $`dt`$, à la fois s'allonger et tourner d'un angle infinitésimal
+$`\Psi`$ (avec $`\Psi=\Psi(t+dt)-\Psi(t)`$).
+
+Nous décomposons le vecteur $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$ de la manière suivante (conférer figure) :
+
+$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}
++d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}`$
+
+Dans la limite où $`\Psi`$ tend vers $`0`$, $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$ 
+va s’aligner avec $`\overrightarrow{e_{||}}`$. Dans cette situation,
+$`\left|\left|d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}\right|\right|`$ correspond 
+simplement à l’allongement du vecteur $`\overrightarrow{OM}`$. Ainsi 
+$`\left|\left|d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}\right|\right|=\left|\left|d
+\overrightarrow{OM}(t)\right|\right|`$.
+Par construction, le vecteur $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}`$ va 
+s’aligner avec le vecteur unitaire $`\overrightarrow{e_T}`$ (toujours dans la limite
+où $`\Psi`$ tend vers $`0`$). En utilisant le triangle rectangle, nous déduisons que
+sa norme vaut :<br>
+$`\left|\left|d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}\right|\right|
+= \left|\left|d\overrightarrow{OM}(t)\right|\right|\cdot tan (d\Psi)`$
+$`= \left|\left|d\overrightarrow{OM}(t)\right|\right|\cdot d\Psi`$.
+Ainsi, la différentielle du vecteur $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$
+s'écrit de la manière suivante :
+
+$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=d\left|\left|\overrightarrow{OM}(t)_{\perp}\right|\right|
+\cdot \overrightarrow{e_{||}}\,+\,\left|\left|\overrightarrow{OM}(t)_{\perp}\right|\right|
+\cdot d\Psi\cdot\overrightarrow{e_{\perp}}`$
+
+La différentielle d'un vecteur peut aussi être calculée directement à partir de son 
+expression analytique. Considérons l'exemple suivant : 
+
+$`\overrightarrow{OM}(t)=A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}+B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}`$
+
+Ce vecteur est exprimé dans la base des vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$ 
+et $`\overrightarrow{e_y})`$ qui sont "fixes" dans le référentiel d'observation. 
+Les coordonnées $`A(t)`$ et $`B(t)`$ dépendent du temps avec, par exemple
+$`A(t)=t^2`$, et $`B(t)=4t`$. La différentielle n'étant qu'une "simple" opération
+de soustraction vectorielle, elle est distributive de sorte que :
+
+$`d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)=d\left(A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}\right)
++d\left(B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right)`$
+$`=d\left(A(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_x}
++d\left(B(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_y}`$
+$`+A(t)\cdot d\overrightarrow{e_x} + B(t)\cdot d\overrightarrow{e_y}`$
+
+Or les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y})`$ sont fixes, 
+on a donc :
+
+$`d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)=d\left(A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}\right)
++d\left(B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right)`$
+$`=d\left(A(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_x}
++d\left(B(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_y}`$
+$`=d\left(t^2\right)\cdot\overrightarrow{e_x}
++d\left(4t\right)\cdot\overrightarrow{e_y}`$
+$`2\,t\,dt\cdot\overrightarrow{e_x}
++4\,dt\cdot\overrightarrow{e_y}`$
+
+
+
+#### Dérivée d’un vecteur par rapport au temps
+
+Por INSA / pour l'INSA / for INSA :
+
+$`\displaystyle\dfrac{d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)}{dt}
+=\lim_{dt\rightarrow 0}
+\left(
+\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t))}{dt}
+\right)`$
+
+
+##### Propongo el siguiente escrito (a discutir) / Je propose l'écriture suivante (à débattre) / I propose the following writing (to be discussed)
+
+* [ES] En la escritura de una ecuación, vemos con relativa frecuencia vemos el error de tipo :<br>
+[FR] Dans l'écriture d'une équation, nous voyons relativement souvent l'erreur de type :<br>
+[EN] In the expression of an equation, we relatively often see the type of error :<br>
+<br> $`d ... = \int ... d...`$<br>
+[ES] En una parte del curso "Atención" (fondo rojo), deberíamos explicar esto.<br>
+[FR] Dans une partie de cours "Attention" (fond rouge), nous devrions expliquer cela.<br>
+[EN] In a part of the course "Attention" (red background), we should explain this.
+
+* [ES] Si $`xxx`$ es una cantidad física escalar o vectorial, propongo que $`dxxx`$ significa una 
+variación infinitesimal de esta cantidad y $`\Delta xxx`$ una variación macroscópica.<br>
+[FR] Si $`xxx`$ est une grandeur physique scalaire ou vectorielle, je propose que $`dxxx`$ signifie 
+une variation infinitésimale de cette grandeur, et d$`\Delta xxx`$ une variation macrosocpique.<br>
+[EN] If $`xxx`$ is a scalar or vector physical quantity, I propose that $`dxxx`$ means an infinitesimal
+variation of this quantity, and $`\Delta xxx`$ a macrosocpic variation.<br>
+<br> Ainsi
+<br> $`\displaystyle\dfrac{d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)}{dt}
+=\lim_{dt\rightarrow 0}
+\left(
+\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t))}{dt}
+\right)`$
+<br>deviendrait<br>
+<br> $`\displaystyle\dfrac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}
+=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}
+\left(
+\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+\Delta t)-\overrightarrow{OM}(t))}{\Delta t}
+\right)`$
+$`=\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t)}{dt}`$<br>
+<br>
+[ES] En las expresiones anteriores, también simplificaría la escritura. Algunos ejemplos :<br>
+[FR] Sur les expressions ci-dessus, cela permettrait aussi de simplifier l'écriture. Quelques exemples : :<br>
+[EN] On the expressions above, it would also simplify the writing. Some examples :
+
+
+* Asi / ainsi / thus :<br>
+$`d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)=d\left(A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}\right)
++d\left(B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right)`$
+$`=d\left(A(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_x}
++d\left(B(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_y}`$
+$`+A(t)\cdot d\overrightarrow{e_x} + B(t)\cdot d\overrightarrow{e_y}`$<br>
+se convertiría en / deviendrait / would become :<br>
+$`d\overrightarrow{OM}(t)=d\left[A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}+B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right]`$
+$`=d\left[A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}\right]+d\left[B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right]`$
+$`=dA(t)\cdot\overrightarrow{e_x}+A(t)\cdot d\overrightarrow{e_x}
++d(B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}+ B(t)\cdot d\overrightarrow{e_y}`$
+
+* Asi / ainsi / thus :<br>
+$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}
++d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}`$<br>
+se convertiría en / deviendrait / would become :<br>
+$`d\overrightarrow{OM}(t)=d\overrightarrow{OM}_{||}(t)
++d\overrightarrow{OM}_{\perp}(t)`$<br>
+con / avec / with <br>
+$`\overrightarrow{OM}_{||}=(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{e_{||}})\,\overrightarrow{e_{||}}\quad`$ and 
+$`\quad\overrightarrow{OM}_{\perp}=(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{e_{\perp}})\,\overrightarrow{e_{\perp}}`$ 
+
+
+
+
+