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title : The curl vector |
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published : false |
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visible : false |
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## Le rotationnel |
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### Opérateur, vecteur, champ rotationnel |
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### Intérêt du vecteur rotationnel |
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La visualisation des lignes d'un champ vectoriel montre parfois qu'au voisinage |
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de certains points de l'espace, les lignes semblent tourner autour de ce point |
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dans un plan donné. |
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Exemple : Visualisation du champ vectoriel créé par trois fils rectilignes infinis |
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parallèles parcourus par des courant stationnaires (stationnaire est l'adjectif |
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qui précise "indépendant du temps"), dans un plan perpendiculaires à la direction |
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commune de ces trois fils : l'humain repère de suite les 3 points autour desquels |
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les lignes de champ s'enroulent. |
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Parfois cette observation d'un mouvement de rotation des lignes de champ autour |
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de certains points est peu visible. En effet le champ vectoriel peut être complexe. |
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Il peut par exemple être la somme de trois champs. Au voisinage d'un point M de |
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l'espace, les lignes du premier champ peuvent garder une direction constante, |
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celles du second champ converger ou diverger à partir de ce point, et celles du |
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troisième tourner dans un sens ou dans l'autre autour de ce point dans un plan |
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donné passant par M. |
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L'extraction et la quantification de l'information "rotation" des lignes d'un champ |
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vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ au voisinage d'un point M est importante, et sera |
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donné par le vecteur $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}`$, $`\overrightarrow{X_M}`$ |
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étant le vecteur particulier au point M du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$. |
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L'ensemble des vecteurs $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}`$ étendu |
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à tous les points M de l'espace définit le champ rotationnel |
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$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ . |
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### Définition du vecteur rotationnel |
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Un champ vectoriel, par définition, s'étend dans les trois directions de l'espace. |
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A priori, sauf dans des cas spécifiques très simples, la direction autour de |
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laquelle une composante tournante du champ vectoriel est non visible et inconnue. |
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Je ne peux donc que tester la composante rotation du champ vectoriel |
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$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ en un point M |
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et autour d'un axe arbitraire représenté par un vecteur unitaire . |
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Je considère, dans le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{n}`$ au point P, |
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un contour fermé C entourant le point M. Je choisi comme sens positif de circulation |
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sur ce contour C le sens positif conventionnel donné par la règle de la main droite : |
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si mon pouce tendu indique la direction du vecteur $`\overrightarrow{n}`$, alors |
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l'orientation de les quatre autres doigts indique le sens positif de rotation. |
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La circulation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ le long du contour C s'écrit |
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$`\displaystyle\oint_{C} \overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{dl}`$ |
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Ce contour C inscrit dans un plan délimite une surface plane d'aire S |
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$`\displaystyle S = \iint_{S \leftrightarrow C} dS`$ |
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Je diminue maintenant la taille de ce contour entourant le point M, de ce fait la |
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longueur l du contour C et l'aire S de la surface plane délimitée par C tendent |
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toutes deux vers zéro. Par définition, la limite lorsque C tend vers zéro du rapport |
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"circulation de $`\overrightarrow{X}`$ le long du contour C" par "l'aire S de la |
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surface plane délimitée par C" donne la composante dans la direction $`\overrightarrow{n}`$ |
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d'un vecteur appelé rotationnel du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ au point M. |
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L'écriture mathématique de cette définition est beaucoup plus simple : |
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$`\displaystyle \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{n} |
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=\lim_{C \to 0} \: \dfrac{\oint_C \overrightarrow{X} \cdot |
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\overrightarrow{dl}}{\iint_{S \leftrightarrow C} dS}\hspace{1 cm}`$ (1) |
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! *POINT DE DETAIL* :<br> |
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! Dire qu'un contour C tend vers zéro signifie que le rayon du cercle dans lequel |
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! s'inscrit du contour C tend vers zéro, la forme du contour restant inchangée. |
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Ainsi, si le plan dans lequel s'effectue la rotation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ |
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au voisinage de M est bien le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{n}`$, alors |
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le vecteur $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} indique bien la direction |
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et le sens de l'axe de rotation au point M. |
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En posant |
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$`\displaystyle d\mathcal{C}_M = \lim_{C \to 0} \: \oint_C \overrightarrow{X} |
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\cdot \overrightarrow{dl}\hspace{0.5 cm}`$, et $`\displaystyle \hspace{0.5 cm}dS_M = |
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\lim_{C \to 0} \: \iint_{S \leftrightarrow C} dS`$ |
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l'équation (1) se réécrit |
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$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{n}= |
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\dfrac{d\mathcal{C}_M}{dS_M}`$ |
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La circulation infinitésimal autour d'un point M d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ |
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sur un contour élémentaire orienté perpendiculairement à une direction représentée par un vecteur |
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unitaire $`\overrightarrow{n}`$ s'écrit |
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$`d\mathcal{C}_M = (\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}\cdot \overrightarrow{n} |
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) \ dS_M `$ |
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soit encore |
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$`d\mathcal{C}_M = \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}\cdot \overrightarrow{dS_M} |
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\hspace{1 cm}`$ (2) |
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où $`\overrightarrow{dS_M}`$ est le vecteur surface élémentaire, vecteur perpendiculaire |
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à la surface élémentaire $`dS_M`$ au point M et de norme égale à l'aire de la surface |
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élémentaire $`dS_M`$. |
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Les équations (1) et (2) restant valables en tout point de l'espace, je peux omettre |
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de préciser le point, et écrire plus simplement |
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$`\displaystyle \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{n} |
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=\lim_{C \to 0} \: \dfrac{\oint_C \overrightarrow{X} \cdot |
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\overrightarrow{dl}}{\iint_{S \leftrightarrow C} dS}\hspace{1 cm}`$ (3) |
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$`d\mathcal{C} = \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{dS} |
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\hspace{1 cm}`$ (4) |
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### Expression du vecteur rotationnel en coordonnées cartésiennes |
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Je repère l'espace avec trois axes orthogonaux $`Ox`$, $`Oy`$ et $`Oz`$ se coupant |
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en un point origine $`O`$, munie d'une même unité de longueur et décrivant un trièdre |
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direct. Tout point quelconque M de l'espace est ainsi repéré par ses trois coordonnées |
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cartésiennes $`(x_M, y_M, z_M)`$ et en M les trois vecteurs unitaires |
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$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$ associés aux |
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coordonnées définissent une base orthonormée directe. |
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Le vecteur au point quelconque M d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ de |
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composantes cartésiennes $`(X_M, Y_M, Z_M)`$ s'écrit |
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$`\overrightarrow{X_M} = X_M \cdot \overrightarrow{e_x} + Y_M \cdot \overrightarrow{e_y}+ |
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X_M \cdot \overrightarrow{e_z}`$ |
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Je vais tester la circulation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ dans les |
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trois directions indiquées par les vecteurs unitaires |
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$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$. Pour l'étude |
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de la composante de $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ selon z (composante |
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d'expression mathématique $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{e_z}`$ ), |
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je choisis dans le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_z}`$ et passant |
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par M le contour infinitésimal à l'expression la plus simple : le petit rectangle |
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ABCD de côtés parallèles aux vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y}`$, |
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de centre M et de côtés $`dl_x=dx`$ et $`dl_y=dy`$. J'oriente ce rectangle infinitésimal |
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ABCD selon la règle de la main droite, le pouce tendu en direction et sens du vecteur |
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$`\overrightarrow{n}`$. Ainsi, si le vecteur $`\overrightarrow{e_z}`$ pointe vers |
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mon oeil, alors le sens d'orientation du rectangle ABCD est le sens trigonométrique |
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direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). |
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Je connais l'expression analytique du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$, c'est |
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à dire les expressions analytique des composantes. |
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Je connais les composantes cartésiennes $`(X_M, Y_M, Z_M)`$ du vecteur $`\overrightarrow{X_M}`$ |
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au point M. Pour établir le champ rotationnel, je dois obtenir une expression analytique |
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de ce champ en tout point de l'espace. La circulation de sur ABDC est la somme des circulations |
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de $`\overrightarrow{X}`$ sur chacune des quatre branches AB, BC, CD et DA. |
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Soit la branche AB de centre P et dont l'ensemble des points admettent $`x_M-\dfrac{dx}{2}`$ |
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comme coordonnée selon x. L'orientation du rectangle élémentaire impose que le déplacement |
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élémentaire $`\overrightarrow{dl_{AB}}`$ de A vers b s'écrit |
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$`\overrightarrow{dl_{AB}}=-dy \cdot \overrightarrow{e_y}`$ |
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Au premier ordre, le vecteur $`\overrightarrow{X_P}`$ au point P est le vecteur moyen |
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du champ sur la branche AB, et son expression en fonction des composantes de $`\overrightarrow{X_M}`$ |
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et du déplacement élémentaire pour passer de M en P est |
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$`\displaystyle \overrightarrow{X_P}=\left[X_M + |
|||
\left.\dfrac{\partial X}{\partial x}\right|_M \cdot |
|||
\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$ |
|||
$`+\left[Y_M + \left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot |
|||
\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$ |
|||
$`+\left[Z_M + \left.\dfrac{\partial Z}{\partial x}\right|_M \cdot |
|||
\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$ |
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Le calcul de la circulation élémentaire de $`\overrightarrow{X}`$ sur la branche |
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AB me donne |
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$`\overrightarrow{dl_{AB}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}= |
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\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot |
|||
\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot (-dy)`$ |
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La même démarche appliquée à la branche opposée CD de centre R me donne |
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$`\overrightarrow{dl_{AB}}=+dy \cdot \overrightarrow{e_y}`$ |
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$`\displaystyle \overrightarrow{X_R}=\left[X_M + |
|||
\left.\dfrac{\partial X}{\partial x}\right|_M \cdot |
|||
\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$ |
|||
$`+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot |
|||
\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$ |
|||
$`+\left[Z_M+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial x}\right|_M \cdot |
|||
\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$ |
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|
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$`\overrightarrow{dl_{CD}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}= |
|||
\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot |
|||
\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot (+dy)`$ |
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La somme des circulations élémentaires sur les branches AB et CD se simplifie |
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$`\overrightarrow{dl_{AB}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ |
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\overrightarrow{dl_{CD}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}= |
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dx \cdot dy \cdot \left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \hspace{1 cm}`$ (5) |
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Le travail équivalent sur les branches BC de centre Q, et DA de centre S donne |
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$`\overrightarrow{dl_{BC}}=+dx \cdot \overrightarrow{e_x}`$ , |
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$`\displaystyle \overrightarrow{X_Q}=\left[X_M+\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M \cdot |
|||
\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$ |
|||
$`+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial y}\right|_M \cdot |
|||
\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$ |
|||
$`+\left[Z_M+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial y}\right|_M \cdot |
|||
\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$ , |
|||
|
|||
$`\overrightarrow{dl_{BC}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_Q}= |
|||
\left[X_M+\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M \cdot |
|||
\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot (+dx)`$ , |
|||
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$`\overrightarrow{dl_{DA}}=-dx \cdot \overrightarrow{e_x}`$ , |
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|
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$`\displaystyle \overrightarrow{X_S}= |
|||
\left[X_M+\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M \cdot |
|||
\left(+\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$ |
|||
$`+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial y}\right|_M \cdot |
|||
\left(+\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$ |
|||
$`+\left[Z_M+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial y}\right|_M \cdot |
|||
\left(+\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$ |
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ce qui conduit à |
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$`\overrightarrow{dl_{BC}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_Q}+ |
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\overrightarrow{dl_{DA}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_S}= - dx \cdot dy \cdot |
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\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M\hspace{1 cm}`$(6) |
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J'obtiens maintenant, en additionnant les deux équations (5) et (6) membre à membre, |
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l'expression de la circulation élémentaire du champ vectoriel sur le rectangle ABCD |
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perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_z}`$ : |
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$`\displaystyle d\mathcal{C}_M = \lim_{ABCD \to 0} \: \oint_{ABCD} \overrightarrow{X} |
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\cdot \overrightarrow{dl}`$ |
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$`=\overrightarrow{dl_{AB}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ |
|||
\overrightarrow{dl_{BC}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ |
|||
\overrightarrow{dl_{CD}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ |
|||
\overrightarrow{dl_{DA}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}`$ |
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$`= \left(\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M - |
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\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M\right)\cdot dxdy `$ |
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La surface élémentaire de ce rectangle ABCD élémentaire étant simplement $`dxdy`$, |
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je peux maintenant calculer la composante selon du vecteur rotationnel du champ |
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vectoriel au point M. En reprenant la définition (1), j'obtiens |
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$`\displaystyle \overrightarrow{rot} \; \overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{e_z} = |
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\lim_{C \to 0} \; \dfrac{\oint_{ABCD} \overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{dl}}{\iint_{ABCD} dS}`$ |
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$`=\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M -\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M`$ |
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Je peux reprendre la totalité du raisonnement précédent appliqué à des rectangles |
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élémentaires perpendiculaires respectivement aux vecteurs et , et j'obtiendrai |
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$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{e_x}= |
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\left.\dfrac{\partial Z}{\partial y}\right|_M -\left.\dfrac{\partial Y}{\partial z}\right|_M`$ |
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$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{e_y}= |
|||
\left.\dfrac{\partial X}{\partial z}\right|_M -\left.\dfrac{\partial Z}{\partial x}\right|_M`$ |
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