Soit $`P(x)`$ un prédicat à une indéterminée $`x`$ sur un ensemble $`E`$.
L'expression mathématique
**$`\mathbf{\exists x_0 \in E\;,\; P(x)}`$**
se lit
"*Il existe un $`x_0`$ appartenant à $`E`$, tel que l'assertion $`P(x_0)`$ est vérifiée.*"
et se comprend comme
"Il existe *au moins un* $`\mathbf{x_0}`$ appartenant à $`\mathbf{E}`$, tel que l'assertion $`\mathbf{P(x_0)}`$ est vérifiée."
Attention : Nous ne savons pas _a priori_ quel élément $`x_0`$ vérifie l'assertion $`P(x_0)`$. Nous savons simplement qu'il existe et nous pouvons travailler formallement avec.
!!! *$`\mathbf{E}`$* est l'*ensemble des étudiants*.
!!! Regardons les *prédicats* suivants :
!!! *$`\mathbf{P(x)}\;=\;`$ "L'étudiant $`x`$ possède un smartphone."*
!!! *$`\mathbf{P(x)}\;=\;`$ "L'étudiant $`x`$ possède un vélo."*
!!!
!!! La phrase mathématique
!!! $`\exists x \in E\; , \; A(x)\;\lor\;B(x)`$
!!! $`\;\Longleftrightarrow`$ $`\; \big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\lor\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$
!!! s'écrit en français
!!! "Dire qu'il existe au moins un étudiant qui possède un smartphone ou un vélo ou les deux, équivaut à dire
!!! "qu'il existe au moins un étudiant qui possède un smartphone, ou qu'il existe au moins un étudiant qui possède un vélo, ou qu'il existe au moins un étudiant qui possède les deux."
!!! $`\;\Longleftrightarrow`$ $`\; \big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\land\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$
!!! s'écrit en français
!!! Dire que tout étudiant possède un smartphone et un vélo équivaut à dire que tout étudiant possède un smartphone et que tout étudiant possède un vélo.
!!!
!!! [EN].
!!! ...
[EN].
...
--------------------
*MATH-REAS_130* : No distributividad / non distributivité / no distributivity : $`\exists\rightarrow\land`$
[ES].
...
[FR].
!!!! *ATTENTION :*
!!!!
!!!! *Non distributivité de $`\exists`$ avec $`ET`$ ($`\land`$)* :
!!!!
!!!! $`\exists x \in E\; , \; A(x)\;ET\;B(x)`$
!!!! *$`\require{cancel}\;\xcancel{\iff}\;`$* $`\big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;ET\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$
!!!! ou encore
!!!! $`\exists x \in E\; , \; A(x)\;\land\;B(x)`$
!!!! *$`\require{cancel}\;\xcancel{\iff}\;`$* $`\big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\land\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$
!!!!
!!!! *L'implication est vraie*,
!!!!
!!!! $`\mathbf{\exists x \in E\; , \; A(x)\;ET\;B(x)}`$
!!!! *$`\mathbf{\Longrightarrow}`$* *$`\mathbf{\big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;ET\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)}`$*
!!!! ou encore
!!!! *$`\mathbf{\exists x \in E\; , \; A(x)\;\land\;B(x)}`$*
!!!! *$`\mathbf{\Longrightarrow}`$* *$`\mathbf{\big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\land\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)}`$*
!!!!
!!!! mais *la réciproque est fausse*,
!!!!
!!!! $`\big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;ET\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$
!!!! *$`\require{cancel}\cancel{\Longrightarrow}\;`$* $`\exists x \in E\; , \; A(x)\;ET\;B(x)`$
!!!! ou encore
!!!! $`\big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\land\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$
!!!! *$`\require{cancel}\cancel{\Longrightarrow}\;`$* $`\exists x \in E\; , \; A(x)\;\land\;B(x)`$
[EN]
----------------------------------
*MATH-REAS_131* : No distrib. $`\exists\rightarrow\land`$, ejemplos / exemples / examples
_____*MATH-REAS_131.1*
!!! [ES]
!!! ...
!!!
!!! [FR]
!!! ...
!!!
!!! [EN]
!!! ...
_____*MATH-REAS_131.2*
!!! [ES]
!!! ...
!!!
!!! [FR]
!!! *Exemple 1 (suite) :*
!!!
!!! Les phrases mathématiques
!!! $`\exists x \in E\; , \; A(x)\;ET\;B(x)`$ (phrase 1)
!!! et
!!! $`\big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\land\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$ (phrase 2)
!!! s'écrivent respectivement :
!!! "Il existe au moins un étudiant qui possède un smartphone et un vélo." (phrase 1)
!!! et
!!! "Il existe au moins un étudiant qui possède un smartphone, et il existe au moins un étudiant qui possède un vélo." (phrase 2)
!!! ...
!!! Nous voyons bien que la prase (1) implique la phrase (2).
!!! Par contre la réciproque n'est vraie. Il se peut très bien qu'aucun des étudiants qui possèdent un smartphone (et il y en a au moins un) ne possède de vélo, et vice versa : la phrase (2) n'implique pas la phrase (1).
!!! Les phrases (1) et (2) ne sont pas équivalentes.
!!!
!!! [EN]
!!! ...
--------------------
*MATH-REAS_135* : No distributividad / non distributivité / no distributivity : $`\forall\rightarrow\lor`$
[ES].
...
[FR].
!!!! *ATTENTION :*
!!!!
!!!! *Non distributivité de $`\forall`$ avec $`OU`$ ($`\lor`$)* :
!!!!
!!!! $`\big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;OU\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$
!!!! *$`\require{cancel}\;\xcancel{\iff}\;`$* $`\forall x \in E\; , \; A(x)\;OU\;B(x)`$
!!!! ou encore
!!!! $`\big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\lor\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$
!!!! *$`\require{cancel}\;\xcancel{\iff}\;`$* $`\forall x \in E\; , \; A(x)\;\lor\;B(x)`$
!!!!
!!!! *L'implication est vraie*,
!!!!
!!!! *$`\mathbf{\big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;OU\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)}`$*
!!!! *$`\mathbf{\Longrightarrow}`$* *$`\mathbf{\forall x \in E\; , \; A(x)\;OU\;B(x)}`$*
!!!! ou encore
!!!! *$`\mathbf{\big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\lor\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)}`$*
!!!! *$`\mathbf{\Longrightarrow}`$* *$`\mathbf{\forall x \in E\; , \; A(x)\;\lor\;B(x)}`$*
!!!! $`\big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;OU\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$
!!!! ou encore
!!!! $`\forall x \in E\; , \; A(x)\;\lor\;B(x)`$
!!!! *$`\require{cancel}\cancel{\Longrightarrow}\;`$* $`\big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\lor\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$
[EN]
----------------------------------
*MATH-REAS_136* : No distrib. $`\forall\rightarrow\lor`$, ejemplos / exemples / examples
_____*MATH-REAS_136.1*
!!! [ES]
!!! ...
!!!
!!! [FR]
!!! ...
!!!
!!! [EN]
!!! ...
_____*MATH-REAS_136.2*
!!! [ES]
!!! ...
!!!
!!! [FR].
!!! *Exemple 1 (suite) :*
!!!
!!! Les phrases mathématiques
!!! $`\forall x \in E\; , \; A(x)\;OU\;B(x)`$ (phrase 1)
!!! et
!!! $`\big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\lor\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$ (phrase 2)
!!! s'écrivent respectivement :
!!! "Tout étudiant possède un smartphone ou un vélo, ou les deux." (phrase 1)
!!! et
!!! "Tout étudiant possède un smartphone" ou "tout étudiant possède un vélo", ou "tout étudiant possède les deux." (phrase 2)
!!!
!!! Nous voyons bien que la phrase (2) implique la phrase (1).
!!! En effet
!!! La réciproque n'est pas vraie, (1) n'implique pas (2).
!!! Prenons un contre-exemple : une moitié des étudiants possèdent un smarphone et pas de vélo, et l'autre moitié un vélo mais pas de smartphone. Quelque soit alors l'étudiant considéré, il possède un smartphone ou un vélo, ou les deux et la phrase (1) est vraie. Par contre nous ne sommes dans aucun de ces trois cas décrits par la phrase (2) :
!!! \- "Tout étudiant possède un smartphone".
!!! \- "Tout étudiant possède un vélo".
!!! \- "Tout étudiant possède un smartphone et un vélo".
!!! "Quelque-soit le jour j de l'année, il existe une heure h à laquelle le soleil se lève".
!!! Ce prédicat est vraie sur la plus grande partie de la Terre, sauf peut-être au voisinage des pôles géographiques terrestres où 6 !!! !!! mois de nuits succèdent à 6 mois de jours. Cela signifie simplement que le soleil se lève chaque jour.
!!!
!!! <!--Cet exemple est excellent, c'est le cycle immuable du levé du soleil chaque jour observé et compris par tous. J'espère qu'on !!! !a le droit de l'utiliser dans le site-->
\text{Hérédité :}\;\mathbf{\forall n \in I_{n_0}\;,\; P(n)\Longrightarrow P(n+1)}
\end{array}\right\}}`$
$`\mathbf{\;\Longrightarrow\forall n \in I_{n_0}\;,\; P(n) \;\text{est vraie.}}`$**
[EN].
Attention !!! ce sera a priori un faux-ami ici, le terme correspondant
---------------------
*MATH-REAS_221* : Ejemplos / exemples / examples
_____*MATH-REAS_221.1*
!!! [ES]
!!! ...
!!!
!!! [FR]
!!! ...
!!!
!!! [EN]
!!! ...
_____*MATH-REAS_221.2*
!!! [ES].
!!! ...
!!!
!!! [FR].
!!! Montrons que
!!! $`\forall n \in \mathbb{N}\;,\; \displaystyle\sum_{k=0}^n k = \dfrac{n\,(n+1)}{2}`$
!!!
!!! Pour $`n \in \mathbb{N}`$ le prédicat *$`P(n)`$ est l' égalité $`\displaystyle\sum_{k=0}^n k = \dfrac{n\,(n+1)}{2}`$*.
!!!
!!! *Etape d'initialisation* : si nous voulons démontrer que ce prédicat est vrai pour tout entier naturel, testons le sur le plus petit d'entre eux : $`n=0`$.
!!! $`\displaystyle\sum_{k=0}^0 k = 0 = \dfrac{0\,(0+1)}{2}`$,
!!! donc *$`\mathbf{P(0)}`$ est vraie*.
!!!
!!! *Etape d'hérédité* : soit $`n \in \mathbb{N}`$, supposons que $`P(n)`$ est vraie et montrons que $`P(n+1)`$
!!! est vraie.
!!!
!!! Si $`P(n)`$ est vraie donc :
!!! $`\displaystyle\sum_{k=0}^n k = \dfrac{n\,(n+1)}{2}`$
!!!
!!! $`\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} k = \sum_{k=0}^{n} k + (n+1) `$ $`\;= \dfrac{n\,(n+1)}{2}+(n+1)`$
!!! Ainsi, puisque le $`n`$ fixé dans cette partie hérédité est quelconque, nous avons démontré que *le prédicat *
!!!
!!! *$`\mathbf{\forall n \in \mathbb{N}\;,\; P(n)\Longrightarrow P(n+1)}`$ est vrai*.
!!!
!!! *Etape de conclusion* : l'*application du principe de récurrence* nous permet de conclure que *le prédicat*
!!!
!!! *$`\mathbf{\forall n \in \mathbb{N}\;,\; \displaystyle\sum_{k=0}^n k = \dfrac{n\,(n+1)}{2}}`$ est vrai*.
!!!
!!! [EN].
!!! ...
!!!
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*MATH-REAS_222* : Para un parte más allá / au-delà / beyond
!! [ES].
!! ...
!!
!! [FR].
!! Une *suite récurrente* est une suite dont *chaque terme se détermine à partir du ou des termes précédents*.
!!
!! Certaines suites récurrentes très utiles en physique :
!! * Les *suites arithmétiques de raison $`\mathbf{a} \in \mathbb{R}`$* et de premier terme $`b \in \mathbb{R}`$. Chaque terme $`u_{n+1}`$ de la suite se définit à partir du précédent : *$`\mathbf{u_{n+1}=u_n + a}`$*.
!!
!! * Les *suites géométriques de raison $`\mathbf{a} \in \mathbb{R}`$* et de premier terme $`b \in \mathbb{R}`$. Chaque terme $`u_{n+1}`$ de la suite se définit à partir du précédent : *$`\mathbf{u_{n+1}=u_n \times a}`$*.
!!
!! Citons une suite récurrente très célèbre, la *suite de Fibonacci*. Ses deux premiers termes $`\mathbf{u_0 = u_1 = 1}`$ et tout terme suivant de rang $`n`$ se calcule à partir des 2 termes précédents selon la récurrence $`\mathbf{u_n=u_{n-1}+u_{n-2}}`$.
!!
!! [EN].
!! ...
!!
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*MATH-REAS_230* : Razonamiento por análisis y síntesis ?? / raisonnement par analyse-synthèse / ???
