1 changed files with 0 additions and 454 deletions
@ -1,454 +0,0 @@ |
|||
--- |
|||
title: Coordonnées cartésiennes |
|||
published: false |
|||
routable: false |
|||
visible: false |
|||
--- |
|||
|
|||
!!!! *Recopilar elementos de cursos / Collecte d'éléments de cours / Collecting course items* |
|||
!!!! |
|||
!!!! No publique, no haga visible |
|||
!!!! Ne pas publier, ne pas rendre visible |
|||
!!!! Do not publish, do not make visible |
|||
|
|||
! Descripción del método y recordatorios útiles para contribuir : |
|||
! Description de la méthode et rappels utiles pour contribuer : |
|||
! Description of the method and useful reminders to contribute : |
|||
! |
|||
|
|||
!!! Estructura para cualquier elemento nuevo del curso, para copiar o reproducir :<br> |
|||
!!! Structure pour tout nouveau élément de cours, à copier ou reproduire :<br> |
|||
!!! Structure for any new course element, to copy or reproduce :<br> |
|||
|
|||
----------------- |
|||
|
|||
* *COOSYS-xxx* |
|||
|
|||
<!-- |
|||
Por nivel / pour le niveau 3 / for level : 3 |
|||
comentario (no obligatorio) / commentaire (non obligatoire) / comment (not compulsory) |
|||
--> |
|||
|
|||
(YYY) : 3 initiales pour t'identifier/ 3 iniciales para identificarte / 3 initials to identify you. <br> |
|||
[ES] Texto en su idioma, o traducción automática en las otras si es posible especificando (aut-tra). <br> |
|||
[FR] Texte dans votre langue ; ou traduction automatique dans les autres si possible en précisant (aut-tra). <br> |
|||
[EN] Text in your language, or automatic translation in others if possible specifying (aut-tra). <br> |
|||
|
|||
[LL](YYY) : Las ecuaciones que usas / Les équations que vous utilisez / The equations you use |
|||
|
|||
-------------- |
|||
|
|||
!!! Sugerir, mejorar texto o ecuaciones, en un elemento del curso ya existente : <br> |
|||
!!! Pour proposer, améliorer du texte ou des équations, dans un élément de cours déjà existant : <br> |
|||
!!! To suggest, improve text or equations, in an already existing course element : |
|||
|
|||
-------------- |
|||
|
|||
* Simplemente dentro del elemento del curso, escriba su contribución comenzando con (YYY-LL), con: <br> |
|||
YYY sus 3 iniciales, y LL su idioma (ES, FR o EN). |
|||
* Simplement à l'intérieur de l'élément de cours, écrire votre contribution en commençant par (YYY-LL), avec :<br> |
|||
YYY vos 3 initiales, et LL votre langue (ES, FR ou EN). |
|||
* Simply inside the course element, write your contribution starting with (YYY-LL), with: <br> |
|||
YYY your 3 initials and LL your language (ES, FR or EN)* |
|||
|
|||
--------------- |
|||
|
|||
<!-- |
|||
!!! Para agregar un elemento del curso, copie este ejemplo dándole un número que no |
|||
!!!está presente, complételo y agréguelo al final de este documento o entre otros dos elementos |
|||
!!! del curso (según la secuencia lógica) |
|||
!!! |
|||
!!! Pour rajouter un élément de cours, recopier cet exemple en lui donnant un numéro non |
|||
!!! présent, remplissez-le, et ajoutez-le à la fin de ce document ou entre deux autres |
|||
!!! éléments de cours (selon l'enchaûnement logique) |
|||
--> |
|||
|
|||
|
|||
### Coordonnées cartésiennes / coordenadas Cartesianas / Cartesian coordinates |
|||
|
|||
#### Définitions / definiciónes |
|||
|
|||
-------------------------------------------------------------------------------- |
|||
|
|||
* *COOSYS-90* |
|||
<!-- |
|||
Por nivel / pour le niveau 3 / for level : 3 |
|||
Título del capítulo / titre de chapitre / chapter title |
|||
--> |
|||
|
|||
[ES] (aut-tra) Definición de coordenadas y sus dominios de definición <br> |
|||
[FR] Définition des coordonnées et leurs domaines de définition <br> |
|||
[EN] (aut-tra) Definition of coordinates and their definition domains <br> |
|||
|
|||
[FR] (CME) ok (XXX) ? |
|||
|
|||
-------------------------------------------------------------------------------- |
|||
|
|||
* *COOSYS-100* |
|||
<!--Por nivel 3 / pour le nuveau 3 / for level 3--> |
|||
|
|||
[ES] (aut-tra) Sistema de coordenadas Cartesianas :<br> |
|||
[FR] (CME) Système de coordonnées cartésienne :<br> |
|||
[EN] (aut-tra) Cartesian coordinate system :<br> |
|||
|
|||
[ES] (aut-tra) |
|||
* 1 punto $`\mathbf{O}`$ del espacio, elegido como el origen de las coordenadas cartesianas.<br> |
|||
* 3 ejes llamados $`\mathbf{Ox,Oy,Oz}`$, que se cruzan en $`O`$ y son ortogonales de dos en dos.<br> |
|||
* 1 unidad de longitud.<br> |
|||
|
|||
[FR] (CME) |
|||
* 1 punto $`\mathbf{O}`$ de l'espace, choisi comme origine des coordonnées cartésiennes.<br> |
|||
* 3 axes appelés $`\mathbf{Ox , Oy , Oz}`$, se coupant en $`O`$ et orthogonaux deux à deux.<br> |
|||
* 1 unité de longueur.<br> |
|||
autres? (XXX) <br> |
|||
|
|||
[EN] (aut-tra) |
|||
* 1 punto $`\mathbf {O}`$ of space, chosen as the origin of the Cartesian coordinates.<br> |
|||
* 3 axes called $`\mathbf {Ox, Oy, Oz}`$, intersecting at $`O`$ and orthogonal two by two.<br> |
|||
* 1 unit of length.<br> |
|||
|
|||
-------------------------------------------------------------------------------- |
|||
|
|||
* *COOSYS-110* |
|||
<!-- |
|||
Por nivel 3 / pour le nuveau 3 / for level 3 |
|||
Referencia a la figura / Référence à la figure / Reference to figure cartesian_coordinates_definition_L1200.gif |
|||
https://gitlab.m3p2.com/m3p2/courses/blob/master/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/cartesian/cartesian_coordinates_definition_L1200.gif |
|||
--> |
|||
|
|||
Coordenadas Cartesianas / Coordonnées cartésiennes / Cartesian coordinates :<br> |
|||
[ES] [FR] [EN] $`( x, y, z)`$ |
|||
|
|||
[ES] (aut-tra) |
|||
Cualquier punto $`M`$ del espacio se proyecta ortogonalmente en el plano $`xOy`$ |
|||
que conduce al punto $`m_ {xy}`$, y en el eje $`Oz`$ que conduce al punto $`m_z`$. |
|||
El punto $`m_ {xy}`$ se proyecta ortogonalmente en los ejes $`Ox`$ y $`Oy`$, liderando |
|||
respectivamente en los puntos $`m_x`$ y $`m_y`$ (ver figura ...). <br> |
|||
o, para un equivalente de escritura más simple, pero menos visual: <br> |
|||
Cualquier punto $`M`$ del espacio se proyecta ortogonalmente en cada uno de los ejes $`Ox, Oy, Oz`$ |
|||
conduciendo respectivamente a los puntos $`m_x`$, $`m_y`$ y $`m_z`$. <br> |
|||
_otra propuesta, o mejorar en el texto: _ |
|||
(XXX1): |
|||
(XXX2): |
|||
|
|||
[FR] |
|||
(CME): |
|||
Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $`xOy`$ |
|||
conduisant au point $`m_{xy}`$, et sur l'axe $`Oz`$ conduisant au point $`m_z`$. |
|||
Le point $`m_{xy}`$ est projeté orthogonalement sur les axes $`Ox`$ et $`Oy`$, conduisant |
|||
respectivement aux points $`m_x`$ et $`m_y`$ (voir figure ...). <br> |
|||
ou, pour un équivalent d'écriture plus simple, mais moins visuel :<br> |
|||
Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur chacun des axes $`Ox , Oy , Oz`$ |
|||
conduisant respectivement aux points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$. <br> |
|||
_autre proposition, ou améliorer dans le texte :_ |
|||
(XXX1): |
|||
(XXX2): |
|||
|
|||
[EN] (aut-tra) |
|||
Any point $`M`$ of space is orthogonally projected on the plane $`xOy`$ |
|||
leading to the point $`m_{xy}`$, and on the axis $`Oz`$ leading to the point $`m_z`$. |
|||
The point $`m_ {xy}`$ is projected orthogonally on the axes $`Ox`$ and $`Oy`$, leading |
|||
respectively at points $`m_x`$ and $`m_y`$ (see figure ...). <br> |
|||
or, for a simpler, but less visual, writing equivalent: <br> |
|||
Any point $`M`$ of space is orthogonally projected on each of the axes $`Ox, Oy, Oz`$ |
|||
leading respectively to the points $`m_x`$, $`m_y`$ and $`m_z`$. <br> |
|||
_other proposal, or improve in the text: _ |
|||
(XXX1): |
|||
(XXX2): |
|||
|
|||
--------------------- |
|||
|
|||
* *COOSYS-120* |
|||
|
|||
Les **coordonnées cartésiennes $`\mathbf{x_M , y_M , z_M}`$** du point $`M`$ sont les |
|||
distances algébriques $`\overline{Om_x}`$, $`\overline{Om_y}`$ et $`\overline{Om_z}`$ mesurées depuis le point origine $`O`$ jusqu'à chacun des points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$. |
|||
|
|||
**$`\mathbf{x_M=\overline{Om_x}}`$ , $`\mathbf{y_M=\overline{Om_y}}`$ , $`\mathbf{z_M=\overline{Om_z}}`$** |
|||
|
|||
Les coordonnées $`x , y , z`$ sont des **longueurs** algébriques, dont l'**unité** dans le système international d'unité **S.I.** est le **mètre**, de symbole **$`\mathbf{m}`$**. |
|||
|
|||
**Unidades S.I. / Unités S.I. / S.I. units : $`\mathbf{x(m)\;,\;y(m)\;,\;z(m)}`$** |
|||
|
|||
--------------------- |
|||
|
|||
* *COOSYS-130* |
|||
|
|||
Chaque point $`M`$ de l'espace est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cartésiennes. On écrit : $`M=M(x_M,y_M,z_M)`$. |
|||
|
|||
Si le point est un point quelconque, on simplifie : |
|||
|
|||
$`M(x,y,z)`$, **$`\mathbf{M(x,y,z)}`$** |
|||
|
|||
---------------------- |
|||
|
|||
* *COOSYS-140* |
|||
|
|||
**Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cartésiennes lorsque chacune varie de façon indépendante des autres dans son propre domaine de variation. Leurs domaines de variation sont : |
|||
|
|||
**$`\mathbf{x\in\mathbb{R}}`$ , $`\mathbf{y\in\mathbb{R}}`$ , $`\mathbf{z\in\mathbb{R}}`$** |
|||
|
|||
|
|||
#### Base vectorielle et repère de l'espace associés |
|||
|
|||
##### Longueur du parcours associée à une variation de coordonnée |
|||
|
|||
--------------------- |
|||
|
|||
* *COOSYS-150* |
|||
|
|||
Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x, y, z)`$ varie de façon |
|||
continue entre les valeurs $`y`$ et $`\rho+\Delta \rho`$, le point $`M`$ parcourt un sègment |
|||
de droite de longueur $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. Lorsque $`\Delta \rho`$ tend vers $`0`$, |
|||
la longueur infinitésimale $`dl_{\rho}`$ parcourue pour le point $`M`$ est : |
|||
|
|||
$`\displaystyle dx=\lim_{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta x>0} \Delta x`$ |
|||
$`\quad\Longrightarrow\quad dl_x=dx`$ , **$`\mathbf{dl_x=dx}`$** |
|||
|
|||
de même |
|||
|
|||
$`dl_y=dy`$ , **$`\mathbf{dl_y=dy}`$**<br> |
|||
|
|||
$`dl_z=dz`$ , **$`\mathbf{dl_z=dz}`$** |
|||
|
|||
---------------- |
|||
|
|||
* *COOSYS-160* |
|||
|
|||
!!!! Attention : Cette propriété que les longueurs élémentaires $`dl_{\alpha}`$ s'identifie à la variation infinitésimale de la coordonnée $`d\alpha`$ correspondante est une propriété des systèmes de coordonnées cartésiennes : |
|||
!!!! |
|||
!!!! Coordonnées cartésiennes $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha}=d\alpha`$. |
|||
!!!! |
|||
!!!! Mais lorsque nous passons aux coordonnées cylindriques et sphériques, et en généralisant aux coordonnées curvilignes, cette identité n'est plus systématiquement vraie. |
|||
!!!! |
|||
!!!! En général : $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha} \ne d\alpha`$ |
|||
!!!! |
|||
!!!! Il est donc important de *distinguer la distance infinitésimal $`dl_{\alpha}`$* parcourue par un $`M`$ lors d'une variation infinitésimale d'une seule de ses coordonnées $`\alpha`$, *de la variation $`d\alpha`$* de cette même coordonnée. |
|||
|
|||
<!-- |
|||
* *COOSYS-60* : |
|||
|
|||
[ES] Característica de los sistemas de coordenadas "cartesianos" : si un punto $`M(x,y,z)`$ |
|||
hace un desplazamiento infinitesimal hasta el punto $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br> |
|||
el Elemento escalar de línea $`dl`$ se escribe simplement : |
|||
|
|||
[FR] Caractéristique des systèmes de coordonnées "cartésiennes" : si un point $`M(x,y,z)`$ |
|||
fait un déplacement infinitésimal jusqu'au point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br> |
|||
l'élément scalaire de longueur $`dl`$ s'écrit simplement : |
|||
|
|||
[EN] Characteristic of "Cartesian" coordinate systems : if a point $`M(x,y,z)`$ makes |
|||
an infinitesimal displacement up to point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br> |
|||
the scalar line element $`dl`$ writes simply : |
|||
|
|||
$`dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$ , **$`\mathbf{dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}}`$** |
|||
--> |
|||
|
|||
##### Vecteur unitaire associé à chaque coordonnée |
|||
|
|||
* *COOSYS-170* |
|||
|
|||
Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ s'accroît de façon |
|||
infinitésimale entre les valeurs $`x`$ et $`x+dx`$ ($`dx>0`$), le vecteur déplacement |
|||
$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_x`$ du point $`M`$ est le vecteur |
|||
tangent à la trajectoire au point $`M`$ qui sc'écrit : |
|||
|
|||
$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_x=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}\cdot dx`$ |
|||
|
|||
Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_x}`$ (qui indique la direction et le sens |
|||
de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît de façon infinitésimale) s'écrit : |
|||
|
|||
$`\overrightarrow{e_x}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_x}{||\partial\overrightarrow{OM}_x||}`$ |
|||
|
|||
de même : |
|||
|
|||
$`d\overrightarrow{OM}_y=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}\cdot dy`$, |
|||
$`\quad\overrightarrow{e_y}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_y}{||\partial\overrightarrow{OM}_y||}`$<br> |
|||
$`d\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$, |
|||
$`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$ |
|||
|
|||
|
|||
#### Base et repère cartésiens |
|||
|
|||
* *COOSYS-180* |
|||
|
|||
Les vecteurs déplacement élémentaire $`d\overrightarrow{OM}_x , d\overrightarrow{OM}_y , d\overrightarrow{OM}_z`$ associés aux trois coordonnées $`x , y, z`$ et définis en un même point $`M`$ de l'espace sont orthogonaux deux à deux <'--, et forment un trièdre direct-->. Il en est donc ainsi de même pour les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$. |
|||
|
|||
Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ |
|||
forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cartésiennes. |
|||
En coordonnées cartésiennes, les **vecteurs de base** gardent la |
|||
**même direction et le même sens quelque-soit la position du point $`M`$**. |
|||
|
|||
$`||\overrightarrow{e_x}||=||\overrightarrow{e_y}||=||\overrightarrow{e_z}||=1`$<br> |
|||
$`\overrightarrow{e_x}\perp\overrightarrow{e_y}\quad,\quad\overrightarrow{e_y}\perp\overrightarrow{e_z}\quad,\quad\overrightarrow{e_x}\perp\overrightarrow{e_z}`$ |
|||
|
|||
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ |
|||
base orthogonale indépendante de la position de $`M`$ |
|||
|
|||
--------------------- |
|||
|
|||
* *COOSYS-190* |
|||
|
|||
[FR] Un repère cartésien, noté $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$, |
|||
est l'ensemble formé par un point $`O`$ origine des coordonnées et une base vectorielle cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$. |
|||
|
|||
En coordonnées cartésiennes, tout point $`M`$ de l'espace peut se repérer :<br> |
|||
\- soit par ses coordonnées cartésiennes $`(x, y, z)`$ dans le système d'axes cartésien $`(Ox, Oy, Oz)`$.<br> |
|||
\- soit par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ d'expression |
|||
$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$ dans le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.<br> |
|||
Les composantes d'un vecteur position sont appelées coordonnées, $`x, y, z`$ sont les coordonnées cartésiennes du point $`M`$. |
|||
|
|||
------------------ |
|||
|
|||
* *COOSYS-200* |
|||
|
|||
Des grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associées à un point $`M`$ autres que sa position $`\overrightarrow{OM}`$ peuvent s'exprimer avec les vecteurs de la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$: <br> |
|||
$`\overrightarrow{G}=G_x\;\overrightarrow{e_x}+G_y\;\overrightarrow{e_y}+G_z\;\overrightarrow{e_z}`$.<br> |
|||
$`G_x, G_y, G_z`$ sont appelées composantes de la grandeur physique $`G`$ dans la base $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.<br> |
|||
Exemples grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associée à un point $`M`$ :<br> |
|||
\- le vecteur vitesse $`V`$, dont les composantes cartésiennes $`V_x, V_y, V_z`$ s'expriment en $`m\;s^{-1}`$ dans le S.I. <br> |
|||
\- le vecteur accélération $`a`$, dont les composantes cartésiennes $`a_x, a_y, a_z`$ s'expriment en $`m\;s^{-2}`$ dans le S.I. <br> |
|||
\- la force totale appliquée $`F`$, dont les composantes cartésiennes $`F_x, F_y, F_z`$ s'expriment en $`N`$ (newton) dans le S.I. <br> |
|||
\- ... |
|||
|
|||
|
|||
forment le repère cartésien |
|||
$`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$. |
|||
|
|||
Un point $`M`$ de l'espace est repéré par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$. |
|||
Le vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ en coordonnées cartésiennes s'écrit en fonctio |
|||
|
|||
|
|||
|
|||
#### Déplacement, surface et volume élémentaires |
|||
|
|||
##### Vecteur déplacement élémentaire |
|||
|
|||
* *COOSYS-220* |
|||
|
|||
La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ |
|||
est l'élément de longueur $`dl_x`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$ s'écrit : |
|||
|
|||
$`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$ |
|||
|
|||
de même : |
|||
|
|||
$`d\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}`$<br> |
|||
$`d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ |
|||
|
|||
-------------------------------- |
|||
|
|||
* *COOSYS-230* |
|||
|
|||
L'**élément vectoriel d'arc** ou vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en |
|||
coordonnées cartésiennes est le vecteur déplacement du point $`M(x,y,z)`$ au point |
|||
$`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$ quand les coordonnées varient infinitésimalement des quantités |
|||
$`dx`$, $`dy`$ y $`dz`$, et il s'écrit : |
|||
|
|||
$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$ |
|||
$`=d\overrightarrow{OM}_x+d\overrightarrow{OM}_y+d\overrightarrow{OM}_z`$ |
|||
$`=\overrightarrow{dl_x}+\overrightarrow{dl_y}+\overrightarrow{dl_z}`$ |
|||
$`=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$ |
|||
$`=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$ |
|||
|
|||
**$`\mathbf{d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dl}}`$** |
|||
**$`\mathbf{=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}}`$** |
|||
**$`\mathbf{=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}}`$** |
|||
|
|||
##### Scalaire déplacement élémentaire |
|||
|
|||
* *COOSYS-240* |
|||
|
|||
[FR] et sa norme el l'élément de longueur : |
|||
|
|||
$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{dl_x^2+dl_y^2+dl_z^2}=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$ |
|||
|
|||
$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{\overrightarrow{dl}\cdot\overrightarrow{dl}}`$ |
|||
$`=\left[(dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\cdot |
|||
(dl_x\;\overrightarrow{e_x}\right.`$ |
|||
$`\left.+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$ |
|||
$`=\left[(dl_x)^2\;(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_x})\right.`$ |
|||
$`+(dl_y)^2\;(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_y})`$ |
|||
$`+(dl_z)^2\;(\overrightarrow{e_z}\cdot\overrightarrow{e_z})`$ |
|||
$`+(2\,dl_x\,dl_y)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_y})`$ |
|||
$`+(2\,dl_x\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_z})`$ |
|||
$`\left.+(2\,dl_y\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$ |
|||
$`=\sqrt{(dl_x)^2+(dl_y)^2+(dl_z)^2}`$ |
|||
$`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$ |
|||
|
|||
##### Surfaces élémentaires |
|||
|
|||
* *COOSYS-250* |
|||
|
|||
Les 3 vecteurs $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$, |
|||
$`\quad d\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ et |
|||
$`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2. |
|||
|
|||
$`\Longrightarrow`$ : |
|||
|
|||
L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs s'exprime |
|||
simplement comme le produit de leurs normes. Et le volume défini par ces 3 vecteurs |
|||
est simplement le produits de leurs normes. |
|||
|
|||
------------------- |
|||
|
|||
* *COOSYS-260* |
|||
|
|||
Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface $`dS`$** en coordonnées cartésiennes sont : |
|||
|
|||
\- dans un plan $`z = cst`$ :<br> |
|||
$`\quad dS=dS_{xy}=dS_{yx}=dl_x\;dl_y=dx\;dy\quad`$ , **$`\mathbf{dS=dl_x\;dl_y=dx\;dy}`$**<br> |
|||
\- dans un plan $`y = cst`$ :<br> |
|||
$`\quad dS=dS_{xz}=dS_{zx}=dl_x\;dl_z=dx\;dz\quad`$ , **$`\mathbf{dS=dl_x\;dl_z=dx\;dz}`$**<br> |
|||
\- dans un plan $`x = cst`$ :<br> |
|||
$`\quad dS=dS_{yz}=dS_{zy}=dl_y\;dl_z=dy\;dz`$, **$`\mathbf{dS=dl_y\;dl_z=dy\;dz}`$** |
|||
|
|||
-------------------- |
|||
|
|||
* *COOSYS-270* |
|||
|
|||
et les **éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dS}`$** correspondants sont : |
|||
|
|||
$`d\overrightarrow{S_{xy}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_x\land d\overrightarrow{OM}_y`$ |
|||
$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_y}`$ |
|||
$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_y\;\overrightarrow{e_y})`$ |
|||
$`=\pm\; dl_x\;dl_y\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_y})`$ |
|||
$`= \pm \; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$ |
|||
|
|||
$`d\overrightarrow{S_{xz}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_x\land d\overrightarrow{OM}_z`$ |
|||
$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_z}`$ |
|||
$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ |
|||
$`=\pm\; dl_x\;dl_z\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_z})`$ |
|||
$`=\mp\; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$ |
|||
|
|||
$`d\overrightarrow{S_{yz}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_y\land d\overrightarrow{OM}_z`$ |
|||
$`=\pm\;\overrightarrow{dl_y}\land\overrightarrow{dl_z}`$ |
|||
$`=\pm\; (dl_y\;\overrightarrow{e_y})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ |
|||
$`=\pm\; dl_y\;dl_z\;(\overrightarrow{e_y}\land\overrightarrow{e_z})`$ |
|||
$`=\pm\; dy\;dz\;\overrightarrow{e_x}`$ |
|||
|
|||
##### Volume élémentaire |
|||
|
|||
* *COOSYS-280* |
|||
|
|||
Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées cartésiennes : |
|||
|
|||
$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$ , **$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$** |
|||
|
|||
|
|||
#### Vecteur position |
|||
|
|||
* *COOSYS-285* |
|||
|
|||
Vecteur position d'un point $`M(x,y,z)`$ en coordonnées cartésiennes :<br> |
|||
[EN] Position vector of a point $`M(x,y,z)`$ in Cartesian coordinates:<br> |
|||
|
|||
$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$ |
|||
|
|||
**$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}}`$** |
|||
|
|||
#### Vecteur vitesse |
|||
|
|||
* *COOSYS-290* |
|||
|
|||
#### Vecteur accélération |
|||
|
|||
* *COOSYS-295* |
|||
Write
Preview
Loading…
Cancel
Save
Reference in new issue